Référence Ce cours s’appuie essentiellement sur l’ouvr age de Da vid C .Ho w ell, Méthodes statistiques en sciences humaines traduit de la sixième édition amér icaine aux éditions de boec k, 2008.

(1)

Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance Facteuràeffetsaléatoires

Compléments sur l’analyse de la var iance à un facteur Frédér ic Ber trand

1

& Myr iam Maum y

1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France

Master 1

re

année 09-02-2011

FrédéricBertrand&MyriamMaumyComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur

Référence Ce cours s’appuie essentiellement sur l’ouvr age de Da vid C .Ho w ell, Méthodes statistiques en sciences humaines traduit de la sixième édition amér icaine aux éditions de boec k, 2008.

FrédéricBertrand&MyriamMaumyComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance Facteuràeffetsaléatoires

Cadre Comme nous l’a vons vu, l’analyse de la var iance à un facteur se base sur les conditions d’application imposant

1

l’indépendance des var iab les « erreurs »,

2

la nor malité des var iab les « erreurs »,

3

l’homogénéité des var iances des var iab les « erreurs ».

L’indépendance des var iab les « erreurs » Les sujets doiv ent être répar tis aléatoirement dans les groupes . Enfreindre la condition d’application d’indépendance des var iab les « erreurs »n uit gr av ement à la santé de l’analyse de la var iance . Lorsque nous nous trouv ons dans une situation où un même sujet aur a subi plusieurs traitements ,ou un même sujet aur a été vu plusieurs fois ,nous serons alors dans le cas où il faudr a utiliser les plans à mesures répétées .Ce sujet ser a traité dans un prochain chapitre .

(2)

La nor malité des var iab les « erreurs » En ce qui concer ne la condition d’application de nor malité des var iab les « erreurs », nous sommes tout aussi str icts :i lne faut pas l’enfreindre . Il faut sa voir que d’autres techniques statistiques existent lorsque la condition de nor malité n’est pas vér ifiée . P ar ex emple ,nous pouv ons en visager des transf or mations nor malisantes .Nous ren vo yons le lecteur au par ag raphe suiv ant pour de plus amples renseignements à ce sujet.

L’homogénéité des var iab les « erreurs » En ce qui concer ne la condition d’application d’homogénéité, nous sommes encore aussi str icts :il ne faut absolument pas l’enfreindre . Il faut sa voir que d’autres techniques statistiques existent lorsque la condition d’homogénéité n’est pas vér ifiée .P ar ex emple ,Bo x (1954) a montré que dans le cas de var iances hétérogènes ,la distr ib ution F adéquate à laquelle il faut comparer F

obs

est une F régulière av ec des ddl modifiés .P our de plus amples détails sur cette procédure ,nous ren vo yons en première lecture au livre de Ho w ell et en seconde lecture à l’ar ticle de Bo x. Mais l’approche de Bo x présente un incon vénient majeur :elle est extrêmement conser vatr ice .Il existe toutef ois des alter nativ es .

Les alter nativ es existantes W elch (1951) a proposé une autre approche ,que nous ne présenterons pas ici par manque de temps .Le lecteur intéressé par ce sujet pourr a en première lecture ouvr ir le livre de Ho w ell (sixième édition) à la page 327, puis aller lire l’ar ticle or iginal de W elch. Il est à noter que la procédure de W elch se trouv e dans la plupar tdes logiciels statistiques . Enfin, à titre d’inf or mation, Wilco x (1987), dans son ouvr age « Ne w statistical pr ocedures for the social sciences » a un avis tranché sur les conséquences de l’hétérogénéité des var iances .Il conseille d’utiliser la procédure de W elch, et en par ticulier lorsque les échantillons sont de tailles inégales .

Une der nière remarque Lorsque l’une des deux conditions (la condition de nor malité des var iab les erreurs ou la condition d’homogénéité des var iab les erreurs) n’est pas vér ifiée au mo yen d’un test statistique ,il faut s’assurer que cela n’est pas dû à une valeur extrême ou aberr ante .P ar ex emple ,pour sa voir si une des valeurs recueillies n’est pas représentativ e, nous pouv ons par ex emple utiliser les tests de Grubbs ou de Dixon .P our ce sujet, le lecteur pourr a consulter le cours qui est en ligne .

(3)

Tr ansf or mations nor malisantes Il n’est pas conseillé dans un premier temps ,d’utiliser les transf or mations nor malisantes ,mais plutôt d’a voir une réfle xion prof onde sur la nature des données à analyser et sur le modèle statistique à utiliser . En der nier recours ,nous pourrons les en visager ,comme nous l’a vons conseillé dans le par ag raphe précédent. Il en existe un cer tain nombre .V oici les pr incipales : y

0 i

= log ( y

i

) la transf or mation logar ithmique , = y

γ i

la transf or mation puissance , = Φ

−1

( y

i

) la transf or mation réciproque , = arcsin p 2 y

i

la transf or mation arc sin us , = ...

Remarque Il est conseillé, au sujet de ces transf or mations ,de lire les pages 327 à 334 du livre de Ho w ell (sixième édition) pour sa voir comment les appliquer et dans quel cas il faut utiliser celle-ci plutôt que celle-la. Et si rien ne marche Si nous n’a vons toujours pas les conditions requises après ces transf or mations ,il faut alors utiliser le test non par amétr ique de Kr uskal-W allis .Ce test ser a présenté dans un chapitre prochain, av ec les tests non par amétr iques qui peuv ent être utilisés pour des analyses .

Conte xte À l’heure actuelle ,il existe au moins six mesures de la gr andeur de l’eff et expér imental. Elles sont toutes différentes et prétendent toutes être moins biaisées que les autres mesures . Ici, dans ce cours nous présenterons uniquement une des mesures les plus cour antes :le eta carré.

Mesure de la taille de l’eff et η

2

Quand le test d’égalité des mo yennes est rejeté (l’h ypothèse nulle H

0

est rejetée), nous pouv ons souhaiter donner une mesure de la taille de la différence entre mo yennes . Nous définissons η

2

comme le « pourcentage » de la var iabilité des données Y

ij

expliquée par la différence entre les groupes : η

2

= 1 − SC

R

SC

Tot

= SC

Facteur

SC

Tot

·

(4)

Ex emple :D’après le livre de Georges P arreins Nous voulons tester 4 types de carb ur ateurs .P our cela, nous av ons réalisé une ANO VA à un facteur fix e et obten u le tab leau de l’ANO VA suiv ant : Var iation SC ddl s

2

F

obs

F

c

Due au facteur 100,83 3 33,61 0,888 3,10 Résiduelle 757,00 20 37,85 Totale 857,83 23 Ici nous décidons de ne pas rejeter ( H

0

) ,nous calculons η

2

à titre d’e xemple .En pr incipe ,nous le calculerons lorsque le test est significatif : η

2

= 100 , 83 857 , 83 ' 0 , 1176 .

Rappel Dans l’analyse de la rég ression linéaire simple ,nous utilisons le coefficient de déter mination R

2

pour mesurer le pourcentage de la var iance de la var iab le Y expliquée par le modèle . Rappelons ici sa défintion : R

2

= 1 − SC

res

SC

Tot

= SC

Regression

SC

Tot

· Cette égalité ressemb le beaucoup à celle qui définit le eta carré. Nous pouv ons donc faire un par allèle entre ces deux mesures .

Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions

Cas de l’analyse de la var iance à un facteur fix e Nous nous intéressons à la puissance 1 − β ,où β est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce ,du test F d’analyse de la var iance pour le test de l’h ypothèse nulle ( H

0

): α

1

= α

2

= ·· · = α

I

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

): Il existe i

0

∈ { 1 , 2 ,. .. , I } tel que α

i0

6 = 0.

Calcul de la puissance Cette puissance 1 − β est donnée par la for m ule suiv ante : 1 − β = P h F

0

( I − 1 , I ( J − 1 ); λ ) > F ( I − 1 , I ( J − 1 ); 1 − α ) i , où F ( I − 1 , I ( J − 1 ); 1 − α ) est le 100 ( 1 − α ) quantile de la loi de Fisher à I − 1 et I ( J − 1 ) deg rés de liber té et F

0

( I − 1 , I ( J − 1 ); λ ) est une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher non-centr ale à I − 1 et I ( J − 1 ) deg rés de liber té et de par amètre de non-centr alité λ .

(5)

Calcul de la puissance -Suite Ce par amètre de non-centr alité λ est égal à : λ = J 2 σ

2

I

X

i=1

α

2 i

, où J désigne la taille de chaque échantillon, I le nombre de modalités du facteur étudié, σ

2

la var iance de la population et α

i

les par amètres présents dans l’équation du modèle statistique .

Calcul du par amètre φ dans le cas équilibré Lorsque nous utilisons une loi de Fisher non centr ale à ν

1

et ν

2

ddl et de par amètre de non-centr alité λ ,nous introduisons le par amètre de non-centr alité nor malisé φ défini par : φ = s 2 λ ν

1

+ 1 · Dans notre cas ,nous obtenons après substitution et simplifications : φ = 1 σ v u u t

J I

I

X

i=1

α

2 i

· Calcul du par amètre φ dans le cas déséquilibré Si le nombre de répétitions n

i

eff ectué pour chaque modalité i du facteur α n’est pas constant, c’est-à-dire si le plan expér imental n’est pas équilibré, le par amètre de non-centr alité λ de vient : λ = 1 2 σ

2

I

X

i=1

n

i

α

2 i

. Le par amètre de non-centr alité nor malisé φ est alors : φ = 1 σ v u u t

1 I

I

X

i=1

n

i

α

2 i

.

Remarque Il faut av oir à l’espr it que nous sommes dans l’impossibilité de calculer exactement le par amètre φ ou le par amètre λ .(Il y a cette relation que nous venons d’e xposer qui lie les deux par amètres .) A u mieux, nous serons capab le de donner une estimation de φ car nous ne pourrons jamais connaître la var iance σ

2

de la population. Remarque Il est d’usage de tra vailler sur φ car les abaques que nous allons utiliser pour calculer les puissances se ser vent du par amètre φ et non du par amètre λ .

(6)

Puissance a posteriori Nous obtenons la puissance a posteriori du test de l’absence d’eff et du facteur α en remplaçant dans la for m ule appropr iée ci-dessus .Le choix se fait en fonction du fait que le plan expér imental est équilibré ou non, les valeurs des par amètres par les estimations que nous av ons obten ues en réalisant l’analyse de la var iance .Génér alement nous considérons qu’une puissance de 0,8 est satisf aisante et qu’alors la décision de ne pas rejeter l’h ypothèse nulle ( H

0

) est « vr aiment » associée à l’absence d’eff et du facteur considé ré.

Déter mination du nombre de répétitions Une autre approche ser ait de déter miner a pr ior i le nombre de répétitions J nécessaires pour obtenir une valeur de puissance du test supér ieure à un niv eau fixé à l’a vance . L’intérêt de cette démarche réside dans le fait que nous ne connaissons pas a pr ior isi le test que nous allons réaliser une fois que les expér iences ont été réalisées ser a significatif ou non à un seuil α fixé à l’a vance . Le fait de ne pas rejeter l’h ypothèse nulle ( H

0

)en ay ant un risque éle vé de commettre une erreur de deuxième espèce rendr ait cette décision très peu fiab le et ne per mettr ait pas de conclure av ec une confiance suffisante à l’absence d’un eff et du facteur étudié sur la réponse .

C’est pourquoi dans de nombreux domaines comme les études cliniques ,où les expér iences peuv ent durer plusieurs années ,il est pr imordial de s’assurer que si une différence existe il y aur a un faib le risque de ne pas la me ttre en évidence .Génér alement nous considérons qu’une puissance de 0,8 est satisf aisante ; dans cer tains cas nous visons même une puissance de 0,9. Nous pouv ons utiliser directement la for m ule ci-dessus pour déter miner le nombre de répétitions nécessaires à l’obtention d’un valeur minimale de puissance .Il faut néanmoins av oir une idée de la valeur minimale que peut prendre la somme P

I i22

n α et la valeur maximale que peut av oir σ .Ces valeurs

i=1i

doiv ent être déter minées par un exper tdu domaine considéré.

Déter mination du nombre de répétitions à l’aide de la plus petite différence détectab le Dans ce type d’étude prospectiv e, la situation est compliquée par le fait qu’il est difficile d’év aluer le ter me P

I i2

α .Nous

=1i

introduisons alors le concept de plus petite différence détectab le ∆ ,ce qui re vient à év aluer le sensibilité du test en ter me d’amplitude entre les eff ets des différents niv eaux du facteur étudié. Ainsi nous chercherons à ce que la probabilité de détecter une amplitude α − α entre les eff ets α et α de

ijij

deux modalités i et j différentes du facteur étudié str ictement supér ieure à ∆ soit éle vée .

(7)

Calcul de la puissance Ainsi pour faire le calcul de la puissance nous nous plaçons dans le pire des cas ,c’est-à-dire celui pour lequel tous les eff ets sont nuls sauf deux α

i0

et α

j0

pour lesquels il existe un écar ten valeur absolue égal à ∆ .Alors α

i0

= α

j0

= ∆ / 2. Nous obtenons alors : λ = J 2 σ

2

I

X

i=1

α

2 i

= J 2 σ

2

α

2 i0

+ α

2 j0

= J 4 σ

2

∆

2

.

Calcul de la puissance -Suite et fin Nous utilisons la for m ule ci-dessus pour déter miner les valeurs de J pour lesquelles la puissance 1 − β est supér ieure à une valeur 1 − β

0

fixée à l’a vance ,génér alement 0,8 soit 80 % . Remarquons que là encore il est nécessaire de connaître σ

2

ou au moins d’a voir une idée précise de la valeur de ce par amètre ce qui n’est malheureusement génér alement pas le cas .Dans cette situation nous considérons plutôt le par amètre de sensibilité ∆ /σ à la place de ∆ .

Rappel Dans l’analyse de la var iance à un facteur à eff ets fix es av ec I modalités ,nous obser vons pour chaque modalité du facteur n

i

réalisations indépendantes d’une var iab le aléatoire Y .Nous sa vons que le modèle utilisé dans cette analyse s’écr it : Y

ij

= µ + α

i

+ E

ij

, j = 1 ,. .. , n

i

, i = 1 ,. .. , I , où E

ij

sont indépendantes et L ( E

ij

) = N ( 0 ; σ

2

) .Cette var iab le représente l’erreur commise lors des obser vations , µ désigne l’eff et « global » ou mo yenne génér ale de la var iab le aléatoire Y et les eff ets α

i

satisf ont la contr ainte P

I i

α = 0.

i=1 FrédéricBertrand&MyriamMaumyComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance Facteuràeffetsaléatoires

Un nouv eau modèle Mais ce modèle ne correspond pas toujours à la réalité. Dans cer tains cas ,en par ticulier quand les modalités sont choisies au hasard, le fait de supposer que les eff ets sont fix es n’est pas adapté. Nous sommes amenés à considérer que chaque contr ib ution α

i

est une réalisation, indépendante des autres réalisations ,d’une var iab le aléatoire A

i

de loi N ( 0 ; σ

2 A

) ,elle même indépendante de E .Dans ces conditions le modèle s’écr it : Y

ij

= µ + A

i

+ E

ij

, j = 1 ,. .. , n

i

, i = 1 ,. .. , I .

(8)

Mise en place du test de l’eff et du facteur aléatoire Nous nous proposons de tester l’h ypothèse nulle ( H

0

) : σ

2 A

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

) : σ

2 A

6 = 0 . Remarque Ce test ne compare plus les mo yennes mais teste au mo yen de la var iance du facteur A ,si il y a un eff et de ce facteur aléatoire .

Notations et propr iétés Si Y

i

et Y désignent respectiv ement la mo yenne des Y

ij

où j = 1 ,. .. , n

i

et la mo yenne de toutes les var iab les Y

ij

,un calcul simple nous montre que les lois des trois var iab les sont : L ( Y

ij

) = N ( µ ; σ

2

+ σ

2 A

) , L ( Y

i

) = N µ ; σ

2

n

i

+ σ

2 A

, L ( Y ) = N µ ; σ

2

n + σ

2 A

n

2

I

X

i=1

n

2 i

! .

Tab leau de l’ANO VA Var iation SC ddl s

2

F

obs

c Due au facteur A P ( y

i

− y )

2

I − 1 s

2 A

s

2 A

s

2 R

c Résiduelle P ( y

ij

− y

i

)

2

n − I s

2 R

Totale P ( y

ij

− y )

2

n − 1 Remar que : Nous retrouv ons str ictement les mêmes for m ules que celles du cas de l’analyse de la var iance à un facteur à eff ets fix es .

Propr iété Si les trois conditions sont satisf aites et si l’h ypothèse nulle ( H

0

) est vr aie alors F

obs

= s

2 A

s

2 R

est une réalisation d’une var iab le aléatoire F qui suit une loi de Fisher à I − 1 deg rés de liber té au numér ateur et n − I deg rés de liber té au dénominateur .Cette loi est notée F

I−1,n−I

.

(9)

Décision Pour un seuil donné α (=5 % =0,05 en génér al), les tab les de Fisher nous four nissent une valeur cr itique c telle que P

(H0)

( F 6 c ) = 1 − α . Alors nous décidons : si F

obs

< c ( H

0

) est vr aie , si c 6 F

obs

( H

1

) est vr aie .

Des remarques impor tantes

1

La démarche pr atique est donc la même que dans l’analyse à un facteur à eff ets fix es .

2

Cependant, les compar aisons m ultiples ,lorsque l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

) est acceptée ,n’ont plus de sens et ne doiv ent pas être eff ectuées .

3

De même ,le calcul de la puissance est différent.

4

De plus ,la nor malité des résidus ne peut plus être testée .

5

En re vanche ,la nor malité des Y

ij

− µ ,quantités qui sont estimées par y

ij