Analyse de la var iance à deux facteurs emboîtés

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Analyse de la var iance à deux facteurs emboîtés

MyriamMaumy-Bertrand1 &MarieChion1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Master1reAnnée 2019-2020 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Sommaire

1Introduction Exemple 2Modèleàeffetsfixes Avecrépétitions 3Modèleàeffetsaléatoires Avecrépétitions 4Modèleàeffetsmixtes Avecrépétitions MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes Références Cecourss’appuieessentiellementsur 1lelivreDavidC.Howell,Méthodesstatistiquesen scienceshumainestraduitdelasixièmeédition américaineauxéditionsdeBoeck,2008. 2lelivredePierreDagnelie,Statistiquethéoriqueet appliquée,Tome2,auxéditionsdeBoeck,1998. 3lelivredeHardeoSahaietMohammedI.Ageel,The AnalysisofVariance:Fixed,RandomandMixed Models,auxéditionsBirkhäuser,2000. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Exemple

Sommaire

1Introduction Exemple 2Modèleàeffetsfixes Avecrépétitions 3Modèleàeffetsaléatoires Avecrépétitions 4Modèleàeffetsmixtes Avecrépétitions MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Exemple Introduction Noussommesdanslasituationparticulièreoùleseffets desniveauxdufacteurBn’ontpasdesignification concrète,parexemplecesniveauxdépendentduniveau dufacteurAconsidéréetuneétudedeseffetsprincipaux dufacteurBn’apasdepertinence. Nousnepouvonsnousservird’unmodèleoùlesfacteurs sontemboîtésa ,quesinousdisposonsderépétitions. Danslecascontraireoùlesessaisneseraientpas répétés,l’effetdûaufacteurBnepourraêtreétudiéetle modèlequenousdevronsutiliserpouranalyserles donnéesseral’undeceuxexposésauchapitrede l’analysedelavarianceàunfacteur. a.Cestypesdemodèlessontégalementappelésdesmodèles hiérarchiquesouenanglaishierarchicalounestedmodels. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Exemple Exemple Ainsiparexempleunfabriquantdedétergentsalimente plusieurschaînesdedistribution:A1,A2,...,AI.Nous pensonsquelesboîtesdeproduitlivréesàcertaineschaînes dedistributioncontiennentunemassededétergentinférieureà celledesautreschaînesdedistribution. Pourétudiercettesituation,nousdécidonsdepréleverKboîtes dansJmagasinsdechaquechaîne. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Exemple Exemple-Suite AinsilesecondfacteurBj,associéauj−èmemagasindansla chaîne,estunrepèrequin’aaucunesignificationréelle:iln’y a,parexempleaucunerelationentrelemagasinno3dela chaîne1etlemagasinno 3delachaîne4.Iln’yadoncaucun intérêtàintroduireuntermedanslemodèlecaractérisantl’effet principaldufacteurB. PourindiquerladépendancedesniveauxdusecondfacteurB auxniveauxdupremierfacteurAnousnotonslesniveauxdu secondfacteurB:Bj(i),16i6Iet16j6J. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions

Sommaire

1Introduction Exemple 2Modèleàeffetsfixes Avecrépétitions 3Modèleàeffetsaléatoires Avecrépétitions 4Modèleàeffetsmixtes Avecrépétitions MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Exemple(DamonetHarvey,1987) L’expérienceconsisteàévaluerlegaindemasse,engrammes, entreladixièmeetlavingtièmesemainedepouletssoumisà quatrerégimesalimentairesobtenusencombinantdesniveaux faiblesouélevésdeCalciumetdeLysine.Deuxenclosdesix pouletsontétéutiliséspourchacundesquatretraitements étudiés. Remarque Lesdeuxfacteurs,RégimeetEnclos,sontcontrôléspar l’expérimentateur. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Tableaudesdonnées Régime LoCaLoLLoCaHiLHiCaLoLHiCaHiL Enclos12121212 5731041618943731416518416 Gain636814926640845729782729 de883498717373866590938590 masse550890677907729552755552 (eng)613636659734770776672776 9016858171050787657576657 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Lemodèle Lemodèlestatistiques’écritdelafaçonsuivante: Yijk=µ+αi+βj(i)+Eijk oùi=1,...,I,j=1,...,J,k=1,...,K, aveclesdeuxcontraintessupplémentaires: IX i=1αi=0etJX j=1βj(i)=0,pourtouti∈{1,...I} oùYijkestlavaleurpriseparlaréponseYdanslesconditions αi,βj(i) lorsduk−èmeessai. Nousnotonsn=I×J×Klenombretotaldemesuresayant étéeffectuées. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Contexte UnfacteurcontrôléαseprésentesousImodalités, chacuned’entreellesétantnotéeαi. UnfacteurcontrôléβseprésentesousJmodalités, chacuned’entreellesdépendantduniveauαidufacteurα etétantalorsnotéeβj(i). Pourchacundescouplesdemodalités(αi,βj(i))nous effectuonsK>2mesuresd’uneréponseYquiestune variablecontinue. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Conditionsclassiquesdel’ANOVA Nouspostulonsleshypothèsesclassiquesdel’ANOVApourles variableserreursEijk: 1leserreurssontindépendantes 2leserreursontmêmevarianceσ2 inconnue 3leserreurssontdeloigaussienne. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Relationfondamentaledel’ANOVA Noussupposonsquelesconditionsd’utilisationdecemodèle sontbienremplies. NousutilisonslesquantitésSCα,SCβ,SCαβ,SCR,SCTOTdéjà introduitesauchapitreprécédent. NousposonsSCβ|α=SCβ+SCαβ. Nousrappelonslarelationfondamentaledel’ANOVA: SCTOT=SCα+SCβ|α+SCR. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Tableaudel’ANOVA VariationSCddlCMFobsFc DueaufacteurαscαI−1cmαcmα cmRcα Dueaufacteurβ scβ|αI(J−1)cmβ|αcmβ|α cmRcβ|α dansα RésiduellescRIJ(K−1)cmR TotalescTOTn−1 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Testsd’hypothèses L’analysedelavarianceàdeuxfacteursemboîtésàeffetsfixes avecrépétitionspermetdeuxtestsdeFisher. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Premiertest Noustestonsl’hypothèsenulle (H 0):α1=α2=···=αI=0 contrel’hypothèsealternative (H1):Ilexistei0∈{1,2,...,I}telqueαi06=0. Sousl’hypothèsenulle(H0)précédented’absenced’effetdu facteurαetlorsquelesconditionsdevaliditédumodèlesont respectées,Fα,obsestlaréalisationd’unevariablealéatoirequi suituneloideFisheràI−1etIJ(K−1)degrésdeliberté. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Premiertest-Suite Nousconcluonsalorsàl’aidedelap−valeur,rejetsielleest inférieureouégaleauseuilαdutest,ouàl’aided’unetable, rejetsilavaleurFα,obsestsupérieureouégaleàlavaleur critiqueissuedelatabledeFisher. Lorsquel’hypothèsenulle(H0)estrejetée,nouspouvons procéderàdestestsdecomparaisonsmultiplesdesdifférents effetsdesniveauxdufacteur. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Deuxièmetest Noustestonsl’hypothèsenulle (H0):β1(1)=β2(1)=···=βJ(1)=β1(2)=···=βJ(I)=0 contrel’hypothèsealternative (H 1):Ilexiste(i0,j0)∈{1,...,I}×{1,...,J}telqueβj0(i0)6=0. Sousl’hypothèsenulle(H0)précédented’absenced’effetdes facteursβdanslefacteurαetlorsquelesconditionsdevalidité dumodèlesontrespectées,Fβ|α,obsestlaréalisationd’une variablealéatoirequisuituneloideFisheràI(J−1)et IJ(K−1)degrésdeliberté. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Deuxièmetest-Suite Nousconcluonsalorsàl’aidedelap−valeur,rejetsielleest inférieureouégaleauseuilαdutest,ouàl’aided’unetable, rejetsilavaleurFβ|α,obsestsupérieureouégaleàlavaleur critiqueissuedelatabledeFisher. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Retouràl’exemple-SortieavecMINITAB AnalysedelavariancepourGaindemasse, avecutilisationdelasommedescarrés ajustéepourlestests SourceDLSomCarséqCMajustFP Régime353943179810,730,539 Enclos (Régime)4125688314221,280,294 Erreur4098265424566 Total471162286 S=156,737Rcarré=15,46%Rcarré(ajust)= 0,66% MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Remarque Noussupposonsquelesconditionsdumodèlesontbien remplies.Cequenousvérifieronsparlasuite. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Analysedesrésultats 1Pourlepremiertest,P-value=0,539,nousdécidonsdene pasrefuserl’hypothèsenulle(H0).Parconséquent,nous n’avonspasréussiàmettreenévidenced’effetdufacteur àeffetsfixes«Régime».Lerisqueassociéàcette décisionestunrisquededeuxièmeespèce.Pourl’évaluer, ilresteraitàcalculerlapuissancedecetest. 2Pourledeuxièmetest,P-value=0,294,nousdécidonsde nepasrefuserl’hypothèsenulle(H0).Parconséquent, nousn’avonspasréussiàmettreenévidenced’effetdu facteuràeffetsfixes«Enclos»danslefacteur«Régime». Lerisqueassociéàcettedécisionestunrisquede deuxièmeespèce.Pourl’évaluer,ilresteraitàcalculerla puissancedecetest. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions

Sommaire

1Introduction Exemple 2Modèleàeffetsfixes Avecrépétitions 3Modèleàeffetsaléatoires Avecrépétitions 4Modèleàeffetsmixtes Avecrépétitions MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Exemple(Boxetal.,1978) Boxetal.ontrécoltélesdonnéesd’uneexpérienceconçue pourestimerlamoisissurecontenuedansunepâtedepiment produiteparuneentrepriseagro-alimentaire.Pourcefaire,15 lotsdepotsdepâtedepimentontétésélectionnésauhasard danslaproductiondel’entrepriseetdanschacundeceslots, deuxpotsdepâteontétéànouveausélectionnésauhasard. Deuxprélèvementsdistinctsdepâteontétéanalyséspour chacundecespots. Remarque Lesdeuxfacteurs,LotetÉchantillon,sonttousdeux considéréscommedesfacteursàeffetsaléatoires. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Tableaudesdonnées Lot12345 Échan.1212121212 Analyses40302625291430241917 39302826281531242017 Lot678910 Échan.1212121212 Analyses33262332342927311327 32242433342927311624 Lot1112131415 Échan.1212121212 Analyses25252931192923253926 23272932203024253728 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Lemodèle Lemodèlestatistiques’écritdelafaçonsuivante: Yijk=µ+Ai+Bj(i)+Eijk aveci=1,...,I,j=1,...,J,k=1,...,K etoùYijkestlavaleurpriseparlaréponseYdansles conditions(Ai,Bj(i))lorsduk−èmeessai. Nousnotonsn=I×J×Klenombretotaldemesuresayant étéeffectuées. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Contexte LestermesAireprésententunéchantillondetailleI prélevédansunepopulationimportante.Nousadmettrons queleseffetsdesAisontdistribuéssuivantuneloi normalecentréedevarianceσ2 A. LestermesBj(i)représententunéchantillondetailleJ prélevédansunepopulationimportantedépendantdu niveauAidufacteurA.Nousadmettronsqueleseffetsdes Bj(i),sontdistribuéssuivantuneloinormalecentréede varianceσ2 B|A. Pourchacundescouplesdemodalités(Ai,Bj(i))nous effectuonsK>2mesuresd’uneréponseYquiestune variablecontinue. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Conditionsliéesàcetyped’analyse Noussupposonsque L(Ai)=N(0,σ2 A),pourtouti,16i6I, LBj(i) =N(0,σ2 B|A),pourtoutj,16j6J, ainsiquel’indépendancedeseffetsaléatoires: leseffetsaléatoiresAisontindépendants leseffetsaléatoiresBj(i)sontindépendants leseffetsaléatoiresAietBj(i)sontindépendants. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Conditionsclassiquesdel’ANOVA Nouspostulonsleshypothèsesclassiquesdel’ANOVApourles variableserreursEijk: 1leserreurssontindépendantes 2leserreursontmêmevarianceσ2 inconnue 3leserreurssontdeloigaussienne. Ajoutdeconditions Nousajoutonsl’indépendancedeseffetsaléatoiresetdes erreursdueàcetyped’analyse: leseffetsaléatoiresAietleserreursEijksontindépendants leseffetsaléatoiresBj(i)etleserreursEijksont indépendants. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Relationfondamentaledel’ANOVA Noussupposonsquelesconditionsd’utilisationdecemodèle sontbienremplies. NousutilisonslesquantitésSCA,SCB,SCAB,SCR,SCTOTdéjà introduitesauchapitreprécédent. NousposonsSCB|A=SCB+SCAB. Nousrappelonslarelationfondamentaledel’ANOVA: SCTOT=SCA+SCB|A+SCR. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Tableaudel’ANOVA VariationSCddlCMFobsFc DueaufacteurAscAI−1cmAcmA cmB|AcA DueaufacteurB scB|AI(J−1)cmB|AcmB|A cmRcB|A dansA RésiduellescRIJ(K−1)cmR TotalescTOTn−1 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Testsd’hypothèses L’analysedelavarianceàdeuxfacteursemboîtésàeffets aléatoiresavecrépétitionspermetdeuxtestsdeFisher. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Premiertest Noustestonsl’hypothèsenulle (H 0):σ2 A=0 contrel’hypothèsealternative (H1):σ2 A6=0. Sousl’hypothèsenulle(H0)précédented’absenced’effetdu facteurAetlorsquelesconditionsdevaliditédumodèlesont respectées,FA,obsestlaréalisationd’unevariablealéatoirequi suituneloideFisheràI−1etI(J−1)degrésdeliberté. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Deuxièmetest Noustestonsl’hypothèsenulle (H 0):σ2 B|A=0 contrel’hypothèsealternative (H 1):σ2 B|A6=0. Sousl’hypothèsenulle(H0)précédented’absenced’effetdu facteurBdanslefacteurAetlorsquelesconditionsdevalidité dumodèlesontrespectées,FB|A,obsestlaréalisationd’une variablealéatoirequisuituneloideFisheràI(J−1)et IJ(K−1)degrésdeliberté. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Retouràl’exemple-SortieavecMINITAB AnalysedelavariancepourAnalyse,avec utilisationdelasommedescarrésajustée pourlestests SourceDLSomCarséqCMajustFP Lot141210,93386,4951,490,226 Echan. (Lot)15869,75057,98363,250,000 Erreur3027,5000,917 Total592108,183 S=957427Rcarré=98,70%Rcarré(ajust)= 97,43% MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Remarque Noussupposonsquelesconditionsdumodèlesontbien remplies.Cequenousvérifieronsparlasuite. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Analysedesrésultats 1Pourlepremiertest,P-value=0,226,nousdécidonsdene pasrefuserl’hypothèsenulle(H0).Parconséquent,nous n’avonspasréussiàmettreenévidenced’effetdufacteur àeffetsaléatoires«Lot».Lerisqueassociéàcette décisionestunrisquededeuxièmeespèce.Pourl’évaluer, ilresteraitàcalculerlapuissancedecetest. 2Pourledeuxièmetest,P-value=0,000,nousdécidons,au seuilα=5%,derefuserl’hypothèsenulle(H0).Par conséquent,nouspouvonsdirequ’ilyauneffetsignificatif dufacteuràeffetsaléatoires«Échantillon»danslefacteur àeffetsaléatoires«Lot».Lerisqueassociéàcette décisionestunrisquedepremièreespècequivaut5%. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions

Sommaire

1Introduction Exemple 2Modèleàeffetsfixes Avecrépétitions 3Modèleàeffetsaléatoires Avecrépétitions 4Modèleàeffetsmixtes Avecrépétitions MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Exemple(SnedecoretCochran,1989) L’expérienceportesurlaprisedepoidsquotidiennedejeunes cochonsaucoursdeleurphasedecroissance.L’objectifde l’expérienceestdedéterminerl’influencedupatrimoine génétiquedecinqpèressurleursdescendants.Pourcefaire, cescinqmâlesonteuuneportéeavecdeuxmèresdifférentes etchoisiesauhasard.Danschacunedecesportées,deux animauxontétésélectionnésetleurmassemesuréeen grammes. Remarque LefacteurPèreestconsidérécommeunfacteuràeffetsfixes etlefacteurMèrecommeunfacteuràeffetsaléatoires. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Tableaudesdonnées Père123 Mère121212 Gain2,772,582,283,012,362,72 masse2,382,942,222,612,712,74 Père45 Mère1212 Gain2,872,312,742,50 masse2,462,242,562,48 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Lemodèle Lemodèlestatistiques’écritdelafaçonsuivante: Yijk=µ+αi+Bj(i)+Ei,j,k oùi=1,...,I,j=1,...,J,k=1,...,K, aveclescontraintessupplémentaires: I X i=1αi=0, oùYijkestlavaleurpriseparlaréponseYdanslesconditions (αi,Bj(i))lorsduk−èmeessai. Nousnotonsn=I×J×Klenombretotaldemesuresayant étéeffectuées. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Contexte 1UnfacteurcontrôléαseprésentesousImodalités, chacuned’entreellesétantnotéeαi. 2LestermesBj(i)représententunéchantillondetailleJ prélevédansunepopulationimportante.Nousadmettrons queleseffetsdesBj(i)sontdistribuéssuivantuneloi normalecentréedevarianceσ2 B|α. 3Pourchacundescouplesdemodalités(αi,Bj(i))nous effectuonsK>2mesuresd’uneréponseYquiestune variablecontinue. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Conditionsliéesàcetyped’analyse Noussupposonsque LBj(i) =N(0,σ2 B|α),pourtoutj,16j6J, leseffetsaléatoiresBj(i)sontindépendants. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Conditionsclassiquesdel’ANOVA Nouspostulonsleshypothèsesclassiquesdel’ANOVApourles variableserreursEijk: 1leserreurssontindépendantes 2leserreursontmêmevarianceσ2 inconnue 3leserreurssontdeloigaussienne. Ajoutdeconditions Nousajoutonsl’indépendancedeseffetsaléatoiresetdes erreursdueàcetyped’analyse: leseffetsaléatoiresBj(i)etleserreursEijksont indépendants. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Relationfondamentaledel’ANOVA Noussupposonsquelesconditionsd’utilisationdecemodèle sontbienremplies. NousutilisonslesquantitésSCα,SCB,SCαB,SCR,SCTOTdéjà introduitesauchapitreprécédent. NousposonsSCB|α=SCB+SCαB. Nousrappelonslarelationfondamentaledel’ANOVA: SCTOT=SCα+SCB|α+SCR. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Tableaudel’ANOVA VariationSCddlCMFobsFc DueaufacteurαscαI−1cmαcmα cmB|αcα DueaufacteurB scB|αI(J−1)cmB|αcmB|α cmRcB|α dansα RésiduellescRIJ(K−1)cmR TotalescTOTn−1 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Testsd’hypothèses L’analysedelavarianceà2facteursemboîtésàeffetsmixtes avecrépétitionspermetdeuxtestsdeFisher. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Premiertest Noussouhaitonstesterl’hypothèsenulle (H 0):α1=α2=···=αI=0 contrel’hypothèsealternative (H1):Ilexistei0∈{1,2,...,I}telqueαi06=0. Sousl’hypothèsenulle(H0)précédented’absenced’effetdu facteurαetlorsquelesconditionsdevaliditédumodèlesont respectées,Fα,obsestlaréalisationd’unevariablealéatoirequi suituneloideFisheràI−1etI(J−1)degrésdeliberté. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Décision Nousconcluonsalorsàl’aidedelap−valeur,rejetsielleest inférieureouégaleauseuilαdutest,ouàl’aided’unetable, rejetsilavaleurFα,obsestsupérieureouégaleàlavaleur critiqueissuedelatable. Comparaisonsmultiples Lorsquel’hypothèsenulle(H0)estrejetée,nouspouvons procéderàdescomparaisonsmultiplesdesdifférentseffets desniveauxdufacteur.Nousrenvoyonsauchapitre1quitraite desprincipalesméthodesdecomparaisonsmultiples. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Deuxièmetest Noustestonsl’hypothèsenulle (H 0):σ2 B|α=0 contrel’hypothèsealternative (H 1):σ2 B|α6=0. Sousl’hypothèsenulle(H0)précédented’absenced’effetdu facteurBdansαetlorsquelesconditionsdevaliditédumodèle sontrespectées,FB|αestlaréalisationd’unevariablealéatoire quisuituneloideFisheràI(J−1)etIJ(K−1)degrésde liberté. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Retouràl’exemple-SortieavecMINITAB AnalysedelavariancepourAnalyse,avec utilisationdelasommedescarrésajustée pourlestests SourceDLSomCarséqCMajustFP Père40,099730,024930,220,916 Mère (Père)50,563550,112712,910,071 Erreur100,387000,03870 Total191,05028 S=0,196723Rcarré=63,15%Rcarré(ajust) =29,99% MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

uds

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Remarque Noussupposonsquelesconditionsdumodèlesontbien remplies.Cequenousvérifieronsparlasuite. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion

Introduction Modèleàeffetsfixes Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Analysedesrésultats 1Pourlepremiertest,P-value=0,916,nousdécidonsdene pasrefuserl’hypothèsenulle(H0).Parconséquent,nous n’avonspasréussiàmettreenévidenced’effetdufacteur àeffetsfixes«Père».Lerisqueassociéàcettedécision estunrisquededeuxièmeespèce.Pourl’évaluer,il resteraitàcalculerlapuissancedecetest. 2Pourledeuxièmetest,P-value=0,071,nousdécidonsde nepasrefuserl’hypothèsenulle(H0).Parconséquent, nousn’avonspasréussiàmettreenévidenced’effetdu facteuràeffetsaléatoires«Mère»danslefacteuràeffets fixes«Père».Lerisqueassociéàcettedécisionestun risquededeuxièmeespèce.Pourl’évaluer,ilresteraità calculerlapuissancedecetest. MyriamMaumy-Bertrand&MarieChion