Analyse de la var iance à un facteur

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Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Analyse de la var iance à un facteur

MyriamMaumyetFrédéricBertrand1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Module218-06-2013 MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité Cechapitres’appuieessentiellementsurlesdeuxlivres: MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité Références Cecourss’appuieégalementsur: 1lelivreDavidC.Howell,Méthodesstatistiquesen scienceshumainestraduitdelasixièmeédition américaineauxéditionsdeBoeck,2008, 2lelivredePierreDagnelie,Statistiquethéoriqueet appliquée,Tome2,auxéditionsdeBoeck,1998, 3lelivredeHardeoSahaietMohammedI.Ageel,The AnalysisofVariance:Fixed,RandomandMixed Models,auxéditionsBirkhäuser,2000. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Sommaire

1Modélisationstatistique Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes 2Tableaudel’analysedelavariance Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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3Vérificationdestroisconditions Indépendance Normalité Homogénéité 4Comparaisonsmultiples MéthodedeBonferroni Méthodedescontrasteslinéaires Méthodesbaséessurlastatistiquederangstudentisée MéthodedeNewmanKeuls MéthodedeTukey MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

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5Unexempleentièrementtraité Lecontexte Lesdonnées LescriptdeR Lesrésultatsdesorties MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes

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1Modélisationstatistique Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Objectif Danscechapitre,nousallonsétudierunteststatistique permettantdecomparerlesmoyennesdeplusieursvariables aléatoiresindépendantesgaussiennesdemêmevariance. L’analysedelavarianceestl’unedesprocédureslesplus utiliséesdanslesapplicationsdelastatistiqueainsiquedans lesméthodesd’analysededonnées. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Exemple:D’aprèslelivredeWilliamP.Gardiner,Statistical AnalysisMethodsforChemists Uneétudedereproductibilitéaétémenéepourétudierles performancesdetroislaboratoiresrelativementàla déterminationdelaquantitédesodiumdelasalocidedansde lanourriturepourdelavolaille. Uneportiondenourriturecontenantladosenominalede85mg kg−1 desodiumdelasalocideaétéenvoyéeàchacundes laboratoiresàquiilaétédemandédeprocéderà10 réplicationsdel’analyse. Lesmesuresdesodiumdelasalocideobtenuessontexprimées enmgkg−1 .Ellesontétéreproduitessurletransparentsuivant. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Lareproductibilitéd’uneexpériencescientifiqueestunedes conditionsquipermettentd’inclurelesobservationsréalisées durantcetteexpériencedansleprocessusd’amélioration perpétuelledesconnaissancesscientifiques.Cettecondition partduprincipequ’onnepeuttirerdeconclusionsqued’un événementbiendécrit,quiestapparuplusieursfois,provoqué pardespersonnesdifférentes.Cetteconditionpermetde s’affranchird’effetsaléatoiresvenantfausserlesrésultatsainsi quedeserreursdejugementoudesmanipulationsdelapart desscientifiques. Attention Nepasconfondrecettenotionaveclanotionderépétabilité. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Exemple:D’aprèslelivredeWilliamP.Gardiner. Laboratoire ABC 1878885 2889384 3848879 4848986 5878581 6818786 7868688 8848983 9888883 10869383 TABLE:Source:AnalyticalMethodsCommittee,Analyst,1995. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Cetteécrituredutableauestdite«désempilée».Nous pouvonsl’écriresousformestandard(«empilée»),c’est-à-dire avecdeuxcolonnes,unepourlelaboratoireetunepourla valeurdesodiumdelasalocidemesurée,ettrentelignes,une pourchacunedesobservationsréalisées. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Tableauempilédel’exempledeslaboratoires EssaiLaboratoireLasalocide 1LaboratoireA87 2LaboratoireA88 3LaboratoireA84 4LaboratoireA84 5LaboratoireA87 6LaboratoireA81 7LaboratoireA86 8LaboratoireA84 9LaboratoireA88 10LaboratoireA86 MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Suitedutableauprécédent EssaiLaboratoireLasalocide 11LaboratoireB88 12LaboratoireB93 13LaboratoireB88 14LaboratoireB89 15LaboratoireB85 16LaboratoireB87 17LaboratoireB86 18LaboratoireB89 19LaboratoireB88 20LaboratoireB93 MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Suitedutableauprécédent EssaiLaboratoireLasalocide 21LaboratoireC85 22LaboratoireC84 23LaboratoireC79 24LaboratoireC86 25LaboratoireC81 26LaboratoireC86 27LaboratoireC88 28LaboratoireC83 29LaboratoireC83 30LaboratoireC83 MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarques 1Danslaplupartdeslogiciels,c’estsouscetteformeque sontsaisiesettraitéeslesdonnées.Danslesdeux tableaux,nousavonsomislesunitésdelamesureréalisée etcecipourabrégerl’écriture.Maisenprincipeceladoit êtreindiquéentreparenthèsesàcôtédelamesure. 2Ilvadesoiquelorsquevousrentrerezdesdonnéessous unlogiciel,vousn’indiquerezpaslemot«Laboratoire»à côtédeslettres(A,B,C).Ilestjustelàpourvousfaciliter lacompréhensiondutableau. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Définitions Surchaqueessai,nousobservonsdeuxvariables. 1.Lelaboratoire.Ilesttotalementcontrôlé.Lavariable «Laboratoire»estconsidéréecommequalitativeavec troismodalitésbiendéterminées.Nousl’appelonsle facteur.Icilefacteur«Laboratoire»estàeffetsfixes. 2.LaquantitédeLasalocide.Lavariable«Lasalocide»est considéréecommequantitativecommegénéralementtous lesrésultatsobtenusparunemesure.Nousl’appelonsla réponse. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Notations Lavariablemesuréedansuntelschémaexpérimentalsera notéeY. Pourlesobservationsnousutilisonsdeuxindices: •lepremierindiceindiquelenumérodugroupedansla population(«Laboratoire»), •lesecondindiceindiquelenumérodel’observationdans l’échantillon(«Essai»). MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Significationdesindices Pourlepremierindice,nousutilisonsi(ouencorei0 ,i00 ,i1,i2). Pourlesecondindice,nousutilisonsj(ouencorej0 ,j00 ,j1,j2). Notation Ainsilesobservationssontengénéralnotéespar: yij,i=1,...,Ij=1,...,J(i). Définition Lorsqueleséchantillonssontdemêmetaille,àsavoirJ(i)=J etcequelquesoiti,nousdisonsquel’expérienceest équilibrée. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Silestaillesdeséchantillonssontdifférentes,alorsellessont notéespar: ni,oùi=1,...,I. Maisceplanexpérimentalestàéviterparcequeles différencesqu’ilestalorspossiblededétectersontsupérieures àcellesduschémaéquilibré. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Définitions Enseplaçantdanslecaséquilibrénousnotonsles moyennesdechaqueéchantillonpar: yi=1 J

JX j=1yij,i=1,...,I, etlesvariancesdechaqueéchantillonpar: s2 i(y)=1 J

J X j=1(yij−yi)2 ,i=1,...,I. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Cettedernièreformuleexprimelavariancenoncorrigée.Très souvent,danslesouvragesouleslogiciels,c’estlavariance corrigéequiestutilisée:aulieud’êtrediviséeparJ,lasomme estdiviséeparJ−1. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Retouràl’exemple Nousallonsd’abordimporterlesdonnéessousR,enutilisant leslignesdecommandesuivantes: >laboratoire<-rep(1:3,c(10,10,10)) >quantite<-c(87,88,84,84,87,81,86,84,88,86, 88,93,88,89,85,87,86,89,88,93,85,84,79,86,81, 86,88,83,83,83) >jeutotal<-data.frame(laboratoire,quantite) >moy<-tapply(jeutotal$quantite, jeutotal$laboratoire,mean) >moy >sd<-tapply(jeutotal$quantite, jeutotal$laboratoire,sd) >sd MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Suitedel’exemple Nousobtenonsdonc: y1=85,500y2=88,600 y3=83,800. et s1,c(y)=2,224s2,c(y)=2,633 s3,c(y)=2,616. Lenombretotald’observationsestégalà: n=IJ=3×10=30. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Conditionsfondamentalesdel’ANOVA Lesrésidus{beij}sontassociés,sansenêtredesréalisations, auxvariableserreurs{εij}quisontinobservablesetsatisfont auxtroisconditionssuivantes: 1.Ellessontindépendantes. 2.Ellessontdeloigaussienne. 3.Ellesontmêmevarianceσ2 inconnue.C’estlacondition d’homogénéitéoud’homoscédasticité. Remarque Parconséquentcestroisconditionssetransfèrentsurles variablesaléatoires{Yij}. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Modèlestatistique Nouspouvonsdoncécrirelemodèle: L(Yij)=N(µi;σ2 ),i=1,...,I,j=1,...,J. Ainsinousconstatonsque,silesloisL(Yij)sontdifférentes, ellesnepeuventdifférerqueparleurmoyennethéorique.Ilya doncunsimpledécalageentreelles. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Parfois,lemodèlestatistiqueestécritdelafaçonsuivante: Yij=µ+αi+εij oùIX i=1αi=0etL(εij)=N(0;σ2 ),i=1,...,I,j=1,...,J. Nousavonsdonclacorrespondancesuivante: µi=µ+αii=1,...,I. Lesdeuxmodèlessontdoncstatistiquementéquivalents. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Miseenplacedutestdecomparaisondesmoyennes Nousnousproposonsdetesterl’hypothèsenulle (H0):µ1=µ2=···=µI contrel’hypothèsealternative (H1):lesmoyennesµinesontpastouteségales. Laméthodestatistiquequipermetd’effectuercetestest appeléel’analysedelavarianceàunfacteur. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Exemple:leslaboratoires Définitionsetnotations Conditionsfondamentales Modèlestatistique Testdecomparaisondesmoyennes Remarque Nouspouvonségalementécrirelesdeuxhypothèsesdela façonsuivante (H0):α1=α2=···=αI=0 contrel’hypothèsealternative (H1):lescoefficientsαinesontpastousnuls. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA

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2Tableaudel’analysedelavariance Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Deuxpropriétésfondamentales Letestestfondésurdeuxpropriétésdesmoyennesetdes variances. Premièrepropriété Lamoyennedetouteslesobservationsestlamoyennedes moyennesdechaqueéchantillon.Cecis’écrit: y=1 n

J X j=1

I X i=1yij=1 n

I X i=1

J X j=1yij=1 I

I X i=1yi. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple Pourcetexemple,nousconstatonscettepropriété.Eneffet, nousavonsaveclelogicielR: y=1 30×2579 =1 3(85,500+88,600+83,800) =1 3×257,900 =85,967, puisquen=30=I×J=3×10. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Deuxièmepropriété Lavariancedetouteslesobservationsestlasommedela variancedesmoyennesetdelamoyennedesvariances.Ceci s’écrit: s2 (y)=1 n

IX i=1

JX j=1(yij−y)2 =1 I

IX i=1(yi−y)2 +1 I

IX i=1s2 i(y).(1) MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple Uncalcul«àlamain»avecRdonne: s2 (y)=9,566. D’autrepart,nousconstatonsquelavariancedesmoyennes estégaleà: 1 I

I X i=1(yi−y)2 =1 3 (85,500−85,967)2 +(88,600− 85,967)2 +(83,800−85,967)2 =3,949. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Suitedel’exemple Nousconstatonségalementquelamoyennedesvariancesest égaleà: 1 I

I X i=1s2 i(y)=1 3(4,450+6,240+6,160)=5,617. Enfaisantlasommedesdeuxderniersrésultats,nous retrouvonsbienlavaleurde9,566quenousavonsobtenuepar lecalculsimple.Donclarelation(1)estbienvérifiée. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Résultatfondamentaldel’ANOVA Enmultipliantlesdeuxmembresparndel’équation(1),nous obtenons: IX i=1

JX j=1(yij−y)2 =JIX i=1(yi−y)2 +IX i=1

 JX j=1(yij−yi)2  ouencorecequis’écrit: sctot=scF+scres.(2) MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple AveclelogicielR,nousavonsd’unepart: sctot=286,967 etd’autrepart: scF=118,467etscres=168,500. Donclorsquenousfaisonslasommedesdeuxderniers résultatsnousretrouvonsbienlavaleurdupremierrésultat. Donclarelation(2)estbienvérifiée. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonsvariationtotale(totalvariation)leterme: sctot=IX i=1

JX j=1(yij−y)2 . Elleindiqueladispersiondesdonnéesautourdelamoyenne générale. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonsvariationdueaufacteur(variationbetween) leterme: scF=JI X i=1(yi−y)2 . Elleindiqueladispersiondesmoyennesautourdelamoyenne générale. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonsvariationrésiduelle(variationwithin)le terme: scres=I X i=1 J X j=1(yij−yi)2 . Elleindiqueladispersiondesdonnéesàl’intérieurdechaque échantillonautourdesamoyenne. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Principedutest: Sil’hypothèsenulleH0estvraiealorslaquantitéSCFdoitêtre petiteparrapportàlaquantitéSCres. Parcontre,sil’hypothèsealternativeH1estvraiealorsla quantitéSCFdoitêtregrandeparrapportàlaquantitéSCres. Pourcomparercesquantités,R.A.Fisher,aprèslesavoir «corrigées»parleursdegrésdeliberté(ddl),aconsidéréleur rapport. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Définition Nousappelonscarrémoyenassociéaufacteurleterme CMF=SCF I−1 etcarrémoyenrésiduelleterme CMres=SCres n−I· MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Propriété Lecarrémoyenrésiduelestunestimateursansbiaisdela variancedeserreursσ2 . C’estpourquoiilestsouventégalementappelévariance résiduelleetpresquesystématiquementnotéS2 reslorsqu’ilsert àestimerlavariancedeserreurs. Savaleurobservéesurl’échantillonestainsinotéecmresou s2 res. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur

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Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Propriété Silestroisconditionssontsatisfaitesetsil’hypothèsenulle H0estvraiealors Fobs=cmF cmres estuneréalisationd’unevariablealéatoireFquisuituneloide FisheràI−1degrésdelibertéaunumérateuretn−Idegrés delibertéaudénominateur.CetteloiestnotéeFI−1,n−I. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Décisionetconclusiondutest Pourunseuildonnéα(=5%=0,05engénéral),lestablesde Fishernousfournissentunevaleurcritiquecαtelleque PH0(F6cα)=1−α.Silavaleurdelastatistiquecalculéesur l’échantillon,notéeFobs,estsupérieureouégaleàcα,alorsle testestsignificatif.VousrejetezH0etvousdécidezqueH1est vraieavecunrisqued’erreurdepremièreespècealpha=5%. Silavaleurdelastatistiquecalculéesurl’échantillon,notée Fobs,eststrictementinférieureàcα,alorsletestn’estpas significatif.VousconservezH0avecunrisqued’erreurde deuxièmeespèceβqu’ilfautévaluer. MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur uds

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Tableaudel’ANOVA L’ensembledelaprocédureestrésuméparuntableau,appelé tableaudel’analysedelavariance,dutypesuivant: VariationSCddlCMFobsFc DueaufacteurscFI−1cmFcmF cmresc Résiduellescresn−Icmres Totalesctotn−1 MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur Modélisationstatistique Tableaudel’analysedelavariance Vérificationdestroisconditions Comparaisonsmultiples Unexempleentièrementtraité

Deuxpropriétésfondamentales Lerésultatfondamentaldel’ANOVA Testdel’ANOVA Tableaudel’ANOVA Retouràl’exemple Pourlesdonnéesdel’exempledeslaboratoires,letableaude l’analysedelavariances’écrit: VariationSCddlCMFobsFc Dueaufacteur118,467259,2339,493,35 Résiduelle168,500276,241 Totale286,96729 MyriamMaumyetFrédéricBertrandAnalysedelavarianceàunfacteur