Analyse de la v ar iance à deux facteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Analyse de la v ar iance à deux facteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Contexte Nousnousproposonsd’analyserl’influencedutempsetde troisespècesligneusesd’arbresurladécompositiondela massed’unelitièreconstituéedefeuillesdeLierre. Pourcefaire,24sachetsd’unemasseidentiquedefeuillesde lierreontétéconstitués,sachetspermettantunedécomposition naturelle.Puisunepremièresériede8sachets,choisisau hasard,aétédéposéesousunchêne,unedeuxièmesousun peuplier,etladernièresériesousunfrêne. Après2,7,10et16semainesrespectivement,deuxsachets sontprélevésauhasardsouschaquearbreetlamasse résiduelleestdéterminéepourchacund’eux.Cettemasseest expriméeenpourcentagedelamasseinitiale. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées Lesvaleursobservéessontdonnéesdansletableausuivant: SemaineChênePeuplierFrêne 285,1085,2084,30 87,6084,9085,75 775,9073,0072,80 72,8575,7070,80 1071,6074,1567,10 66,9571,8564,95 1662,1067,2558,75 64,3060,2559,00 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesécritures Nouspouvonsécrirecetableausousformestandard,quiest celleutiliséedanslaplupartdeslogicielsetenparticulieravec lelogicielR,c’est-à-direavectroiscolonnes,unepourla semaine,unepourl’espèceetunepourlamasse,et24lignes, unepourchaquesachet. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées SachetsSemainesEspècesMasses 12Chêne85,10 22Chêne87,60 32Peuplier85,20 42Peuplier84,90 52Frêne84,30 62Frêne85,75 77Chêne75,90 87Chêne72,85 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées SachetsSemainesEspècesMasses 97Peuplier73,00 107Peuplier75,70 117Frêne72,80 127Frêne70,80 1310Chêne71,60 1410Chêne66,95 1510Peuplier74,15 1610Peuplier71,85 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lesdonnées SachetsSemainesEspècesMasses 1710Frêne67,10 1810Frêne64,95 1916Chêne62,10 2016Chêne64,30 2116Peuplier67,25 2216Peuplier60,25 2316Frêne58,75 2416Frêne59,00 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lebut Nousnousproposonsd’utiliserl’analysedelavarianceàdeux facteurs.Nousobservonstroisvariables: 1deuxd’entreellessontdesvariablescontrôlées,l’espèce d’arbre,qualitativeàtroismodalités,etlasemainequipeut êtreconsidéréecommequalitativeàquatremodalités. 2Latroisièmevariableestuneréponsequantitative. Doncl’analysedelavarianceàdeuxfacteurs(semaineet espèced’arbre)croisés,avecinteraction,peutconvenir,entre autresméthodesd’analysedecesdonnées. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lecontexte Dansl’étudedeseffetssimultanésd’unfacteuràImodalitéset d’unfacteuràJmodalitéssurunevariablequantitativeY, supposonsqueYsuivedesloisnormales,aprioridifférentes danslesIJpopulationsdisjointesdéterminéesparla conjonctiondedeuxmodalitésdesfacteursétudiés. Supposonsque,danslapopulationcorrespondantàla modalitéd’ordreidupremierfacteuretàlamodalitéd’ordrej dudeuxièmefacteur,nousayons: L(Y)=N(µij;σ2 ),pouri=1,...,Ietj=1,...,J. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’idée Pourmettreenévidenceleséventuellesdifférencesentrele comportementdelavariableYdanslesImodalitésdupremier facteur,danslesJmodalitésdudeuxièmefacteur,ouencore dansl’interactionentrelesdeuxfacteurs,nousconsidéronsdes échantillonsindépendantsdemêmetailleKdelavariableY danschacunedesIJpopulations,soitautotalunn-échantillon avecn=IJK. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lemodèlestatistique Pourlavariabled’ordrekdelapopulationd’indice(i,j),notée Yijk,nousposons: Yijk=µ+αi+βj+(αβ)ij+Eijk, pourtouti=1,...,I;j=1,...,J;k=1,...,K,avec,pour éviterunesurparamétrisation,lescontraintes IX i=1αi=

JX j=1βj=

IX i=1(αβ)ij0=

JX j=1(αβ)i0j=0, pouri0=1,...,I;etj0=1,...,J. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Leshypothèsesdumodèle LesvariablesEijksontainsisupposéessuivreuneloinormale N(0;σ2 ). Leursréalisations,notéeseijk,sontconsidéréescommeles erreursdemesure,ellessontinconnuesetvérifient: yijk=µij+eijk,pouri=1,...,I;j=1,...,J;k=1,...,K. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestroistests L’analysedelavarianceàdeuxfacteursavecrépétitions permettroistestsdeFisher.Noustestons: l’effetdupremierfacteurF1:Noustestonsl’égalitédesI paramètresαicorrespondantauxImodalitésdupremier facteur   

H0:lesparamètresαisonttousnuls contre H1:lesparamètresαinesontpastousnuls. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Ledeuxièmetest Noustestons: l’effetdudeuxièmefacteurF2.Ilconsisteàtesterl’égalité desJparamètresβjcorrespondantauxJmodalitésdu deuxièmefacteur   

H0:lesparamètresβjsonttousnuls contre H1:lesparamètresβjnesontpastousnuls. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Letroisièmetest Noustestons: l’effetdel’interactionentrelesfacteursF1etF2.Ilconsiste àcomparer   

H0:lesIJparamètres(αβ)ijsonttousnuls contre H1:lesIJparamètres(αβ)ijnesontpastousnuls. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Notations Nousposons Y=1 nX i,j,kYijk, Yij•=1 KX kYijk,Yi••=1 JK

X j,kYijk,Y•j•=1 IK

X i,kYijk. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Notations SCT=X i,j,k(Yijk−Y)2 ,SCR=X i,j,k(Yijk−Yij•)2 , SCα=X i,j,k(Yi••−Y)2 ,SCβ=X i,j,k(Y•j•−Y)2 , SCαβ=X i,j,k(Yij•−Yi••−Y•j•+Y)2 . FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’équationdel’anova L’équationdel’analysedelavariancedevientpourcemodèle: SCT=SCR+SCα+SCβ+SCαβ. où lasommeSCT,lasommetotale,mesurelasommedes carrésdesécartsàlamoyenneglobale,toutescauses confondues, FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’équationdel’anova-Suite lasommeSCR,lasommerésiduelle,cumulelescarrés desécartsdesdifférentesobservationsàlamoyennede l’échantillondontellesfontpartie.Danslasommetotale ellereprésentelapartdeladispersiondueaux fluctuationsindividuelles. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance L’équationdel’anova-Suite lasommeSCα,lasommedueaupremierfacteur,ou sommeentremodalitésdufacteurFα,mesurel’effetdu premierfacteur. lasommeSCβ,ousommedueaudeuxièmefacteur,ou sommeentremodalitésdufacteurFβ,mesurel’effetdu deuxièmefacteur. lasommeSCαβmesurel’effetdel’interactionentreles deuxfacteurs. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Propriété SouslesdifférenteshypothèsesH0d’égalitédesparamètres deladécompositiondesµij,nouspouvonspréciserleslois respectivesdesvariablesprécédentes.Ellessuiventdesloisdu χ2 : LH0 1 σ2SCT =χ2 n−1,L 1 σ2SCR =χ2 n−IJ, LH0 1 σ2SCα =χ2 I−1,LH0 1 σ2SCβ =χ2 J−1, LH0 1 σ2SCαβ

=χ2 (I−1)(J−1). FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Suitedelapropriété Deplus,lesvariablesSCRetSCα,SCRetSCβ,SCRetSCαβ sontindépendantes,desorteque: LH0   

SCα I−1 SCR IJ(K−1)

   =F(I−1),IJ(K−1), LH0   

SCβ J−1 SCR IJ(K−1)

   =F(J−1),IJ(K−1), FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Findelapropriété LH0   

SCαβ (I−1)(J−1) SCR IJ(K−1)

   =F(I−1)(J−1),IJ(K−1). FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestests Lestestssontréalisésàl’aidedesvaleursnumériques suivantes: y=1 IJK

X i,j,kyijk,yij•=1 K

X kyijk, yi••=1 JK

X j,kyijk,y•j•=1 IK

X i,kyijk. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestests-Suite scT=

X i,j,k(yijk−y)2 =

 

IX i=1

JX j=1

KX k=1y2 ijk

 −IJKy2 , scR=

X i,j,k(yijk−yij•)2 =

 

IX i=1

JX j=1

KX k=1y2 ijk

 −K

IX i=1

JX j=1y2 ij•, scα=

X i,j,k(yi••−y)2 =JK

IX i=1y2 i••−IJKy2 , FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lestests-Fin scβ=

X i,j,k(y•j•−y)2 =IK

JX j=1y2 •j•−IJKy2 , scαβ=

X i,j,k(yij•−yi••−y•j•+y)2 =K

IX i=1

JX j=1y2 ij•−JK

IX i=1y2 i••−IK

JX j=1y2 •j•+IJKy2 . FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Décision Pourunseuilα(=5%=0,05engénéral),lestablesdelaloide FishernotéeFnousfournissentpourchacundestroistests unevaleurcritiquectellequePH0(F<c)=1−α.Alorsnous décidons: H1estvraiesic6f, H0estvraiesif<c. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Lesrésultatsdescalculssontgénéralementprésentéssousla formed’untableau. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Tableaudel’anova SourcedeSommed.l.F Variationdescarrés DueàFαscαI−1fα=s2 α s2 R DueàFβscβJ−1fb=s2 β s2 R InteractionFαβscαβ(I−1)(J−1)fαβ=s2 αβ s2 R RésiduellescRIJ(K−1) TotalescTn−1 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Exemple Pourl’exempleprécédent,enutilisantR,letableaudel’analyse delavariances’écrit: SumSqDfFP Semaine1741.313121.69273.004e−09 Arbre58.0826.08810.01495 Interaction30.2261.05590.43853 Résiduelle57.2412 Totale1886.8423 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Conclusion 1SinousdécidonsH1,ilyaeffetdupremierfacteur. 2SinousdécidonsH1,ilyaeffetdudeuxièmefacteur. 3SinousdécidonsH1,ilyaeffetdel’interactionentreles deuxfacteurs.Danscecas,pourpréciserletype d’interactionmiseenévidenceparletest,nouspourrons comparerlesmoyennesyij•pourlesdifférentesvaleursde ietj. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Conclusion Graphiquement,nousporteronsenabscisselesvaleursdei (lesImodalités).Pourchaquevaleurdejnousrelieronsles valeursdeyij•portéesenordonnées.L’aspectdufaisceaudes lignesbrisées,variantounondanslemêmesens, s’interpréterafacilement. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Graphiquedesinteractions

60 65 70 75 80 85

Tableau$Semaines

mean of Tableau$Masses

271016

Tableau$Especes 2 1 3 FIG.:Représentationgraphiquedesinteractions FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Lemodèle Lestests Lesstatistiques Lesformulesdecalculs Letableaudel’analysedelavariance Graphiquedesinteractions

60 65 70 75 80 85

Tableau$Especes

mean of Tableau$Masses

123

Tableau$Semaines 2 7 10 16 FIG.:Représentationgraphiquedesinteractions FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Vérificationdesconditions Pourcemodèle,l’estimationdesmoyennesthéoriquesµijse faitparlesmoyennesobservéesyij•(«valeursajustées»).Les résidussontalorsdonnésparl’expression: beijk=yijk−yij•,i=1,...,I;j=1,...,J;k=1,...,K. Leurnormalitéetl’homogénéitédesvariancessevérifientpar lesmêmesméthodesquepouruneanalysedelavarianceàun facteur. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Vérificationdesconditionssurl’exemple Commençonspartesterlanormalitédesrésidus. >shapiro.test(residus) Shapiro-Wilknormalitytest data:residus W=0.9763,p-value=0.8187 «L’hypothèsedenormalitédesrésidusestacceptée (p=0.8187)». FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Vérificationdesconditionssurl’exemple-Suiteetfin Nousallonsmaintenantchercheràtesterl’homogénéité desvariances. Malheureusement,danslecasquinousintéresse,nousne pouvonspastesterl’homogénéitédespopulationsparce qu’iln’yaquedeuxobservationspourchacuned’ellesetla puissanced’unteltestseraittrèsfaible.Nousverronsdans ledernierparagraphe,commentnouspouvonspareràcet inconvénient.Lasolutionquenousproposeronsn’estpas aussiperformantequesinoustestionsl’homogénéitémais elleseraunbonindicateurpoursavoirsicettecondition estvérifiée. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiples Lorsquel’effetd’unfacteuraétémisenévidence,letestde TukeyouceluideDunnetts’appliquechaquefoisquelenombre d’observationslepermet,àl’aidedelamêmestatistique.Les effectifsnietni0sontalorsceuxdesclassescomparées. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiplessurl’exemple Nousallonsréaliserlescomparaisonsmultiplespourlefacteur «Semaines»avecR. Semaines difflwruprpadj 7-2-11.966667-15.71019-8.22314740.0000033 10-2-16.041667-19.78519-12.2981474 0.0000001 16-2-23.533333-27.27685-19.7898141 0.0000000 10-7-4.075000-7.81852-0.33148080.0316623 16-7-11.566667-15.31019-7.82314740.0000047 16-10-7.491667-11.23519-3.74814740.0003427 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiplessurl’exemple Facteur1:Semaine.Nousobtenonslesclasesd’égalité suivantes: ModalitésMoyennesClasses dufacteurobservéesd’égalité S285.47500A S773.50833B S1069.43333C S1661.94167D FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Comparaisonsmultiplessurl’exemple Nousallonsréaliserlescomparaisonsmultiplespourlefacteur «Especes»avecR. Especes difflwruprpadj 2-10.73750-2.1757563.650755650.7818482 3-1-2.86875-5.7820060.044505650.0537077 3-2-3.60625-6.519506-0.692994350.0161088 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs

Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions Exemple Facteur2:Arbre.Nousobtenonslesclasesd’égalité suivantes: ModalitésMoyennesClasses dufacteurobservéesd’égalité Chêne73.30000A Peuplier74.03750A Frêne70.43125B FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Modèleetsommesdescarrés Étudecomplèted’unexemple L’idéegénérale Danslecasoùnousétudionsl’effetsimultanédedeuxfacteurs à,respectivement,IetJmodalitésetquenousdisposons d’uneseuleobservationpourchaquepopulation,c’estàdire K=1,lesrésultatsduparagrapheprécédentnesontplus valables.Nousdevonssupposerquel’interactionentreles deuxfacteursestnulle.Partantdumêmemodèle,nous écrivonsplussimplement: Yij=µ+αi+βj+Eij aveclescontraintes

IX i=1αi=

JX j=1βj=0. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs Exemple L’anovaà2facteursavecrépétitions Lavérificationdesconditions Lescomparaisonsmultiples L’anovaà2facteurssansrépétitions

Modèleetsommesdescarrés Étudecomplèted’unexemple Notations Nousavonslesnotationsanalogues: y=1 IJX i,jyij,yi•=1 JX jyij,y•j=1 IX iyij, scT=X i,j(yij−y)2 =X i,jy2 ij−IJy2 , scR=X i,j(yij−yi•−y•j+y)2 , FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàdeuxfacteurs