& Mar ie Chion

uds

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Modèles aléatoires et mixtes de l’analyse de la var iance à deux facteurs Myr iam Maum y-Ber trand

& Mar ie Chion

Master 1

Année 2019-2020

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Sommaire

Introduction Quatre nouv eaux modèles

Modèle à eff ets aléatoires A vec répétitions Sans répétition

Modèle à eff ets mixtes A vec répétitions Sans répétition

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Références Ce cours s’appuie essentiellement sur

le livre Da vid C .Ho w ell, Méthodes statistiques en sciences humaines traduit de la sixième édition amér icaine aux éditions de Boec k, 2008.

le livre de Pierre Dagnelie , Statistique théorique et appliquée ,T ome 2, aux éditions de Boec k, 1998.

le livre de Hardeo Sahai et Mohammed I. Ageel, The Anal ysis of Variance :Fix ed, Random and Mix ed Models ,aux éditions Bir khäuser ,2000.

Sommaire

Introduction Quatre nouv eaux modèles

Modèle à eff ets aléatoires A vec répétitions Sans répétition

Modèle à eff ets mixtes A vec répétitions Sans répétition

uds

Introduction Modèleàeffetsaléatoires ModèleàeffetsmixtesQuatrenouveauxmodèles

Quatre nouv eaux modèles Comme nous l’a vons vu dans le chapitre « Compléments sur l’analyse de la var iance à un facteur », il se peut que les eff ets d’un facteur ne puissent être modélisés par des eff ets fix es . P ar conséquent, nous pouv ons être confrontés à quatre autres types de modèles :

Un modèle av ec deux facteurs à eff ets aléatoires ,a vec ou sans répétitions . Ces deux modèles sont appelés modèles à eff ets aléatoires .

Un modèle av ec un facteur à eff ets aléatoires et un facteur à eff ets fix es ,a vec ou sans répétitions . Ces deux modèles sont appelés modèles à eff ets mixtes .

Avecrépétitions Sansrépétition

Sommaire

Introduction Quatre nouv eaux modèles

Modèle à eff ets aléatoires A vec répétitions Sans répétition

Modèle à eff ets mixtes A vec répétitions Sans répétition

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple issu du livre de Dagnelie Les responsab les d’un labor atoire d’analyse chimique par spectrométr ie dans le proche infr arouge se sont intéressés à la var iabilité des résultats qu’ils obtenaient pour les mesures des teneurs en protéines du blé. En par ticulier ,ils se sont interrogés sur l’impor tance des différences qui pouv aient découler des étapes successiv es de prépar ation des matières à analyser . Nous considérons ici le prob lème du bro yage ,en examinant les résultats obten us à l’aide de trois moulins .

Avecrépétitions Sansrépétition

Suite de la mise en situation Cinq échantillons de gr ains de blé ont été préle vés au hasard dans un arr iv age relativ ement impor tant, et divisés chacun en six sous-échantillons . Pour chacun des échantillons ,les sous-échantillons ont ensuite été aff ectés au hasard à trois moulins qui eux-mêmes ont été choisis au hasard dans une production de moulins . Pour ter miner ,une analyse chimique a été eff ectuée dans chaque cas .Le tab leau ci-dessous présente les résultats ,à sa voir les mesures des teneurs en protéines ,e xpr imées en pourcentage de la matière sèche .

uds

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Tab leau des données Moulin/Échantillon 1 2 3 4 5 1 13 , 33 13 , 62 13 , 53 13 , 60 13 , 97 13 , 43 13 , 33 13 , 75 13 , 44 13 , 32 2 13 , 04 13 , 26 13 , 49 13 , 05 13 , 28 13 , 34 13 , 49 13 , 59 13 , 44 13 , 67 3 13 , 24 13 , 33 13 , 07 13 , 47 13 , 46 13 , 25 13 , 46 13 , 33 13 , 04 13 , 32 Remarque Le modèle d’analyse de la var iance qui peut être en visagé pour analyser ces données est un modèle à deux facteurs aléatoires av ec répétitions .

Avecrépétitions Sansrépétition

Le modèle Le modèle statistique s’écr it de la façon suiv ante : Y

= µ + A

+ B

+ ( AB )

+ E

, où i = 1 ,. .. , I , j = 1 ,. .. , J , k = 1 ,. .. , K , où Y

est la valeur pr ise par la réponse Y dans les conditions ( A

, B

) lors du k − ème essai. Notons n = I × J × K le nombre total de mesures ay ant été eff ectuées .

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Conte xte Les ter mes A

représentent un échantillon de taille I préle vé dans une population impor tante .Nous admettrons que les eff ets des A

sont distr ib ués suiv ant une loi nor male centrée de var iance σ

. Les ter mes B

représentent un échantillon de taille J préle vé dans une population impor tante .Nous admettrons que les eff ets des B

sont distr ib ués suiv ant une loi nor male centrée de var iance σ

. Pour chacun des couples de modalités ( A

, B

) nous eff ectuons K > 2 mesures d’une réponse Y qui est une var iab le contin ue .

Avecrépétitions Sansrépétition

Conditions liées à ce type d’analyse Nous supposons que L ( A

) = N ( 0 ,σ

) , pour tout i , 1 6 i 6 I , L B

= N ( 0 ,σ

) , pour tout j , 1 6 j 6 J , L ( AB )

= N ( 0 ,σ

) , pour tout ( i , j ) , 1 6 i 6 I , 1 6 j 6 J , ainsi que l’indépendance des eff ets aléatoires : les eff ets aléatoires A

sont indépendants les eff ets aléatoires B

sont indépendants les eff ets aléatoires ( AB )

sont indépendants les eff ets aléatoires A

et B

sont indépendants les eff ets aléatoires A

et ( AB )

sont indépendants les eff ets aléatoires B

et ( AB )

sont indépendants .

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Conditions classiques de l’ANO VA Nous postulons les hypothèses classiques de l’ANO VA pour les var iab les erreurs E

:

les erreurs sont indépendantes

les erreurs ont même var iance σ

inconn ue

les erreurs sont de loi gaussienne . Ajout de conditions Nous ajoutons l’indépendance des eff ets aléatoires et des erreurs due à ce type d’analyse : les eff ets aléatoires A

et les erreurs E

sont indépendants les eff ets aléatoires B

et les erreurs E

sont indépendants les eff ets aléatoires ( AB )

et les erreurs E

sont indépendants .

Avecrépétitions Sansrépétition

Relation fondamentale de l’ANO VA Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies . Nous utilisons les quantités SC

, SC

, SC

, SC

, SC

déjà introduites au chapitre précédent. Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANO VA : SC

= SC

+ SC

+ SC

+ SC

.

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Tab leau de l’ANO VA Var iation SC ddl CM F

F

Due au fact. A sc

I − 1 cm

cm

cm

c

Due au fact. B sc

J − 1 cm

cm

cm

c

Inter action sc

( I − 1 )( J − 1 ) cm

cm

cm

c

Résiduelle sc

IJ ( K − 1 ) cm

Totale sc

n − 1

Avecrépétitions Sansrépétition

Tests d’h ypothèses L’analyse de la var iance à deux facteurs aléatoires av ec répétitions per met trois tests de Fisher . Premier test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): σ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): σ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

) précédente d’absence d’eff et du facteur A et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à I − 1 et ( I − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Deuxième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): σ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): σ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

) précédente d’absence d’eff et du facteur B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à J − 1 et ( I − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

Avecrépétitions Sansrépétition

Troisième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): σ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): σ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

) précédente d’absence d’eff et de l’inter action entre les facteurs A et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à ( I − 1 )( J − 1 ) et IJ ( K − 1 ) deg rés de liber té.

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Retour à l’e xemple -Sor tie av ec MINIT AB Analyse de la variance pour Teneurs en proteines, avec utilisation de la somme des carrés ajustée pour les tests Source DL SomCar séq CM ajust F P Mou 2 0,29246 0,14623 8,70 0,010 Ech 4 0,20731 0,05183 3,08 0,082 Mou * Ech 8 0,13451 0,01681 0,38 0,917 Erreur 15 0,66840 0,04456 Total 29 1,30268 S = 0,211092 R carré = 48,69 % R carré (ajust) = 0,80 %

Avecrépétitions Sansrépétition

Remarque Nous supposons que les conditions du modèle sont bien remplies .Ce que nous vér ifierons par la suite . Analyse des résultats

Pour le premier test, P-v alue = 0,010, nous décidons ,au seuil α = 5 % ,de refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous pouv ons dire qu’il y a un eff et significatif du facteur aléatoire « Moulin ». Le risque associé à cette décision est un risque de première espèce qui vaut 5 % .

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Analyse des résultats -Suite et fin

Pour le deuxième test, P-v alue = 0,082, nous décidons de ne pas refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous n’a vons pas réussi à mettre en évidence d’eff et du facteur aléatoire « Échantillon ». Le risque associé à cette décision est un risque de deuxième espèce .P our l’év aluer ,il rester ait à calculer la puissance de ce test.

Pour le troisième test, P-v alue = 0,917, nous décidons de ne pas refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous n’a vons pas réussi à mettre en évidence d’eff et du facteur aléatoire « Inter action ». Le risque associé à cette décision est un risque de deuxième espèce .P our l’év aluer ,il rester ait à calculer la puissance de ce test.

Avecrépétitions Sansrépétition 321

13,55 13,50 13,45 13,40 13,35 13,30 54321

Moulin

Mo ye nn e

Echantillon

Graphique des effets principaux pour Teneurs en proteines Moyennes ajustées MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionModèlesaléatoiresetmixtesdel’ANOVAà2facteurs uds

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Avecrépétitions Sansrépétition 54321

13,7 13,6 13,5 13,4 13,3 13,2 Echantillon

Mo ye nn e

1 2 3

Moulin

Diagramme des interactions pour Teneurs en proteines Moyennes ajustées MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionModèlesaléatoiresetmixtesdel’ANOVAà2facteurs

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Avecrépétitions Sansrépétition

Sommaire

Introduction Quatre nouv eaux modèles

Modèle à eff ets aléatoires A vec répétitions Sans répétition

Modèle à eff ets mixtes A vec répétitions Sans répétition

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple adapté du Diplôme Univ ersitaire de Statistique Nous étudions la dissolution du pr incipe actif conten u dans un type donné de compr imé issu de lots de production distincts . Pour cela, six lots ont été sélectionnés au hasard par mi toute la production et la dissolution de quatre compr imés pr is au hasard dans chacun des lots est obser vée .Après 15, 30, 45 et 60 min utes ,un compr imé de chaque lot est sélectionné et le pourcentage de pr incipe actif dissous ,par rappor tà la valeur titre ,est déter miné. Ces valeurs sont données dans le tab leau qui va suivre .Il est à noter que les temps d’obser vation à sa voir ,15, 30, 45 et 60 min utes sont des temps qui ont été choisis aléatoirement par l’e xpér imentateur qui n’a vait pas de connaissance a pr ior isur ces 24 compr imés .

Avecrépétitions Sansrépétition

Tab leau des données Lot/T emps 15 min 30 min 45 min 60 min Lot 1 66 87 93 90 Lot 2 60 91 99 98 Lot 3 69 91 93 92 Lot 4 61 97 97 101 Lot 5 61 84 106 103 Lot 6 57 88 94 99 Question que se pose l’e xpér imentateur À par tir de quel instant pouv ons-nous admettre qu’un compr imé est entièrement dissous ?

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Avecrépétitions Sansrépétition

Hypothèse d’absence d’e xistence des inter actions Pour utiliser un modèle sans répétition, il est nécessaire de supposer que les inter actions entre les deux facteurs n’e xistent pas ou sont négligeab les . Une possibilité pour év aluer cette hypothèse est de constr uire le diag ramme des inter actions et de prendre une décision à l’aide des profils représentées .

Avecrépétitions Sansrépétition 654321

110 100 90 80 70 60 50 Lot

Moyenn e

15 30 45 60

Temps

Diagramme des interactions pour %Dissolution Moyennes des données MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionModèlesaléatoiresetmixtesdel’ANOVAà2facteurs

uds

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Modèle statistique Le modèle statistique s’écr it de la façon suiv ante : Y

= µ + A

+ B

+ E

, où i = 1 ,. .. , I , j = 1 ,. .. , J , où Y

est la valeur pr ise par la réponse Y dans les conditions ( A

, B

) . Notons n = I × J le nombre total de mesures ay ant été eff ectuées .

Avecrépétitions Sansrépétition

Conte xte Les ter mes A

représentent un échantillon de taille I préle vé dans une population impor tante .Nous admettrons que les eff ets des A

sont distr ib ués suiv ant une loi nor male centrée de var iance σ

. Les ter mes B

représentent un échantillon de taille J préle vé dans une population impor tante .Nous admettrons que les eff ets des B

sont distr ib ués suiv ant une loi nor male centrée de var iance σ

.

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Conditions liées à ce type d’analyse Nous supposons que L ( A

) = N ( 0 ,σ

) , pour tout i , 1 6 i 6 I , L B

= N ( 0 ,σ

) , pour tout j , 1 6 j 6 J , ainsi que l’indépendance des eff ets aléatoires : les eff ets aléatoires A

sont indépendants les eff ets aléatoires B

sont indépendants les eff ets aléatoires A

et B

sont indépendants .

Avecrépétitions Sansrépétition

Conditions classiques de l’ANO VA Nous postulons les hypothèses classiques de l’ANO VA pour les var iab les erreurs E

:

les erreurs sont indépendantes

les erreurs ont même var iance σ

inconn ue

les erreurs sont de loi gaussienne . Ajout de conditions Nous ajoutons l’indépendance des eff ets aléatoires et des erreurs due à ce type d’analyse : les eff ets aléatoires A

et les erreurs E

sont indépendants les eff ets aléatoires B

et les erreurs E

sont indépendants .

uds

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Relation fondamentale de l’ANO VA Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies . Nous utilisons les quantités SC

, SC

, SC

, SC

déjà introduites au chapitre précédent. Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANO VA : SC

= SC

+ SC

+ SC

.

Avecrépétitions Sansrépétition

Tab leau de l’ANO VA Var iation SC ddl CM F

F

Due au facteur A sc

I − 1 cm

cm

cm

c

Due au facteur B sc

J − 1 cm

cm

cm

c

Résiduelle sc

( I − 1 )( J − 1 ) cm

Totale sc

n − 1

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Tests d’h ypothèses L’analyse de la var iance à deux facteurs aléatoires sans répétition per met deux tests de Fisher . Premier test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): σ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): σ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

)précédente d’absence d’eff et du facteur A et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à I − 1 et ( I − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

Avecrépétitions Sansrépétition

Deuxième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): σ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): σ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

)précédente d’absence d’eff et du facteur B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à J − 1 et ( I − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

uds

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Retour à l’e xemple -Sor tie av ec MINIT AB Analyse de la variance pour Principe actif dissous, avec utilisation de la somme des carrés ajustée pour les tests Source DL SomCar séq CM ajust F P Lot 5 83,21 16,64 0,68 0,647 Temps 3 4908,46 1636,15 66,6 0,000 Erreur 15 368,29 24,55 Total 23 5359,96 S = 4,95508 R carré = 93,13 % R carré (ajust) = 89,46 %

Avecrépétitions Sansrépétition

Analyse des résultats

Pour le premier test, P-v alue = 0,647, nous décidons de ne pas refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous n’a vons pas réussi à mettre en évidence d’eff et du facteur aléatoire « Lot ». Le risque associé à cette décision est un risque de deuxième espèce .P our l’év aluer ,il rester ait à calculer la puissance de ce test.

Pour le deuxième test, P-v alue = 0,000, nous décidons de refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous pouv ons dire ,au seuil α = 5 % ,qu’il y a un eff et significatif du facteur aléatoire « Temps ».

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Avecrépétitions Sansrépétition

Analyse des résultats -Suite et fin Nous ne sommes pas capab les de répondre à la question de l’e xpér imentateur ,à sa voir : « à par tir de quel instant pouv ons-nous admettre qu’un compr imé est entièrement dissous ? » puisque nous ne pouv ons pas faire de tests de compar aisons m ultiples ,étant donné que le facteur « Temps » est à eff ets aléatoires . Remarque Bien sûr ,nous pouv ons faire cette analyse des résultats ,si aupar av ant nous av ons vér ifié que les conditions du modèle sont bien remplies .Ce que nous vér ifierons ultér ieurement.

Avecrépétitions Sansrépétition 654321

100 90 80 70 60 60453015

Comprime

Mo ye nn e

Temps

Graphique des effets principaux pour Dissolution Moyennes ajustées MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionModèlesaléatoiresetmixtesdel’ANOVAà2facteurs

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Sommaire

Introduction Quatre nouv eaux modèles

Modèle à eff ets aléatoires A vec répétitions Sans répétition

Modèle à eff ets mixtes A vec répétitions Sans répétition

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Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple issu du livre de Ho w ell Eysenc k (1974) a mené une étude consacrée à la rétention de matér iel verbal en fonction du niv eau de traitement. Elle faisait var ier aussi bien l’âge ( facteur fix e )que la condition de rétention ( facteur aléatoire ). Le modèle de la mémor isation proposé par Cr aik et Loc khar t (1972) stipule que le deg ré auquel un sujet se rappelle un matér iel verbal est fonction du deg ré auquel ce matér iel a été traité lors de sa présentation initiale .Ainsi, si l’on essaie de mémor iser une liste de mots ,répéter simplement un mot pour soi-même (un niv eau de traitement très bas) ne per met pas de le mémor iser aussi bien que si l’on y réfléchit en tentant de for mer des associations entre ce mot et un autre .

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Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple issu du livre de Ho w ell (suite) Eysenc k (1974) voulait tester ce modèle et, plus impor tant encore ,e xaminer s’il pouv ait contr ib uer à expliquer cer taines différences rele vées entre des sujets jeunes et âgés concer nant leur aptitude à se rappeler du matér iel verbal. Eysenc k a répar ti aléatoirement 50 sujets âgés de 55 à 65 ans dans cinq groupes ;les quatre premiers impliquaient un apprentissage in volontaire et le der nier un apprentissage intentionnel (l’apprentissage in volontaire se car actér isait par le fait que le sujet ne sa vait pas qu’il de vr ait plus tard se rappeler le matér iel appr is).

Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple issu du livre de Ho w ell (suite) Le premier groupe (addition) de vait lire une liste de mots et se contenter de compter le nombre de lettres de chacun d’eux. Il s’agissait du niv eau de traitement le plus bas ,puisqu’il n’était pas nécessaire de considérer chaque mot autrement que comme une suite de lettres . Le deuxième groupe (r imes) de vait lire chaque mot et lui trouv er une rime .Cette tâche impliquait de considérer la consonance de chaque mot, mais pas sa signification. Le troisième groupe (adjectifs) de vait donner un adjectif qui aur ait pu être utilisé pour modifier chaque mot de la liste .

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple issu du livre de Ho w ell (suite) Le quatr ième groupe (images) de vait essa yer de se for mer une image précise de chaque mot. Cette der nière tâche était supposée nécessiter le niv eau de traitement le plus éle vé par mi les quatre groupes d’apprentissage in volontaire . A ucun de ces groupes ne sa vait qu’il faudr ait se rappeler les mots ultér ieurement.

Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple issu du livre de Ho w ell (suite) Enfin, le groupe d’apprentissage intentionnel de vait lire la liste et mémor iser tous les mots .Après av oir passé trois fois en re vue la liste de 27 mots ,les sujets de vaient retr anscr ire tous les mots dont ils se souv enaient. Si l’apprentissage n’impliquait rien de plus qu’une exposition au matér iel (soit la façon dont la plupar td’entre nous lisent le jour nal ou, pis encore ,un de voir), les cinq groupes de vaient obtenir des résultats identiques ;après tout, ils av aient tous vu tous les mots .Si le niv eau de traitement était impor tant, on de vait constater des différences sensib les entre les mo yennes des groupes .

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Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple issu du livre de Ho w ell (suite) L’étude incluait 50 par ticipants dont l’âge se situait entre 18 et 30 ans ,ainsi que 50 par ticipants compr is dans la tranche d’âge 55-65 ans .P our plus de facilité, nous av ons reg roupé les 50 par ticipants dont l’âge se situait entre 18 et 30 ans dans une classe que nous appellerons « sujets jeunes » et les 50 par ticipants dont l’âge se situait entre 55 et 65 ans dans une classe que nous allons appeler « sujets âgés ». Les données sont présentées dans le tab leau suiv ant :

Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple : Sujets jeunes Addition Rimes Adjectifs Images Intentionnel 8 10 14 20 21 6 7 11 16 19 4 8 18 16 17 6 10 14 15 15 7 4 13 18 22 6 7 22 16 16 5 10 17 20 22 7 6 16 22 22 9 7 12 14 18 7 7 11 19 21

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Avecrépétitions Sansrépétition

Ex emple : Sujets âgés Addition Rimes Adjectifs Images Intentionnel 9 7 11 12 10 8 9 13 11 19 6 6 8 16 14 8 6 6 11 5 10 6 14 9 10 4 11 11 23 11 6 6 13 12 14 5 3 13 10 15 7 8 10 19 11 7 7 11 11 11

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Le modèle Le modèle statistique s’écr it de la façon suiv ante : Y

= µ + α

+ B

+ ( α B )

+ E

où i = 1 ,. .. , I , j = 1 ,. .. , J , k = 1 ,. .. , K , av ec les contr aintes supplémentaires :

X

α

= 0 et

X

( α B )

= 0 , pour tout j ∈ { 1 ,. .. , J } où Y

est la valeur pr ise par la réponse Y dans les conditions ( α

, B

) lors du k − ème essai. Notons n = I × J × K le nombre total de mesures ay ant été eff ectuées .

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Conte xte

Un facteur contrôlé α se présente sous I modalités , chacune d’entre elles étant notée α

.

Les B

représentent un échantillon de taille J préle vé dans une population impor tante .Nous admettrons que les eff ets des B

sont distr ib ués suiv ant une loi nor male centrée de var iance σ

.

Pour chacun des couples de modalités ( α

, B

) nous eff ectuons K > 2 mesures d’une réponse Y qui est une var iab le contin ue .

Avecrépétitions Sansrépétition

Conditions liées à ce type d’analyse Nous supposons que L B

= N ( 0 ,σ

) , pour tout j , 1 6 j 6 J , L ( α B )

= N ( 0 ,σ

) , pour tout ( i , j ) , 1 6 i 6 I , 1 6 j 6 J , ainsi que l’indépendance des eff ets aléatoires : les eff ets aléatoires B

sont indépendants les eff ets aléatoires B

et ( α B )

sont indépendants . Remarque Les eff ets aléatoires ( α B )

ne sont pas indépendants à cause de l’e xistence des contr aintes por tant sur les ( α B )

.

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Conditions classiques de l’ANO VA Nous postulons les hypothèses classiques de l’ANO VA pour les var iab les erreurs E

:

les erreurs sont indépendantes

les erreurs ont même var iance σ

inconn ue

les erreurs sont de loi gaussienne . Ajout de conditions Nous ajoutons l’indépendance des eff ets aléatoires et des erreurs due à ce type d’analyse : les eff ets aléatoires B

et les erreurs E

sont indépendants les eff ets aléatoires ( α B )

et les erreurs E

sont indépendants .

Avecrépétitions Sansrépétition

Relation fondamentale de l’ANO VA Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies . Nous utilisons les quantités SC

, SC

, SC

, SC

, SC

déjà introduites au chapitre précédent. Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANO VA : SC

= SC

+ SC

+ SC

+ SC

.

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition

Tab leau de l’ANO VA Var iation SC ddl CM F

F

Due au fact. α sc

I − 1 cm

cm

cm

c

Due au fact. B sc

J − 1 cm

cm

cm

c

Inter action sc

( I − 1 )( J − 1 ) cm

cm

cm

c

Résiduelle sc

IJ ( K − 1 ) cm

Totale sc

n − 1

Avecrépétitions Sansrépétition

Tests d’h ypothèses L’analyse de la var iance à un facteur fix e et à un facteur aléatoire av ec répétitions per met trois tests de Fisher . Premier test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): α

= α

= ·· · = α

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): Il existe i

∈ { 1 ,. .. , I } tel que α

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

) précédente d’absence d’eff et du facteur α et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à I − 1 et ( I − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Décision Nous concluons alors à l’aide de la p − valeur ,rejet si elle est infér ieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une tab le , rejet si la valeur F

est supér ieure ou égale à la valeur cr itique issue de la tab le . Tests de compar aisons m ultiples Lorsque l’h ypothèse nulle ( H

)est rejetée ,nous pouv ons procéder à des tests de compar aisons m ultiples des différents eff ets des niv eaux du facteur .Nous ren vo yons au chapitre 1 qui traite des pr incipales méthodes de compar aisons m ultiples .

Avecrépétitions Sansrépétition

Deuxième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): σ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): σ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

) précédente d’absence d’eff et du facteur B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à J − 1 et IJ ( K − 1 ) deg rés de liber té.

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Avecrépétitions Sansrépétition

Troisième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

): σ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

): σ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

) précédente d’absence d’eff et de l’inter action entre les facteurs α et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à ( I − 1 )( J − 1 ) et IJ ( K − 1 ) deg rés de liber té.

Avecrépétitions Sansrépétition

Retour à l’e xemple -Sor tie av ec MINIT AB Source DL SomCar séq CM ajust F P age 1 240,25 240,25 5,05 0,088 met 4 1514,94 378,73 47,19 0,000 age * met 4 190,30 47,57 5,93 0,000 Erreur 90 722,30 8,03 Total 99 2667,79

uds

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Avecrépétitions Sansrépétition

Remarque Nous allons faire une analyse des résultats ,en supposant que les conditions du modèle sont bien remplies .Ce que nous vér ifierons par la suite . En Tr av aux Dir igés ,v ous apprendrez en par ticulier à vér ifier la nor malité du facteur à eff ets aléatoires .

Avecrépétitions Sansrépétition

Analyse des résultats

Pour le premier test, P-v alue = 0,088, nous décidons de ne pas refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous n’a vons pas réussi à mettre en évidence d’eff et du facteur aléatoire « Âge ». Le risque associé à cet te décision est un risque de deuxième espèce .P our l’év aluer ,il rester ait à calculer la puissance de ce test.

Pour le deuxième test, P-v alue = 0,035, nous décidons de refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous pouv ons dire ,au seuil α = 5 % ,qu’il y a un eff et significatif du facteur fix e « Méthode ».

Pour le troisième test, P-v alue = 0,000, nous décidons de refuser l’h ypothèse nulle ( H

) .P ar conséquent, nous pouv ons dire ,au seuil α = 5 % ,qu’il y a un eff et significatif du facteur aléatoire « Inter action ».

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes Avecrépétitions Sansrépétition

J

A

16 14 12 10 8 6

m Ri es

te In io nt el nn

ag Im es

je Ad ifs ct

di Ad n tio

âge

Mo ye nn e

méthode

Graphique des effets principaux pour nombre de mots retenus Moyennes ajustées MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionModèlesaléatoiresetmixtesdel’ANOVAà2facteurs

Introduction Modèleàeffetsaléatoires Modèleàeffetsmixtes

Avecrépétitions Sansrépétition RimesIntentionnelImagesAdjectifsAddition

20,0 17,5 15,0 12,5 10,0 7,5 5,0 méthode

Mo ye nn e

A J

âge

Diagramme des interactions pour nombre de mots retenus Moyennes ajustées MyriamMaumy-Bertrand&MarieChionModèlesaléatoiresetmixtesdel’ANOVAà2facteurs