Analyse de la var iance à deux facteurs

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Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Analyse de la var iance à deux facteurs

FrédéricBertrand1 &MyriamMaumy1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Master1reAnnée 16-02-2012 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Sommaire

1Exemple 2L’anovaà2facteursavecrépétitions Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance 3Lavérificationdesconditions 4Lescomparaisonsmultiples 5L’anovaà2facteurssansrépétitions Modèleetsommesdescarrés Étudecomplèted’unexemple FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Références Cecourss’appuieessentiellementsur 1lelivreDavidC.Howell,Méthodesstatistiquesen scienceshumainestraduitdelasixièmeédition américaineauxéditionsdeBoeck,2008. 2lelivredePierreDagnelie,Statistiquethéoriqueet appliquée,Tome2,auxéditionsdeBoeck,1998. 3lelivredeHardeoSahaietMohammedI.Ageel,The AnalysisofVariance:Fixed,RandomandMixed Models,auxéditionsBirkhäuser,2000. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

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1Exemple 2L’anovaà2facteursavecrépétitions Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance 3Lavérificationdesconditions 4Lescomparaisonsmultiples 5L’anovaà2facteurssansrépétitions Modèleetsommesdescarrés Étudecomplèted’unexemple FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Contexte Nousnousproposonsd’analyserl’influencedutempsetde troisespècesligneusesd’arbresurladécompositiondela massed’unelitièreconstituéedefeuillesdeLierre. Pourcefaire,24sachetsd’unemasseidentiquedefeuillesde lierreontétéconstitués,sachetspermettantunedécomposition naturelle.Puisunepremièresériede8sachets,choisisau hasard,aétédéposéesousunchêne,unedeuxièmesousun peuplier,etladernièresériesousunfrêne. Après2,7,10et16semainesrespectivement,deuxsachets sontprélevésauhasardsouschaquearbreetlamasse résiduelleestdéterminéepourchacund’eux.Cettemasseest expriméeenpourcentagedelamasseinitiale. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées Lesvaleursobservéessontdonnéesdansletableausuivant: SemaineChênePeuplierFrêne 285,1085,2084,30 87,6084,9085,75 775,9073,0072,80 72,8575,7070,80 1071,6074,1567,10 66,9571,8564,95 1662,1067,2558,75 64,3060,2559,00 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesécritures Nouspouvonsécrirecetableausousformestandard,quiest celleutiliséedanslaplupartdeslogicielsetenparticulieravec lelogicielR,c’est-à-direavectroiscolonnes,unepourla semaine,unepourl’espèceetunepourlamasse,et24lignes, unepourchaquesachet. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées SachetsSemainesEspècesMasses 12Chêne85,10 22Chêne87,60 32Peuplier85,20 42Peuplier84,90 52Frêne84,30 62Frêne85,75 77Chêne75,90 87Chêne72,85 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées SachetsSemainesEspècesMasses 97Peuplier73,00 107Peuplier75,70 117Frêne72,80 127Frêne70,80 1310Chêne71,60 1410Chêne66,95 1510Peuplier74,15 1610Peuplier71,85 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées SachetsSemainesEspècesMasses 1710Frêne67,10 1810Frêne64,95 1916Chêne62,10 2016Chêne64,30 2116Peuplier67,25 2216Peuplier60,25 2316Frêne58,75 2416Frêne59,00 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lebut Nousnousproposonsd’utiliserl’analysedelavarianceàdeux facteurs.Nousobservonstroisvariables: 1deuxd’entreellessontdesvariablescontrôlées,l’espèce d’arbre,qualitativeàtroismodalités,etlasemainequipeut êtreconsidéréecommequalitativeàquatremodalités. 2Latroisièmevariableestuneréponsequantitative. Doncl’analysedelavarianceàdeuxfacteurs(semaineet espèced’arbre)croisés,avecinteraction,peutconvenir,entre autresméthodesd’analysedecesdonnées. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance

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Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lecontexte Dansl’étudedeseffetssimultanésd’unfacteuràImodalitéset d’unfacteuràJmodalitéssurunevariablequantitativeY, supposonsqueYsuivedesloisnormales,aprioridifférentes danslesIJpopulationsdisjointesdéterminéesparla conjonctiondedeuxmodalitésdesfacteursétudiés. Supposonsque,danslapopulationcorrespondantàla modalitéd’ordreidupremierfacteuretàlamodalitéd’ordrej dudeuxièmefacteur,nousayons: L(Y)=N(µij;σ2 ),pouri=1,...,Ietj=1,...,J. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’idée Pourmettreenévidenceleséventuellesdifférencesentrele comportementdelavariableYdanslesImodalitésdupremier facteur,danslesJmodalitésdudeuxièmefacteur,ouencore dansl’interactionentrelesdeuxfacteurs,nousconsidéronsdes échantillonsindépendantsdemêmetailleKdelavariableY danschacunedesIJpopulations,soitautotalunn-échantillon avecn=IJK. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lemodèlestatistique Pourlavariabled’ordrekdelapopulationd’indice(i,j),notée Yijk,nousposons: Yijk=µ+αi+βj+(αβ)ij+Eijk, pourtouti=1,...,I;j=1,...,J;k=1,...,K,avec,pour éviterunesurparamétrisation,lescontraintes IX i=1αi=JX j=1βj=IX i=1(αβ)ij0=JX j=1(αβ)i0j=0, pouri0=1,...,I;etj0=1,...,J. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Leshypothèsesdumodèle LesvariablesEijksontainsisupposéessuivreuneloinormale N(0;σ2 ). Leursréalisations,notéeseijk,sontconsidéréescommeles erreursdemesure,ellessontinconnuesetvérifient: yijk=µij+eijk,pouri=1,...,I;j=1,...,J;k=1,...,K. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestroistests L’analysedelavarianceàdeuxfacteursavecrépétitions permettroistestsdeFisher.Noustestons: l’effetdupremierfacteurF1:Noustestonsl’égalitédesI paramètresαicorrespondantauxImodalitésdupremier facteur   

H0:lesparamètresαisonttousnuls contre H1:lesparamètresαinesontpastousnuls. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Ledeuxièmetest Noustestons: l’effetdudeuxièmefacteurF2.Ilconsisteàtesterl’égalité desJparamètresβjcorrespondantauxJmodalitésdu deuxièmefacteur

  

H0:lesparamètresβjsonttousnuls contre H1:lesparamètresβjnesontpastousnuls. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Letroisièmetest Noustestons: l’effetdel’interactionentrelesfacteursF1etF2.Ilconsiste àcomparer

  

H0:lesIJparamètres(αβ)ijsonttousnuls contre H1:lesIJparamètres(αβ)ijnesontpastousnuls. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Notations Nousposons Y=1 nX i,j,kYijk, Yij•=1 KX kYijk,Yi••=1 JKX j,kYijk,Y•j•=1 IKX i,kYijk. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Notations SCT=X i,j,k(Yijk−Y)2 ,SCR=X i,j,k(Yijk−Yij•)2 , SCα=X i,j,k(Yi••−Y)2 ,SCβ=X i,j,k(Y•j•−Y)2 , SCαβ=X i,j,k(Yij•−Yi••−Y•j•+Y)2 . FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’équationdel’ANOVA L’équationdel’analysedelavariancedevientpourcemodèle: SCT=SCR+SCα+SCβ+SCαβ. où lasommeSCT,lasommetotale,mesurelasommedes carrésdesécartsàlamoyenneglobale,toutescauses confondues, FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’équationdel’ANOVA-Suite lasommeSCR,lasommerésiduelle,cumulelescarrés desécartsdesdifférentesobservationsàlamoyennede l’échantillondontellesfontpartie.Danslasommetotale ellereprésentelapartdeladispersiondueaux fluctuationsindividuelles. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’équationdel’ANOVA-Suite lasommeSCα,lasommedueaupremierfacteur,ou sommeentremodalitésdufacteurFα,mesurel’effetdu premierfacteur. lasommeSCβ,ousommedueaudeuxièmefacteur,ou sommeentremodalitésdufacteurFβ,mesurel’effetdu deuxièmefacteur. lasommeSCαβmesurel’effetdel’interactionentreles deuxfacteurs. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Propriété SouslesdifférenteshypothèsesH0d’égalitédesparamètres deladécompositiondesµij,nouspouvonspréciserleslois respectivesdesvariablesprécédentes.Ellessuiventdesloisdu χ2 : LH0 1 σ2SCT =χ2 n−1,L 1 σ2SCR =χ2 n−IJ, LH0 1 σ2SCα =χ2 I−1,LH0 1 σ2SCβ =χ2 J−1, LH0 1 σ2SCαβ =χ2 (I−1)(J−1). FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Suitedelapropriété Deplus,lesvariablesSCRetSCα,SCRetSCβ,SCRetSCαβ sontindépendantes,desorteque: LH0   

SCα I−1 SCR IJ(K−1)

   

=F(I−1),IJ(K−1), LH0   

SCβ J−1 SCR IJ(K−1)

   

=F(J−1),IJ(K−1), FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Findelapropriété LH0   

SCαβ (I−1)(J−1) SCR IJ(K−1)

   

=F(I−1)(J−1),IJ(K−1). FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestests Lestestssontréalisésàl’aidedesvaleursnumériques suivantes: y=1 IJKX i,j,kyijk,yij•=1 KX kyijk, yi••=1 JKX j,kyijk,y•j•=1 IKX i,kyijk. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestests-Suite scT=X i,j,k(yijk−y)2 = IX i=1

JX j=1

KX k=1y2 ijk

 −IJKy2 , scR=X i,j,k(yijk−yij•)2 = IX i=1

JX j=1

KX k=1y2 ijk

 −KIX i=1

JX j=1y2 ij•, scα=X i,j,k(yi••−y)2 =JKIX i=1y2 i••−IJKy2 , FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestests-Fin scβ=X i,j,k(y•j•−y)2 =IKJX j=1y2 •j•−IJKy2 , scαβ=X i,j,k(yij•−yi••−y•j•+y)2 =KIX i=1

JX j=1y2 ij•−JKIX i=1y2 i••−IKJX j=1y2 •j•+IJKy2 . FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Décision Pourunseuilα(=5%=0,05engénéral),lestablesdelaloide FishernotéeFnousfournissentpourchacundestroistests unevaleurcritiquectellequePH0(F<c)=1−α.Alorsnous décidons: H1estvraiesic6f, H0estvraiesif<c. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lesrésultatsdescalculssontgénéralementprésentéssousla formed’untableau. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Tableaudel’ANOVA VariationSCddlCMFobsFc DueàFαscαI−1cmαcmα cmRcα DueàFβscβJ−1cmβcmβ cmRcβ DueàFαβscαβ(I−1)(J−1)cmαβcmαβ cmRcαβ RésiduellescRIJ(K−1)cmR TotalescTn−1 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Exemple Pourl’exempleprécédent,enutilisantR,letableaudel’analyse delavariances’écrit: SumSqDfFP Semaine1741.313121.69273.004e−09 Arbre58.0826.08810.01495 Interaction30.2261.05590.43853 Résiduelle57.2412 Totale1886.8423 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Conclusion 1SinousdécidonsH1,ilyaeffetdupremierfacteur. 2SinousdécidonsH1,ilyaeffetdudeuxièmefacteur. 3SinousdécidonsH1,ilyaeffetdel’interactionentreles deuxfacteurs.Danscecas,pourpréciserletype d’interactionmiseenévidenceparletest,nouspourrons comparerlesmoyennesyij•pourlesdifférentesvaleursde ietj. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Conclusion Graphiquement,nousporteronsenabscisselesvaleursdei (lesImodalités).Pourchaquevaleurdejnousrelieronsles valeursdeyij•portéesenordonnées.L’aspectdufaisceaudes lignesbrisées,variantounondanslemêmesens, s’interpréterafacilement. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Graphiquedesinteractions

60 65 70 75 80 85

Tableau$Semaines

mean of Tableau$Masses

271016

Tableau$Especes 2 1 3 FIGURE:Représentationgraphiquedesinteractions FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Graphiquedesinteractions

60 65 70 75 80 85

Tableau$Especes

mean of Tableau$Masses

123

Tableau$Semaines 2 7 10 16 FIGURE:Représentationgraphiquedesinteractions FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

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Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Vérificationdesconditions Pourcemodèle,l’estimationdesmoyennesthéoriquesµijse faitparlesmoyennesobservéesyij•(«valeursajustées»).Les résidussontalorsdonnésparl’expression: beijk=yijk−yij•,i=1,...,I;j=1,...,J;k=1,...,K. Leurnormalitéetl’homogénéitédesvariancessevérifientpar lesmêmesméthodesquepouruneanalysedelavarianceàun facteur. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Vérificationdesconditionssurl’exemple Commençonspartesterlanormalitédesrésidus. >shapiro.test(residus) Shapiro-Wilknormalitytest data:residus W=0.9763,p-value=0.8187 «L’hypothèsedenormalitédesrésidusestacceptée (p=0.8187)». FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Vérificationdesconditionssurl’exemple-Suiteetfin Nousallonsmaintenantchercheràtesterl’homogénéité desvariances. Malheureusement,danslecasquinousintéresse,nousne pouvonspastesterl’homogénéitédespopulationsparce qu’iln’yaquedeuxobservationspourchacuned’ellesetla puissanced’unteltestseraittrèsfaible.Nousverronsdans ledernierparagraphe,commentnouspouvonspareràcet inconvénient.Lasolutionquenousproposeronsn’estpas aussiperformantequesinoustestionsl’homogénéitémais elleseraunbonindicateurpoursavoirsicettecondition estvérifiée. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

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1Exemple 2L’anovaà2facteursavecrépétitions Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance 3Lavérificationdesconditions 4Lescomparaisonsmultiples 5L’anovaà2facteurssansrépétitions Modèleetsommesdescarrés Étudecomplèted’unexemple FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiples Lorsquel’effetd’unfacteuraétémisenévidence,letestde TukeyouceluideDunnetts’appliquechaquefoisquelenombre d’observationslepermet,àl’aidedelamêmestatistique.Les effectifsnietni0sontalorsceuxdesclassescomparées. FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

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Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiplessurl’exemple Nousallonsréaliserlescomparaisonsmultiplespourlefacteur «Semaines»avecR. Semaines difflwruprpadj 7-2-11.966667-15.71019-8.22314740.0000033 10-2-16.041667-19.78519-12.2981474 0.0000001 16-2-23.533333-27.27685-19.7898141 0.0000000 10-7-4.075000-7.81852-0.33148080.0316623 16-7-11.566667-15.31019-7.82314740.0000047 16-10-7.491667-11.23519-3.74814740.0003427 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiplessurl’exemple Facteur1:Semaine.Nousobtenonslesclassesd’égalité suivantes: ModalitésMoyennesClasses dufacteurobservéesd’égalité S285.47500A S773.50833B S1069.43333C S1661.94167D FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiplessurl’exemple Nousallonsréaliserlescomparaisonsmultiplespourlefacteur «Especes»avecR. Especes difflwruprpadj 2-10.73750-2.1757563.650755650.7818482 3-1-2.86875-5.7820060.044505650.0537077 3-2-3.60625-6.519506-0.692994350.0161088 FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Exemple Facteur2:Espèces.Nousobtenonslesclassesd’égalité suivantes: ModalitésMoyennesClasses dufacteurobservéesd’égalité Chêne73.30000A Peuplier74.03750A Frêne70.43125B FrédéricBertrand&MyriamMaumyAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs