Analyse de la co var iance (ANCO VA)

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur

Analyse de la co var iance (ANCO VA)

FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Myriam Maumy-Bertrand et Marie Chion 2019-2020

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Sources Cecourss’appuiesur: lelivredeKutner,Nachtsheim,Neter,LiAppliedLinear StatisticalModels,FifthEdition,auxéditionsMcGraw-Hill Irwin,2004 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables

Génér alités

Introduction L’analysedelacovariance(ANCOVA)estunetechniquequi combinecertainesdescaractéristiquesdel’analysedela varianceetdelarégressionlinéaire.Ellepeutserviraussibien pourdesétudesplanifiées(plandetypeII)ounon(plande typeI). L’idéeàlabasedel’analysedelacovarianceestd’ajouteràun modèled’analysedelavariance,associéàuneouplusieurs variablesqualitatives,uneouplusieursvariablesquantitatives quipourraientêtreliéesàlaréponseétudiée. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Introduction(suite) Enréalisantcetajout,nouscherchonsàréduirelavariancedu termed’erreurεprésentdanslemodèleetrendreainsi l’analyseplusprécise. D’unpointdevuemathématique,lesmodèlesd’analysedela covariancesontenfaitsimplementuntypeparticulierde modèlederégressionlinéaire. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables

Réduction de la var iance résiduelle

Incitationauvoyage Considéronsuneétudesurl’effetdetroisfilmsincitantau voyagedansunmêmepaysétrangerP.Sondéroulementestle suivant: 1chaquesujetareçoitunquestionnaireavantlaprojection pourévaluerlamanièredontilperçoitlepaysPetétablir unscoredesympathiedusujetpourcepays; 2chaquesujetvoitl’undestroisfilmsdecinqminutes; 3chaquesujetreçoitànouveauunquestionnairesurle contenudufilmetsondésirdevoyagerdanslepaysP. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Incitationauvoyage(suite) Danscetypedesituation,ilestpossibledeseservirde l’analysedelacovariance.Afind’avoiruneidéeintuitivede l’intérêtvraisemblablementmajeurqu’ilyauraitàlafaire,nous représentonssurlesdeuxfiguressuivanteslesscores d’intentiondevoyagerécoltésaprèsquechacundestroisfilms promotionnelsaitétéprésentéàungroupedecinqsujets.Les symbolesdifférentsserventàdistinguerchacundes traitements(films)utilisés. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Incitationauvoyage(suite) Surlapremièred’entreelles,nousconstatonsqueles variancesdestermesd’erreurauseindechaquegroupe,qui s’estimentvisuellementparladispersiondespointsautourdes estimationsdesmoyennesYi••dechacundesgroupes,sont importantescequiestcaractéristiqued’unevarianceélevée pourletermed’erreurdumodèled’analysedelavarianceàun facteurassocié. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables 90 80 70 60 50

1

Intention

23 Panel variable: Traitement

Intention vs Traitement FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Incitationauvoyage(suite) Utilisonsdésormaisl’informationauxiliairequenousavons récoltée:lesvaleursinitialesduscoredesympathiepourle paysPavantlaprojection.Lafiguresuivantereprésenteles scoresd’intentiondevoyagerécoltésaprèslaprojectionen fonctiondesquinzescoresdesympathieinitiaux,lessymboles différentsservantencoreàdistinguerchacundestraitements (films)utilisés. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables 52,550,047,545,042,540,037,535,0

90 80 70 60 50 Sympathie

Intention Traitement 1 Traitement 2 Traitement 3

TraitementIntention vs Sympathie FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Incitationauvoyage(suite) Bienquecelanesoitpasnécessairepourutiliserl’analyse delacovariance,ils’avèrequedanscetexemplela relationentrelesscoresd’intentiondevoyagerécoltés aprèslaprojectionetlesquinzescoresdesympathie initiauxsembleêtreapprochéedemanièresatisfaisante parunerelationlinéaire. Ladispersiondespointsautourdesdroitesderégression estbienmoinsélevéequecelleobservéesurlapremière figure,cequiestcaractéristiqued’unevarianceplusfaible pourletermed’erreurdumodèle. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Conclusion L’analysedelacovariancesesertdelarelationentrela réponse(scoresd’intentiondevoyagerécoltésaprèsla projectiondansnotreexemple)etuneouplusieursvariables quantitativespourlesquellesnousdisposonsd’observations (étudepréprojectiondansnotreexemple)afindediminuerla variancedutermed’erreurdumodèleetrendrel’analyse portantsurlacomparaisondesmoyennesdestraitementsplus puissante. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables

Co var iab les

Définition Nousappelonscovariable,enanglaisconcomitantvariable, toutevariablequantitativequiestajoutéeàunmodèle d’ANOVA. Choixdescovariables Lechoixdescovariablesestunprocessustrèsimportant.S’il s’avèrequelesvariablesretenuesn’ontaucunlienavecla réponseétudiée,legaindumodèled’ANCOVAparrapportà celuidumodèled’ANOVAserainexistantetnousretiendrons vraisemblablementaufinalcemodèleplussimple. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Choixdescovariables Lescovariablesfréquemmentutiliséeslorsd’études portantsurdesêtreshumainssontl’âge,lacatégorie socio-professionnelle,l’aptitude,desdonnéesrecueillies lorsd’étudesantérieures,... Lescovariablesfréquemmentutiliséeslorsd’études portantsurdesmagasinssontlenombred’employé,le volumedesventespendantladernièrepériodeprécedant l’étude,... FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Recueildesobservationsdescovariables Afindepouvoirinterprétersansambigüitélesrésultats obtenus,lescovariablesdoiventêtreobservéessoitavant l’étude,soitpendantl’étudeàconditionlestraitements appliquésauxsujetslorsdecelle-cinepuisseenaucune manièremodifiéel’observationdecelles-ci. Unepréétuded’opinionsatisfaitàcettecondition.Dansla plupartdessituations,l’observationdel’âgedusujetpendant l’étudeégalement. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Recueildesobservationsdescovariables Uneentrepriseréaliseunstageintensifpourdesingénieurs afindeleurapprendredescompétencesengestion.Deux méthodesd’enseignementontétéutiliséeetlesingénieursont étéaffectésàl’uneoul’autreauhasard.Àlafindela formation,chaquestagiaireaétéévaluéàl’aided’unscore quantifiantcequ’ilaretenudecelle-ci.Lorsdudépouillement, lapersonnechargéedel’analyseadécidéd’utiliserletempsde travailpersonnel,quechaqueingénieurdevaitnoter,comme covariableetn’apaspumettreenévidenced’effetdela méthoded’apprentissage. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Recueildesobservationsdescovariables Cerésultatétaitsurprenantetuneétudedelarépartitiondes tempsdetravailamontréqueceux-cidépendaientdela méthodeutilisée.Eneffet,l’unedesdeuxméthodesétaitbasé surdue-learning,cequiaparticulièrementintéresséeles stagiairesdecegroupeetlesaincitésàtravaillerplus.Ainsi, aussibienlaréponsequelacovariableétaientliéau traitement.Cephénomène,associéàlafortecorrélationentre tempsdetravailpersonneletscored’apprentissage,amasqué l’effettraitement. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Recueildesobservationsdescovariables Lorsqu’unecovariabledépenddestraitementsétudiés,le modèled’analysedelacovariancerisquedenepaspouvoir évaluercorrectementleseffetsdecertains(oulaplupart)des traitementssurlaréponseetfournirainsidesrésultats trompeurs. Remarque Unefigurepeutêtreutilepourdéterminersiunecovariable dépenddestraitementsounon. Recueildesobservationsdescovariables Considéronslafiguresuivantequireprésentelescore d’apprentissageenfonctiondutempsdetravailpersonnelpour l’exempleprécédent.Letraitement1correspondaue-learning. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables 12108642

120 100 80 60 40 20 0 Travail personnel

Score apprentissage

1 2

MéthodeScore apprentissage vs Travail personnel FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités AnalysedelacovarianceàunfacteurRéductiondelavariancerésiduelle Covariables Recueildesobservationsdescovariables Nousconstatonsquelaplupartdespersonnespourlesquelsle travailpersonnelaétéélevésontassociéesautraitement1. Réciproquement,laplupartdesingénieursdugroupe traitement2sesontpeuinvestisdanslaformation. Parconséquent,lesobservationspourchacundestraitements onttendanceàseconcentrerdansdesintervallesdisjointsde l’axedesabscisses. Ilestintéressantdecontrastercettesituationaveccellequia étéprésentéedanslepremierexempleoùuntelregroupement n’apparaissaitpas. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Analyse de la co var iance à un facteur

Unexempleintégralementtraité Introduction L’exemplesuivantportesurl’évaluationdelacapacitéd’une planteàrepousseretàproduiredesgraineslorsqu’ellea étébroutée.Nousdisposonsdesinformationssuivantes: Laréponseobservéeestlepoidsdegrainesproduites. Uneinformationindirectesurlatailleinitialedelaplante (lediamètresupérieurdesonportegreffe)avant l’interventionéventuelled’unanimalaétérelevée. Noussavonssilaplanteaétébroutéeounon. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Introduction(suite) Commelesplantesplusgrandesproduisentvraisemblablement plusdegrainesquedesplantespluspetites,lapriseen comptedelatailledelaplanteestnécessairepouranalyser cesdonnées. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Réglagedescontrastesetrécupérationdesdonnées options(contrasts=c("contr.sum","contr.poly")) compensation<-read.csv(file.choose(),header=T) attach(compensation) names(compensation) ##[1]"Root""Fruit""Grazing" FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Aperçudesdonnées head(compensation) ##RootFruitGrazing ##16.22559.77Ungrazed ##26.48760.98Ungrazed ##34.91914.73Ungrazed ##45.13019.28Ungrazed ##55.41734.25Ungrazed ##65.35935.53Ungrazed FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Représentationgraphiquedesdonnées plot(Root,Fruit) 5678910

20 40 60 80 100 120

Root

Fruit

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Ajustementlinéaire lm(Fruit~Root) ## ##Call: ##lm(formula=Fruit~Root) ## ##Coefficients: ##(Intercept)Root ##-43.7414.79 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Représentationgraphiqueavecajustementlinéaire plot(Root,Fruit) abline(lm(Fruit~Root)) 5678910

20 40 60 80 100 120

Root

Fruit

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Moyennespargroupe tapply(Fruit,Grazing,mean) ##GrazedUngrazed ##72.4918250.88050 Surprenant,carlesplantesquiontétébroutéesproduisentplus degraines.Confirméparlegraphiquesuivantmaisest-ce vraimentlecas? FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Moyennespargroupe plot(Grazing,Fruit) GrazedUngrazed

20 40 60 80 100 120

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Représentationgraphiqueavecgrouped’appartenance plot(Root,Fruit,type="n") points(Root[Grazing=="Ungrazed"], Fruit[Grazing=="Ungrazed"]) points(Root[Grazing=="Grazed"], Fruit[Grazing=="Grazed"],pch=16, col="red") FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Représentationgraphiqueavecgrouped’appartenance 5678910

20 40 60 80 100 120

Root

Fruit

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Modèled’ANCOVA ancova<-lm(Fruit~Root*Grazing) summary(ancova) ## ##Call: ##lm(formula=Fruit~Root*Grazing) ## ##Residuals: ##Min1QMedian3QMax ##-12.0028-3.8163-0.61133.809815.8213 ## ##Coefficients: ##EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|) ##(Intercept)-105.65838.5308-12.3861.2e-12*** ##Root23.16891.148520.173<2e-16*** ##Grazing1-11.29098.5308-1.3240.197 ##Root:Grazing1-0.82751.1485-0.7200.477 ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 ## ##Residualstandarderror:6.227on27degreesoffreedom ##MultipleR-squared:0.9481,AdjustedR-squared:0.9423 ##F-statistic:164.3on3and27DF,p-value:<2.2e-16 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Tableaud’ANOVAdel’ANCOVA anova(ancova) ##AnalysisofVarianceTable ## ##Response:Fruit ##DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F) ##Root115578.815578.8401.7856<2.2e-16*** ##Grazing13507.13507.190.44944.121e-10*** ##Root:Grazing120.120.10.51910.4774 ##Residuals271046.938.8 ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 summary.aov(ancova) ##DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F) ##Root11557915579401.786<2e-16*** ##Grazing13507350790.4494.12e-10*** ##Root:Grazing120200.5190.477 ##Residuals27104739 ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Unepentepargroupeest-ellenécessaire? ancova2<-lm(Fruit~Grazing+Root) anova(ancova2,ancova) ##AnalysisofVarianceTable ## ##Model1:Fruit~Grazing+Root ##Model2:Fruit~Root*Grazing ##Res.DfRSSDfSumofSqFPr(>F) ##1281067.0 ##2271046.9120.1280.51910.4774 LetestdeFisherpartieln’estpassignificatifauseuilde α=5%. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Est-ilpossibledesimpliferencorepluslemodèle? ancova3<-lm(Fruit~Root) anova(ancova3,ancova2) ##AnalysisofVarianceTable ## ##Model1:Fruit~Root ##Model2:Fruit~Grazing+Root ##Res.DfRSSDfSumofSqFPr(>F) ##1294574.1 ##2281067.013507.192.032.388e-10*** ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 Lefaitdesavoirsilaplanteaétébroutéeounonestune informationsignificativeauseuildeα=5%. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Est-ilpossibledesimpliferencorepluslemodèle? ancova3<-lm(Fruit~Grazing) anova(ancova3,ancova2) ##AnalysisofVarianceTable ## ##Model1:Fruit~Grazing ##Model2:Fruit~Grazing+Root ##Res.DfRSSDfSumofSqFPr(>F) ##12916838 ##2281067115771413.86<2.2e-16*** ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 Lefaitdeconnaîtrelediamètreduporte-greffeestune informationsignificativeauseuildeα=5%. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Résumédumodèled’ANCOVA summary.lm(ancova2) ## ##Call: ##lm(formula=Fruit~Grazing+Root) ## ##Residuals: ##Min1QMedian3QMax ##-12.3565-3.16940.04463.064916.4688 ## ##Coefficients: ##EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|) ##(Intercept)-106.6178.354-12.7633.43e-13*** ##Grazing1-17.2961.803-9.5932.39e-10*** ##Root23.1631.13920.344<2e-16*** ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 ## ##Residualstandarderror:6.173on28degreesoffreedom ##MultipleR-squared:0.9471,AdjustedR-squared:0.9433 ##F-statistic:250.4on2and28DF,p-value:<2.2e-16 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Tableaud’ANOVAdumodèled’ANCOVA anova(ancova2) ##AnalysisofVarianceTable ## ##Response:Fruit ##DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F) ##Grazing13314.53314.586.9774.387e-10*** ##Root115771.415771.4413.859<2.2e-16*** ##Residuals281067.038.1 ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Choixdemodèleautomatique step(ancova) ##Start:AIC=117.11 ##Fruit~Root*Grazing ## ##DfSumofSqRSSAIC ##-Root:Grazing120.1281067.0115.70 ##<none>1046.9117.11 ## ##Step:AIC=115.7 ##Fruit~Root+Grazing ## ##DfSumofSqRSSAIC ##<none>1067.0115.70 ##-Grazing13507.14574.1158.82 ##-Root115771.416838.4199.22 ## ##Call: ##lm(formula=Fruit~Root+Grazing) ## ##Coefficients: ##(Intercept)RootGrazing1 ##-106.6223.16-17.30 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Modèleretenuautomatiquement summary(ancova2) ## ##Call: ##lm(formula=Fruit~Grazing+Root) ## ##Residuals: ##Min1QMedian3QMax ##-12.3565-3.16940.04463.064916.4688 ## ##Coefficients: ##EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|) ##(Intercept)-106.6178.354-12.7633.43e-13*** ##Grazing1-17.2961.803-9.5932.39e-10*** ##Root23.1631.13920.344<2e-16*** ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 ## ##Residualstandarderror:6.173on28degreesoffreedom ##MultipleR-squared:0.9471,AdjustedR-squared:0.9433 ##F-statistic:250.4on2and28DF,p-value:<2.2e-16 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Coefficientsdumodèle Voicilesestimationsdescoefficientsdumodèled’ANCOVAà droitesparallèles. coef(ancova2) ##(Intercept)Grazing1Root ##-106.61665-17.2960023.16264 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Coefficientsdumodèle Ordonnéeàl’originepourladroiteajustéeaugroupedes plantesnonbroutées coef(ancova2)[1]-coef(ancova2)[2] ##(Intercept) ##-89.32066 Ordonnéeàl’originepourladroiteajustéeaugroupedes plantesbroutées coef(ancova2)[1]+coef(ancova2)[2] ##(Intercept) ##-123.9126 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Coefficientsdumodèle Pentecommuneauxdeuxdroites(ajustéesauxdeuxgroupes) coef(ancova2)[3] ##Root ##23.16264 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Graphiquedumodèleretenu sf<-split(Fruit,Grazing) sr<-split(Root,Grazing) plot(Root,Fruit,type="n", ylab="Productiondegraines", xlab="Diamètreinitial") points(sr[[1]],sf[[1]],pch=16) points(sr[[2]],sf[[2]]) abline(coef(ancova2)[1]+coef(ancova2)[2], coef(ancova2)[3]) abline(coef(ancova2)[1]-coef(ancova2)[2], coef(ancova2)[3],lty=2) FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Graphiques 5678910

20 40 60 80 100 120

Diamètre initial

Production de graines

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Attention Queseserait-ilpassésinousn’avionspasprisencomptela tailledelaplante? tapply(Fruit,Grazing,mean) ##GrazedUngrazed ##72.4918250.88050 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Attention Queseserait-ilpassésinousn’avionspasprisencomptela tailledelaplante? summary(aov(Fruit~Grazing)) ##DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F) ##Grazing1331533155.7080.0236* ##Residuals2916838581 ##--- ##Signif.codes:0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'.'0.1''1 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Attention Queseserait-ilpassésinousn’avionspasprisencomptela tailledelaplante? coef(aov(Fruit~Grazing)) ##(Intercept)Grazing1 ##61.6861610.80566 Productionmoyennedugroupenon-brouté FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

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Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Attention Productionmoyennedugroupenon-brouté coef(aov(Fruit~Grazing))[1]- coef(aov(Fruit~Grazing))[2] ##(Intercept) ##50.8805 Productionmoyennedugroupebrouté coef(aov(Fruit~Grazing))[1]+ coef(aov(Fruit~Grazing))[2] ##(Intercept) ##72.49182 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Valeurajustéesdesmoyennesdesgroupes Calculonsmaintenantlesmoyennesdesdeuxgroupesquiont étéajustéesparlemodèled’ANCOVApourtenircomptedela différencedesdistributionsdestaillesentrelesdeuxgroupes. Productionmoyennedugroupenon-brouté coef(ancova2)[1]-coef(ancova2)[2]+ coef(ancova2)[3]*mean(Root) ##(Intercept) ##70.82361 FrédéricBertrandAnalysedelacovariance Généralités Analysedelacovarianceàunfacteur Valeurajustéesdesmoyennesdesgroupes Productionmoyennedugroupebrouté coef(ancova2)[1]+coef(ancova2)[2]+ coef(ancova2)[3]*mean(Root) ##(Intercept) ##36.23162 Enutilisantlesmoyennesajustéespourtenircomptedela variabletaille,lesconclusionss’inversent! FrédéricBertrandAnalysedelacovariance

Conc lusion

Intérêtdumodèled’ANCOVA Prendreencomptelatailleinitialeduportegreffechange complètementlerésultatetcorrigelesbiaisliésà l’inhomogénéitédesgroupes. FrédéricBertrandAnalysedelacovariance