Analyse de la var iance à un facteur

(1)

Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Analyse de la var iance à un facteur

FrédéricBertrand1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Magistère2eAnnée FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Objectif Danscechapitre,nousallonsétudierunteststatistique(nous renvoyonsàuncourssurlestestspourtouteslesdéfinitions surcesujet)permettantdecomparerlesmoyennesde plusieursvariablesaléatoiresindépendantesgaussiennesde mêmevariance. L’analysedelavarianceestl’unedesprocédureslesplus utiliséesdanslesapplicationsdelastatistiqueainsiquedans lesméthodesd’analysededonnées. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Exemple:D’aprèslelivredeGeorgesParreins. Onveuttester4typesdecarburateurs.Pourchaquetype,on disposede6piècesquel’onmontesuccessivementen parallèlesur4voituresquel’onsupposeavoirdes caractéristiquesparfaitementidentiques.Letableauindique pourchaqueessailavaleurd’unparamètreliéàla consommation: Essai/CarburateurA1A2A3A4 121231820 224231921 325322825 420231915 534322429 61715149 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Cetteécrituredutableauestdite«désempilée».Nous pouvonsl’écriresousformestandard(«empilée»),c’est-à-dire avecdeuxcolonnes,unepourlecarburateuretunepourla consommation,etvingt-quatrelignes,unepourchaqueessai observé. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(2)

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Tableauempilédel’exempledescarburateurs EssaiCarburateurConsommation 1Carburateur121 2Carburateur124 3Carburateur125 4Carburateur120 5Carburateur134 6Carburateur117 7Carburateur223 8Carburateur223 9Carburateur232 10Carburateur223 11Carburateur232 12Carburateur215 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Suitedutableauprécédent EssaiCarburateurConsommation 13Carburateur318 14Carburateur319 15Carburateur328 16Carburateur319 17Carburateur324 18Carburateur314 19Carburateur420 20Carburateur421 21Carburateur425 22Carburateur415 23Carburateur429 24Carburateur49 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Danslaplupartdeslogiciels,c’estsouscetteformequesont saisiesettraitéeslesdonnées.Danslesdeuxtableaux,nous avonsomislesunitésdelaconsommationetcecipourabréger l’écriture.Maisenprincipeceladoitêtreindiquéentre parenthèsesàcôtédelaconsommation. Remarque Ilvadesoiquelorsquevousrentrerezdesdonnéessousun logiciel,vousn’indiquerezpaslemot«Carburateur»àcôté desnombres(1,2,3,4).Ilestjustelàpourvousfaciliterla compréhensiondutableau. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Définitions Surchaqueessai,nousobservonsdeuxvariables. 1.Lecarburateur.Ilesttotalementcontrôlé.Lavariable «Carburateur»estconsidéréecommequalitativeavec quatremodalitésbiendéterminées.Nousl’appelonsle facteur(factor).Icilefacteur«Carburateur»estàeffets fixes(fixedeffects). 2.Laconsommation.C’estunemesure.Lavariable «Consommation»estconsidéréecommequantitative. Nousl’appelonslaréponse(response). FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(3)

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Notations Lavariablemesuréedansuntelschémaexpérimentalsera notéeY. Pourlesobservationsnousutilisonsdeuxindices: •lepremierindiceindiquelenumérodugroupedansla population(«Carburateur»), •lesecondindiceindiquelenumérodel’observationdans l’échantillon(«Essai»). FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Pourlepremierindice,nousutilisonsi(ouencorei0 ,i00 ,i1,i2). Pourlesecondindice,nousutilisonsj(ouencorej0 ,j00 ,j1,j2). Notation Ainsilesobservationssontengénéralnotéespar: yij,i=1,...,Ij=1,...,J(i). Définition Lorsqueleséchantillonssontdemêmetaille,àsavoirJ(i)=J etcequelquesoiti,nousdisonsquel’expérienceest équilibrée. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Silestaillesdeséchantillonssontdifférentes,alorsellessont notéespar: ni,oùi=1,...,I. Maisceplanexpérimentalestàéviterparcequeles différencesqu’ilestalorspossiblededétectersontsupérieures àcellesduschémaéquilibré. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Définitions Enseplaçantdanslecaséquilibrénousnotonsles moyennes(means)dechaqueéchantillonpar: yi=1 J

JX j=1yij,i=1,...,I, etlesvariances(variances)dechaqueéchantillonpar: s2 i(y)=1 J

J X j=1(yij−yi)2 ,i=1,...,I. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(4)

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Cettedernièreformuleexprimelavariancenoncorrigée.Très souvent,danslesouvragesouleslogiciels,c’estlavariance corrigéequiestutilisée:aulieud’êtrediviséeparJ,lasomme estdiviséeparJ−1. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Retouràl’exemple AprèscalculsaveclelogicielR,nousavons: y1=23,50000y2=24,66667 y3=20,33333y4=19,83333 et s1,c(y)=5,890671s2,c(y)=6,470446 s3,c(y)=4,926121s4,c(y)=7,111024. Lenombretotald’observationsestégalà: n=IJ=4×6=24. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Conditionsfondamentalesdel’ANOVA Noussupposonsquelesrésidus{beij}sontdesréalisationsdes variableserreurs{εij}quisatisfontaux3conditionssuivantes: 1.Ellessontindépendantes(independent). 2.Ellesontmêmevarianceσ2 inconnue.C’estlacondition d’homogénéité(homogeneity)ou d’homoscédasticité(homoscedasticity). 3.Ellessontdeloigaussienne(normaldistribution). Remarque Parconséquentcestroisconditionssetransfèrentsurles variablesaléatoires{Yij}. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Nouspouvonsdoncécrirelemodèle: L(Yij)=N(µi;σ2 ),i=1,...,I,j=1,...,J. Ainsinousconstatonsque,silesloisL(Yij)sontdifférentes, ellesnepeuventdifférerqueparleurmoyennethéorique.Ilya doncunsimpledécalageentreelles. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(5)

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Parfois,lemodèlestatistiqueestécritdelafaçonsuivante: Yij=µ+αi+εij oùIX i=1αi=0etL(εij)=N(0;σ2 ),i=1,...,I,j=1,...,J. Nousavonsdonclacorrespondancesuivante: µi=µ+αii=1,...,I. Lesdeuxmodèlessontdoncstatistiquementéquivalents. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Objectif Exemple:Lescarburateurs Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Miseenplacedutestdecomparaisondesmoyennes Nousnousproposonsdetesterl’hypothèsenulle (H0):µ1=µ2=···=µI contrel’hypothèsealternative (H1):Lesmoyennesµinesontpastouteségales. Laméthodestatistiquequipermetd’effectuercetestest appeléel’analysedelavarianceàunfacteur(oneway analysisofvariance). FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Letestestfondésurdeuxpropriétésdesmoyennesetdes variances. Premièrepropriété Lamoyennedetouteslesobservationsestlamoyennedes moyennesdechaqueéchantillon.Cecis’écrit: y=1 n

JX j=1

IX i=1yij=1 n

IX i=1

JX j=1yij=1 I

IX i=1yi. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple Pourcetexemple,nousconstatonscettepropriété.Eneffet, nousavonsaveclelogicielR: y=1 24×530 =1 4(23,50+24,66667+20,33333+19,83333) =1 4×88,33333 =22,08333, puisquen=24=I×J=4×6. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(6)

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Deuxièmepropriété Lavariancedetouteslesobservationsestlasommedela variancedesmoyennesetdelamoyennedesvariances.Ceci s’écrit: s2 (y)=1 n

I X i=1

J X j=1(yij−y)2 =1 I

I X i=1(yi−y)2 +1 I

I X i=1s2 i(y).(1) FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple Uncalcul«àlamain»avecRdonne: s2 (y)=35,78. D’autrepart,nousconstatonsquelavariancedesmoyennes estégaleà: 1 I

I X i=1(yi−y)2 =1 4 (23,50−22,08)2 +(24,67−22,08)2 +(20,33−22,08)2 +(19,83−22,08)2 =4,22. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Suitedel’exemple Nousconstatonségalementquelamoyennedesvariancesest égaleà: 1 I

IX i=1s2 i(y)=1 4(28,91+34,88+20,25+42,13)=31,56. Enfaisantlasommedesdeuxderniersrésultats,nous retrouvonsbienlavaleurde35,78quenousavonsobtenuepar lecalculsimple.Donclarelation(1)estbienvérifiée. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Résultatfondamentaldel’ANOVA Enmultipliantlesdeuxmembresparndel’équation(1),nous obtenons: IX i=1

JX j=1(yij−y)2 =JIX i=1(yi−y)2 +IX i=1

 JX j=1(yij−yi)2  ouencorecequis’écrit: SCTot=SCF+SCR.(2) FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(7)

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple AveclelogicielR,nousavonsd’unepart SCTot=857,8333 etd’autrepart SCF=100,8333etSCR=757,0000. Donclorsquenousfaisonslasommedesdeuxderniers résulatsnousretrouvonsbienlavaleurdupremierrésultat. Donclarelation(2)estbienvérifiée. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonsvariationtotale(totalvariation)leterme: SCTot=IX i=1

JX j=1(yij−y)2 . Elleindiqueladispersiondesdonnéesautourdelamoyenne générale. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonsvariationdueaufacteur(variationbetween) leterme: SCF=JIX i=1(yi−y)2 . Elleindiqueladispersiondesmoyennesautourdelamoyenne générale. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonsvariationrésiduelle(variationwithin)le terme: SCR=I X i=1 J X j=1(yij−yi)2 . Elleindiqueladispersiondesdonnéesàl’intérieurdechaque échantillonautourdesamoyenne. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(8)

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Principedutest: Sil’hypothèsenulle(H0)estvraiealorslaquantitéSCFdoit êtrepetiteparrapportàlaquantitéSCR. Parcontre,sil’hypothèsealternative(H1)estvraiealorsla quantitéSCFdoitêtregrandeparrapportàlaquantitéSCR. Pourcomparercesquantités,R.A.Fisher,aprèslesavoir «corrigées»parleursdegrésdeliberté(ddl),aconsidéréleur rapport. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonsvariancedueaufacteurleterme s2 F=SCF I−1 etvariancerésiduelleleterme s2 R=SCR n−I· FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Propriété Silestroisconditionssontsatisfaitesetsil’hypothèsenulle (H0)estvraiealors Fobs=s2 F s2 R estuneréalisationd’unevariablealéatoireFquisuituneloide FisheràI−1degrésdelibertéaunumérateuretn−Idegrés delibertéaudénominateur.CetteloiestnotéeFI−1,n−I. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Décision Pourunseuildonnéα(=5%=0,05engénéral),lestablesde Fishernousfournissentunevaleurcritiquectelleque P(H0)[F6c]=1−α.Alorsnousdécidons: siFobs<c(H0)estvraie, sic6Fobs(H1)estvraie. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(9)

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Tableaudel’ANOVA L’ensembledelaprocédureestrésuméparuntableau,appelé tableaudel’analysedelavariance(analysisofvariance table),dutypesuivant: VariationSCddls2 FobsFc DueaufacteurSCFI−1s2 Fs2 F s2 Rc RésiduelleSCRn−Is2 R TotaleSCTotn−1 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple Pourlesdonnéesdel’exempledescarburateurs,letableaude l’analysedelavariances’écrit: VariationSCddls2 FobsFc Dueaufacteur100,83333,610,8883,10 Résiduelle757,002037,85 Totale857,8323 FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Conclusion Pourunseuilα=5%,lestablesdeFishernousfournissentla valeurcritiquec=3,10.Nousdécidonsdoncquel’hypothèse nulle(H0)estvraie:iln’yadoncpasdedifférenceentreles moyennesthéoriquesdeconsommationselonletypede carburateur.Nousenconcluonsquelaconsommationest stableselonletypedecarburateur. Remarque Nousavonsdécidéquelesmoyennesthéoriquesnesontpas différentesdansleurensemble,maisnousaurionstrèsbienpu trouverlecontraire.Nousanalyseronscecasparlasuiteavec undestestsdecomparaisonsmultiples(cfparagraphe4). FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Vérificationdestroisconditions Nousétudionslespossibilitésd’évaluerlavaliditédestrois conditionsquenousavonssupposéessatisfaites. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(10)

Indépendance Normalité Homogénéité Conditiond’indépendance Iln’existepas,dansuncontextegénéral,deteststatistique simplepermettantd’étudierl’indépendance. Cesontlesconditionsdel’expériencequinouspermettront d’affirmerquenoussommesdanslecasdel’indépendance. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Conditiondenormalité Nousnepouvonspas,engénéral,latesterpourchaque échantillon.Eneffetlenombred’observationsestsouventtrès limitépourchaqueéchantillon. Nousallonsdonclatestersurl’ensembledesdonnées. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Remarque Remarquonsquesilesconditionssontsatisfaitesetsinous notons: Eij=Yij−µi, alors L(Eij)=N(0;σ2 ), alorsc’estlamêmeloipourl’ensembledesunités. Lesmoyennesµiétantinconnues,nouslesestimonsparles estimateursdelamoyenne:lesYioùilssontdéfinispar Yi=1 J

JX j=1Yij. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Suitedelaremarque Nousobtenonsalorslesestimationsyi.Lesquantitésobtenues s’appellentlesrésidus(residuals)etsontnotéesbeij.Les résiduss’exprimentpar: beij=yij−yi,i=1,...,I,j=1,...,J. Lesrésiduspeuvents’interprétercommedesestimationsdes erreursdemesures. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(11)

Indépendance Normalité Homogénéité Testsutiliséspourtesterlanormalité Nouspouvonsalorstesterlanormalité,avecletestde Shapiro-WilkouavecletestdeShapiro-Franciasur l’ensembledesrésidus. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Indépendance Normalité Homogénéité Hypothèses NousnotonsbEijlavariablealéatoiredontlerésidubeijestla réalisation. L’hypothèsenulle (H0):L(bEij)=N contrel’hypothèsealternative (H1):L(bEij)6=N. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité DécisionpourletestdeShapiro-Francia Pourunseuildonnéα(=5%engénéral),lestablesde Shapiro-Francianousfournissentunevaleurcritiquectelleque P(H0)[R6c]=α.Alorsnousdécidons: sirobs6c(H1)estvraie, sic<robs(H0)estvraie. Remarque:Danslecadredececours,lastatistiquede Shapiro-Francianeserajamaiscalculée.L’utilisateur connaîtratoujourslavaleurrobs. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Retouràl’exemple:letestdeShapiro-Francia Pourunseuilα=5%,lestablesdeShapiro-Francia(quisontà téléchargersurlesite)nousfournissent,avecn=24,lavaleur critiquec=0,9557.Maisnousavonsrobs=0,9868.Comme c<robs,l’hypothèsenulle(H0)estvraie,c’est-à-direquenous décidonsquel’hypothèsedenormalitéestsatisfaite. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(12)

Indépendance Normalité Homogénéité Retouràl’exemple:letestdeShapiro-Wilk AveclelogicielR,nousavons >shapiro.test(residuals(modele)) Shapiro-Wilknormalitytest data:residuals(modele) W=0.9654,p-value=0.5554 Commelap−valeurestsupérieureà0,05,l’hypothèsenulle (H0)estvraie,c’est-à-direquenousdécidonsque l’hypothèsedenormalitédesrésidusestsatisfaite. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Conditiond’homogénéité Plusieurstestspermettentdetesterl’égalitédeplusieurs variances.Parmiceux-ci,letestleplusutiliséestletestde Bartlettdontleprotocoleestlesuivant: FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Hypothèses L’hypothèsenulle (H0):σ^{2 1}=σ^{2 2}=...=σ2 I contrel’hypothèsealternative (H1):Lesvariancesσ2 inesontpastouteségales. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Indépendance Normalité Homogénéité Statistique Bobs=1 C1" (n−I)ln(s2 R)−IX i=1(ni−1)ln(s2 c,i)# (3) où •laquantitéC1estdéfiniepar: C1=1+1 3(I−1) IX i=1

1 ni−1

! −1 n−I

! , •s2 Rlavariancerésiduelle,s2 c,ilavariancecorrigéedes observationsdel’échantillond’ordrei,(i=1,...,I). FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

(13)

Indépendance Normalité Homogénéité Propriété Sousl’hypothèsenulle(H0)lenombreBobsdéfinipar(3)estla réalisationd’unevariablealéatoireBquisuitasymptotiquement uneloidukhi-deuxàI−1degrésdeliberté. Enpratique,nouspouvonsl’appliquerlorsqueleseffectifsni desIéchantillonssonttousaumoinségauxà3.Cetest dépenddelanormalitédesrésidus. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Décision Pourunseuildonnéα(=5%engénéral),lestablesdu khi-deuxnousfournissentunevaleurcritiquectelleque P(H0)[B6c]=1−α.Alorsnousdécidons: sic6Bobs(H1)estvraie, siBobs<c(H0)estvraie. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Indépendance Normalité Homogénéité Retouràl’exemple Ensesouvenantquelesnisonttouségaux,nousavons, aveclelogicielR: Bobs=0,6503. Pourunseuilα=5%lavaleurcritiqued’unkhi-deuxà3 degrésdeliberté,estc=7,815. CommeBobs<c,nousdécidonsquel’hypothèsenulle(H0) estvraie,c’est-à-direquel’hypothèsed’homogénéitédes variancesestvérifiée. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

MéthodedeBonferroni Méthodedescontrasteslinéaires Méthodesbaséessurlastatistiquederangstudentisée MéthodedeNewmanKeuls MéthodedeTukey Objectif Lorsquepourlacomparaisondesmoyennesthéoriquesla décisionest«l’hypothèsealternative(H1)estvraie»,pour analyserlesdifférencesnousprocédonsàdestestsquivont répondreàlaquestionsuivante: D’oùvientladifférence? Quellesmoyennessontdifférentes? Cestestsquivontrépondreàcettequestionsontlestestsde comparaisonsmultiples,desadaptationsdutestdeStudent. FrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur