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Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance Facteuràeffetsaléatoires
Compléments sur l’analyse de la var iance à un facteur Myr iam Maum y-Ber trand1 & Mar ie Chion
1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Master 1
reAnnée 2019-2020
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur
Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance Facteuràeffetsaléatoires
Sommaire
1Violation des conditions d’application
2Tr ansf or mation des var iab les
3Gr andeur de l’eff et expér imental
4Puissance Puissance a poster ior i Déter mination du nombre de répétitions
5Facteur à eff ets aléatoires
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Références Ce cours s’appuie essentiellement sur
1le livre Da vid C .Ho w ell, Méthodes statistiques en sciences humaines traduit de la sixième édition amér icaine aux éditions de Boec k, 2008.
2le livre de Pierre Dagnelie , Statistique théorique et appliquée ,T ome 2, aux éditions de Boec k, 1998.
3le livre de Hardeo Sahai et Mohammed I. Ageel, The Anal ysis of Variance :Fix ed, Random and Mix ed Models ,aux éditions Bir khäuser ,2000.
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresSommaire
1Violation des conditions d’application
2Tr ansf or mation des var iab les
3Gr andeur de l’eff et expér imental
4Puissance Puissance a poster ior i Déter mination du nombre de répétitions
5Facteur à eff ets aléatoires
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Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance Facteuràeffetsaléatoires
Cadre Comme nous l’a vons vu, l’analyse de la var iance à un facteur se base sur les conditions d’application imposant
1l’indépendance des var iab les « erreurs »,
2la nor malité des var iab les « erreurs »,
3l’homogénéité des var iances des var iab les « erreurs ».
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L’indépendance des var iab les « erreurs » Les sujets doiv ent être répar tis aléatoirement dans les groupes . Enfreindre la condition d’application d’indépendance des var iab les « erreurs »n uit gr av ement à la santé de l’analyse de la var iance . Lorsque nous nous trouv ons dans une situation où un même sujet aur a subi plusieurs traitements ,ou un même sujet aur a été vu plusieurs fois ,nous serons alors dans le cas où il faudr a utiliser les plans à mesures répétées .Ce sujet ser a traité dans un prochain chapitre .
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La nor malité des var iab les « erreurs » En ce qui concer ne la condition d’application de nor malité des var iab les « erreurs », nous sommes tout aussi str icts :i lne faut pas l’enfreindre . Il faut sa voir que d’autres techniques statistiques existent lorsque la condition de nor malité n’est pas vér ifiée . P ar ex emple ,nous pouv ons en visager des transf or mations nor malisantes .Nous ren vo yons le lecteur au par ag raphe suiv ant pour de plus amples renseignements à ce sujet.
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresL’homogénéité des var iab les « erreurs » En ce qui concer ne la condition d’application d’homogénéité, nous sommes encore aussi str icts :il ne faut absolument pas l’enfreindre . Il faut sa voir que d’autres techniques statistiques existent lorsque la condition d’homogénéité n’est pas vér ifiée .P ar ex emple ,Bo x (1954) a montré que dans le cas de var iances hétérogènes ,la distr ib ution F adéquate à laquelle il faut comparer F
obsest une F régulière av ec des ddl modifiés .P our de plus amples détails sur cette procédure ,nous ren vo yons en première lecture au livre de Ho w ell et en seconde lecture à l’ar ticle de Bo x. Mais l’approche de Bo x présente un incon vénient majeur :elle est extrêmement conser vatr ice .Il existe toutef ois des alter nativ es .
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Les alter nativ es existantes W elch (1951) a proposé une autre approche ,que nous ne présenterons pas ici par manque de temps .Le lecteur intéressé par ce sujet pourr a en première lecture ouvr ir le livre de Ho w ell (sixième édition) à la page 327, puis aller lire l’ar ticle or iginal de W elch. Il est à noter que la procédure de W elch se trouv e dans la plupar tdes logiciels statistiques . Enfin, à titre d’inf or mation, Wilco x (1987), dans son ouvr age « Ne w statistical pr ocedures for the social sciences » a un avis tranché sur les conséquences de l’hétérogénéité des var iances .Il conseille d’utiliser la procédure de W elch, et en par ticulier lorsque les échantillons sont de tailles inégales .
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Une der nière remarque Lorsque l’une des deux conditions (la condition de nor malité des var iab les erreurs ou la condition d’homogénéité des var iab les erreurs) n’est pas vér ifiée au mo yen d’un test statistique ,il faut s’assurer que cela n’est pas dû à une valeur extrême ou aberr ante .P ar ex emple ,pour sa voir si une des valeurs recueillies n’est pas représentativ e, nous pouv ons par ex emple utiliser les tests de Grubbs ou de Dixon .P our ce sujet, le lecteur pourr a consulter le cours qui est en ligne .
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Sommaire
1Violation des conditions d’application
2Tr ansf or mation des var iab les
3Gr andeur de l’eff et expér imental
4Puissance Puissance a poster ior i Déter mination du nombre de répétitions
5Facteur à eff ets aléatoires
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresTr ansf or mations nor malisantes Il n’est pas conseillé dans un premier temps ,d’utiliser les transf or mations nor malisantes ,mais plutôt d’a voir une réfle xion prof onde sur la nature des données à analyser et sur le modèle statistique à utiliser . En der nier recours ,nous pourrons les en visager ,comme nous l’a vons conseillé dans le par ag raphe précédent. Il en existe un cer tain nombre .V oici les pr incipales : y
0 i= log ( y
i) la transf or mation logar ithmique , = y
γ ila transf or mation puissance , = Φ
−1( y
i) la transf or mation réciproque , = arcsin ( √ y
i) la transf or mation arc sin us , = ...
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Remarque Il est conseillé, au sujet de ces transf or mations ,de lire les pages 327 à 334 du livre de Ho w ell (sixième édition) pour sa voir comment les appliquer et dans quel cas il faut utiliser celle-ci plutôt que celle-la. Et si rien ne marche Si nous n’a vons toujours pas les conditions requises après ces transf or mations ,il faut alors utiliser le test non par amétr ique de Kr uskal-W allis .Ce test ser a présenté dans un chapitre prochain, av ec les tests non par amétr iques qui peuv ent être utilisés pour des analyses .
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Sommaire
1Violation des conditions d’application
2Tr ansf or mation des var iab les
3Gr andeur de l’eff et expér imental
4Puissance Puissance a poster ior i Déter mination du nombre de répétitions
5Facteur à eff ets aléatoires
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Conte xte À l’heure actuelle ,il existe au moins six mesures de la gr andeur de l’eff et expér imental. Elles sont toutes différentes et prétendent toutes être moins biaisées que les autres mesures . Ici, dans ce cours nous présenterons uniquement une des mesures les plus cour antes :le eta carré.
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresMesure de la taille de l’eff et η
2Quand le test d’égalité des mo yennes est rejeté (l’h ypothèse nulle H
0est rejetée), nous pouv ons souhaiter donner une mesure de la taille de la différence entre mo yennes . Nous définissons η
2comme le « pourcentage » de la var iabilité des données Y
ijexpliquée par la différence entre les groupes : η
2= 1 − SC
RSC
Tot= SC
FacteurSC
Tot·
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Retour à l’e xemple des labor atoires Var iation SC ddl CM F
obsF
cDue au facteur 118,467 2 59,233 9,49 3,35 Résiduelle 168,500 27 6,241 Totale 286,967 29 Ici nous décidons de rejeter ( H
0) et nous calculons η
2: η
2= 118 , 467 286 , 967 ' 0 , 413 .
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Rappel Dans l’analyse de la rég ression linéaire simple ,nous utilisons le coefficient de déter mination R
2pour mesurer le pourcentage de la var iance de la var iab le Y expliquée par le modèle . Rappelons ici sa défintion : R
2= 1 − SC
resSC
Tot= SC
RegressionSC
Tot· Cette égalité ressemb le beaucoup à celle qui définit le eta carré. Nous pouv ons donc faire un par allèle entre ces deux mesures .
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Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Sommaire
1Violation des conditions d’application
2Tr ansf or mation des var iab les
3Gr andeur de l’eff et expér imental
4Puissance Puissance a poster ior i Déter mination du nombre de répétitions
5Facteur à eff ets aléatoires
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresPuissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Cas de l’analyse de la var iance à un facteur fix e Nous nous intéressons à la puissance 1 − β ,où β est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce ,du test F d’analyse de la var iance pour le test de l’h ypothèse nulle ( H
0): α
1= α
2= ·· · = α
I= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H
1): Il existe i
0∈ { 1 , 2 ,. .. , I } tel que α
i06 = 0.
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Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Calcul de la puissance Cette puissance 1 − β est donnée par la for m ule suiv ante : 1 − β = P h F
0( I − 1 , I ( J − 1 ); λ ) > F ( I − 1 , I ( J − 1 ); 1 − α ) i , où F ( I − 1 , I ( J − 1 ); 1 − α ) est le 100 ( 1 − α ) quantile de la loi de Fisher à I − 1 et I ( J − 1 ) deg rés de liber té et F
0( I − 1 , I ( J − 1 ); λ ) est une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher non-centr ale à I − 1 et I ( J − 1 ) deg rés de liber té et de par amètre de non-centr alité λ .
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Calcul de la puissance -Suite Ce par amètre de non-centr alité λ est égal à : λ = J 2 σ
2I
X
i=1α
2 i, où J désigne la taille de chaque échantillon, I le nombre de modalités du facteur étudié, σ
2la var iance de la population et α
iles par amètres présents dans l’équation du modèle statistique .
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Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Calcul du par amètre φ dans le cas équilibré Lorsque nous utilisons une loi de Fisher non centr ale à ν
1et ν
2ddl et de par amètre de non-centr alité λ ,nous introduisons le par amètre de non-centr alité nor malisé φ défini par : φ = s 2 λ ν
1+ 1 · Dans notre cas ,nous obtenons après substitution et simplifications : φ = 1 σ v u u t
J I
I
X
i=1α
2 i·
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Calcul du par amètre φ dans le cas déséquilibré Si le nombre de répétitions n
ieff ectué pour chaque modalité i du facteur α n’est pas constant, c’est-à-dire si le plan expér imental n’est pas équilibré, le par amètre de non-centr alité λ de vient : λ = 1 2 σ
2I
X
i=1n
iα
2 i. Le par amètre de non-centr alité nor malisé φ est alors : φ = 1 σ v u u t
1 I
I
X
i=1n
iα
2 i.
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Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Remarque Il faut av oir à l’espr it que nous sommes dans l’impossibilité de calculer exactement le par amètre φ ou le par amètre λ .(Il y a cette relation que nous venons d’e xposer qui lie les deux par amètres .) A u mieux, nous serons capab le de donner une estimation de φ car nous ne pourrons jamais connaître la var iance σ
2de la population. Remarque Il est d’usage de tra vailler sur φ car les abaques que nous allons utiliser pour calculer les puissances se ser vent du par amètre φ et non du par amètre λ .
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Puissance a posteriori Nous obtenons la puissance a posteriori du test de l’absence d’eff et du facteur α en remplaçant dans la for m ule appropr iée ci-dessus .Le choix se fait en fonction du fait que le plan expér imental est équilibré ou non, les valeurs des par amètres par les estimations que nous av ons obten ues en réalisant l’analyse de la var iance .Génér alement nous considérons qu’une puissance de 0,8 est satisf aisante et qu’alors la décision de ne pas rejeter l’h ypothèse nulle ( H
0) est « vr aiment » associée à l’absence d’eff et du facteur considé ré.
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Déter mination du nombre de répétitions Une autre approche ser ait de déter miner a pr ior i le nombre de répétitions J nécessaires pour obtenir une valeur de puissance du test supér ieure à un niv eau fixé à l’a vance . L’intérêt de cette démarche réside dans le fait que nous ne connaissons pas a pr ior isi le test que nous allons réaliser une fois que les expér iences ont été réalisées ser a significatif ou non à un seuil α fixé à l’a vance . Le fait de ne pas rejeter l’h ypothèse nulle ( H
0)en ay ant un risque éle vé de commettre une erreur de deuxième espèce rendr ait cette décision très peu fiab le et ne per mettr ait pas de conclure av ec une confiance suffisante à l’absence d’un eff et du facteur étudié sur la réponse .
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C’est pourquoi dans de nombreux domaines comme les études cliniques ,où les expér iences peuv ent durer plusieurs années ,il est pr imordial de s’assurer que si une différence existe il y aur a un faib le risque de ne pas la me ttre en évidence .Génér alement nous considérons qu’une puissance de 0,8 est satisf aisante ; dans cer tains cas nous visons même une puissance de 0,9. Nous pouv ons utiliser directement la for m ule ci-dessus pour déter miner le nombre de répétitions nécessaires à l’obtention d’un valeur minimale de puissance .Il faut néanmoins av oir une idée de la valeur minimale que peut prendre la somme P
I i22
n α et la valeur maximale que peut av oir σ .Ces valeurs
i=1idoiv ent être déter minées par un exper tdu domaine considéré.
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Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Déter mination du nombre de répétitions à l’aide de la plus petite différence détectab le Dans ce type d’étude prospectiv e, la situation est compliquée par le fait qu’il est difficile d’év aluer le ter me P
I i2
α .Nous
=1iintroduisons alors le concept de plus petite différence détectab le ∆ ,ce qui re vient à év aluer le sensibilité du test en ter me d’amplitude entre les eff ets des différents niv eaux du facteur étudié. Ainsi nous chercherons à ce que la probabilité de détecter une amplitude α − α entre les eff ets α et α de
ijijdeux modalités i et j différentes du facteur étudié str ictement supér ieure à ∆ soit éle vée .
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Calcul de la puissance Ainsi pour faire le calcul de la puissance nous nous plaçons dans le pire des cas ,c’est-à-dire celui pour lequel tous les eff ets sont nuls sauf deux α
i0et α
j0pour lesquels il existe un écar ten valeur absolue égal à ∆ .Alors α
i0= α
j0= ∆ / 2. Nous obtenons alors : λ = J 2 σ
2I
X
i=1α
2 i= J 2 σ
2α
2 i0+ α
2 j0= J 4 σ
2∆
2.
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Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Calcul de la puissance -Suite et fin Nous utilisons la for m ule ci-dessus pour déter miner les valeurs de J pour lesquelles la puissance 1 − β est supér ieure à une valeur 1 − β
0fixée à l’a vance ,génér alement 0,8 soit 80 % . Remarquons que là encore il est nécessaire de connaître σ
2ou au moins d’a voir une idée précise de la valeur de ce par amètre ce qui n’est malheureusement génér alement pas le cas .Dans cette situation nous considérons plutôt le par amètre de sensibilité ∆ /σ à la place de ∆ .
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Ex emple :D’après le livre de Georges P arreins . On veut tester 4 types de carb ur ateurs .P our chaque type ,on dispose de 6 pièces que l’on monte successiv ement en par allèle sur 4 voitures que l’on suppose av oir des car actér istiques parf aitement identiques .Le tab leau indique pour chaque essai la valeur d’un par amètre lié à la consommation : Essai / Carb ur ateur A
1A
2A
3A
41 21 23 18 20 2 24 23 19 21 3 25 32 28 25 4 20 23 19 15 5 34 32 24 29 6 17 15 14 9
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Puissanceaposteriori Déterminationdunombrederépétitions
Ex emple :D’après le livre de Georges P arreins Nous voulons tester 4 types de carb ur ateurs .P our cela, nous av ons réalisé une ANO VA à un facteur fix e et obten u le tab leau de l’ANO VA suiv ant : Var iation SC ddl CM F
obsF
cDue au facteur 100,83 3 33,61 0,888 3,10 Résiduelle 757,00 20 37,85 Totale 857,83 23
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Sommaire
1Violation des conditions d’application
2Tr ansf or mation des var iab les
3Gr andeur de l’eff et expér imental
4Puissance Puissance a poster ior i Déter mination du nombre de répétitions
5Facteur à eff ets aléatoires
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Rappel Dans l’analyse de la var iance à un facteur à eff ets fix es av ec I modalités ,nous obser vons pour chaque modalité du facteur n
iréalisations indépendantes d’une var iab le aléatoire Y .Nous sa vons que le modèle utilisé dans cette analyse s’écr it : Y
ij= µ + α
i+ E
ij, j = 1 ,. .. , n
i, i = 1 ,. .. , I , où E
ijsont indépendantes et L ( E
ij) = N ( 0 ; σ
2) .Cette var iab le représente l’erreur commise lors des obser vations , µ désigne l’eff et « global » ou mo yenne génér ale de la var iab le aléatoire Y et les eff ets α
isatisf ont la contr ainte P
I i
α = 0.
i=1 MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresUn nouv eau modèle Mais ce modèle ne correspond pas toujours à la réalité. Dans cer tains cas ,en par ticulier quand les modalités sont choisies au hasard, le fait de supposer que les eff ets sont fix es n’est pas adapté. Nous sommes amenés à considérer que chaque contr ib ution α
iest une réalisation, indépendante des autres réalisations ,d’une var iab le aléatoire A
ide loi N ( 0 ; σ
2 A) ,elle même indépendante de E .Dans ces conditions le modèle s’écr it : Y
ij= µ + A
i+ E
ij, j = 1 ,. .. , n
i, i = 1 ,. .. , I .
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Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance Facteuràeffetsaléatoires
Mise en place du test de l’eff et du facteur aléatoire Nous nous proposons de tester l’h ypothèse nulle ( H
0) : σ
2 A= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H
1) : σ
2 A6 = 0 . Remarque Ce test ne compare plus les mo yennes mais teste au mo yen de la var iance du facteur A ,si il y a un eff et de ce facteur aléatoire .
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresNotations et propr iétés Si Y
iet Y désignent respectiv ement la mo yenne des Y
ijoù j = 1 ,. .. , n
iet la mo yenne de toutes les var iab les Y
ij,un calcul simple nous montre que les lois des trois var iab les sont : L ( Y
ij) = N ( µ ; σ
2+ σ
2 A) , L ( Y
i) = N µ ; σ
2n
i+ σ
2 A, L ( Y ) = N µ ; σ
2n + σ
2 An
2I
X
i=1n
2 i! .
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Tab leau de l’ANO VA Var iation SC ddl CM F
obsc Due au facteur A P ( y
i− y )
2I − 1 cm
Acm
Acm
Rc Résiduelle P ( y
ij− y
i)
2n − I cm
RTotale P ( y
ij− y )
2n − 1 Remar que : Nous retrouv ons str ictement les mêmes for m ules que celles du cas de l’analyse de la var iance à un facteur à eff ets fix es .
MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionComplémentssurl’analysedelavarianceàunfacteur Violationdesconditionsd’application Transformationdesvariables Grandeurdel’effetexpérimental Puissance FacteuràeffetsaléatoiresPropr iété Si les trois conditions sont satisf aites et si l’h ypothèse nulle ( H
0) est vr aie alors F
obs= cm
Acm
Rest une réalisation d’une var iab le aléatoire F qui suit une loi de Fisher à I − 1 deg rés de liber té au numér ateur et n − I deg rés de liber té au dénominateur .Cette loi est notée F
I−1,n−I.
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