Master1èreAnnée13-11-2014 MyriamMaumy-Bertrand Stratiﬁcationaposteriori

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Principe Exemple Formules d’estimation d’une stratification a posteriori

Comparaison avec un SAS Redressements sur critères multiples

Stratification a posteriori

Myriam Maumy-Bertrand¹

1IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, France

Master 1ère Année 13-11-2014

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Référence

Ce chapitre s’appuie essentiellement sur l’ouvrage :

« Méthodes statistiques des sondages », de Jean-Marie Grosbras,

aux éditions Economica, 1987.

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Principe fondamental Définition

Sommaire

1 Introduction

2 Principe

3 Exemple

4 Formules d’estimation d’une stratification a posteriori

5 Comparaison avec un SAS

6 Redressements sur critères multiples

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Remarque

C’est la deuxième méthode (après le sondage stratifié) qui va utiliser une variable auxiliaire car il est rare que nous ne disposons pas d’une variable quantitative ou qualitative dont la valeur/modalité est connue pour chacun des individus de la population.

Principe fondamental

Lorsque nous disposons d’une information auxiliaire, il faut chercher à l’utiliser dans le but d’obtenir des estimateurs plus précis que les estimateurs simples de la moyenne ou du total qui apparaissent dans le cadre du sondage à PESR ou à PISR.

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L’information auxiliaire peut être utilisée au niveau de la construction de l’échantillon (stratification, tirage proportionnel à un critère de taille,. . .) ou au niveau de l’expression de l’estimateur (techniques de redressement/calage).

Si plusieurs variables auxiliaires sont utilisées, nous pouvons recourir à une technique mixte dans laquelle certaines variables servent à améliorer le tirage de l’échantillon, et les autres à améliorer l’estimateur.

(6)

Définition

La stratification a posteriori est une méthode de redressement d’échantillon sur une variable qualitative.

C

ette méthode fait partie des méthodes de calage aux marges.

Parmi les méthodes de calage aux marges, nous citons : post-stratification (ce chapitre)

estimation par quotient (chapitre 5) estimation par régression (chapitre 7)

estimation par régression multiple (non traité)

(7)

Sommaire

1 Introduction

2 Principe

3 Exemple

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Principe

Nous étudions un caractèreX sur une population. Nous connaissons un autre caractèreY sur cettemêmepopulation et surtout sa distribution.

L’échantillon n’estpas stratifié a priori surY mais pour chacune des unités échantillonnées on relève le couple(x_i;y_i).

Nous définissons, à posteriori, des strates selon les valeurs de Y.

Nous repondérons les données par les poids véritables des strates définies surY.

(9)

Si ce critèreY est corrélé avecX, c’est-à-dire si la variabilité de X s’explique en partie par des différences entre les classes de Y, le calage de l’échantillon lui donne alors une représentativité plus fidèle et conduit à des résultats plus fiables.

C’est pourquoi les questionnaires comportent souvent en plus des questions qui abordent le thème de l’étude, des éléments de description de l’unité interrogée comme par exemple, le nombre de personnes du ménage, le nombre d’enfants, la CSP des adultes, les caractéristiques du logement...

Ces éléments permettent de juger de la qualité de l’échantillon et de suggérer des calages éventuels.

(10)

Sommaire

1 Introduction

2 Principe

3 Exemple

(11)

Exemple

Un échantillon de 1 000 personnes interrogées sur la question

« Allez-vous au cinéma au moins une fois par mois ? » Nous avons croisé cette question avec une autre question

« Avez-vous une télévision ? »

(12)

Voici la répartition des réponses obtenues Cinéma

oui non total

Télé oui 20 680 700

non 80 220 300

total 100 900 1 000

100 personnes répondent « oui » à la première question, ce qui nous permet d’estimer le pourcentage à 10%.

Le calcul que nous avons fait s’écrit de la façon suivante

πb= 20

700× 700

1 000+ 80

300 × 300

1 000 =0,10.

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Remarque

Dans l’échantillon, il y a une sous représentation des possesseurs de télévisions. Comment le savons-nous ? Par d’autres sources qui nous indiquent qu’il y a 80%de gens qui possèdent une télévision.

Conséquence

L’estimation du pourcentage ne se calcule plus de la même façon ! Rectifions le calcul

bπ= 20

700 × 800

1 000 + 80

300 × 200

1 000 =0,076 ou encorebπest égal à 7,6%. Que faut-il en conclure ?

(14)

Estimation d’une moyenne par stratification a posteriori Estimation d’un total par stratification a posteriori Variance de l’estimateur de la moyenne Variance de l’estimateur du total

Sommaire

1 Introduction

2 Principe

3 Exemple

(15)

Définition

L’estimateur d’une moyenneµde la population U est défini par

µbpost =

k

X

h=1

N_h N µbh,

où N_hreprésente l’effectif des strates a posteriori et

bµ_h = 1 n_h

nh

X

i=1

X_hi.

(16)

Remarque

C’est la même formule que la moyennebµ_st d’un échantillon stratifié a priori. Mais c’est seulement une apparence ! En effet

Dans le calcul deµbst, lesµbhsont fondés sur des taillesn_h fixées à l’avance.

Dans le calcul deµbpost, lesµbhsont fondés sur des tailles n_hqui ne sont pas fixées à l’avance, mais qui sont des résultats constatés sur l’échantillon. Donc les taillesn_h sont des quantités aléatoires.

(17)

Comment faire dans les calculs si lesn_hsont aléatoires ? La démarche se fait en deux étapes.

Nous fixons d’abord lesn_h.

Puis nous introduisons l’aléatoire sur lesn_h.

C’est cette démarche qui va nous permettre de calculer l’espérance deµb_post pour savoir siµb_post est un estimateur biaisé ou pas.

(18)

Calcul de l’espérance deµbpost

Nous avons par conditionnement

E[µbpost] =E[E[µbpost|n_h]]. D’autre part, nous avons

E[µb_post|n_h] =

H

X

h=1

N_h

N E[bµ_h|n_h]

=

H

X

h=1

N_h N µ_h

= µ.

(19)

D’où, nous en concluons que E[bµpost] = E[E[µbpost|n_h]]

= E[µ] d’après ce que nous venons d’établir

= µ.

Propriété

Nous montrons, par calcul, queµbpost est unestimateur sans biaisd’une moyenneµde la population U.

(20)

Définition

L’estimateur d’un total T d’une population U est défini par

Tb_post =

H

X

h=1

N_hµbh,

où N_hreprésente l’effectif des strates a posteriori et

µb_h= 1 n_h

nh

X

i=1

x_hi.

(21)

Propriété

Nous montrons, par calcul comme précedemment, queTb_post estun estimateur sans biaisd’un total T d’une population U, i.e.

E h

Tb_posti

=E

" _k X

h=1

N_hµbh

#

=T.

(22)

Calcul de la variance debµ_post

Nous procédons de la même manière que nous avons calculé l’espérance de cet estimateur, c’est à dire en conditionnant par n_h.

Par conséquent, nous obtenons

Var[µbpost] =Var[E[µbpost|n_h]] +E[Var[bµpost|n_h]]. Or nous avons montré précedemment que

E[µb_post|n_h] =µ.

Par conséquent, nous avons

Var[E[µ |n ]] =Var[µ] =0.

(23)

Reste plus qu’à calculer le second membre de l’équation de la variance.

Var[µbpost|n_h] =

k

X

h=1

N_h²

N²Var[bµ_h|n_h]

=

k

X

h=1

N_h² N²

N_h−n_h N_hn_h S_h,c²

=

k

X

h=1

N_h² N²

1

n_hS²_h,c− 1 N

k

X

h=1

N_h N S_h,c² .

(24)

Par conséquent, nous avons

E[Var[µbpost|n_h]] = E

" _k X

h=1

N_h² N²

1

n_hS_h,c² − 1 N

k

X

h=1

N_h N S²_h,c

#

=

k

X

h=1

N_h² N²S²_h,cE

1 n_h

− 1 N

k

X

h=1

N_h N S_h,c² .

Il ne reste plus qu’à calculer E

1 n_h

.

(25)

Posons

πh= N_h

N et πbh= n_h n. Remarquons que

E[πb_h] =π_h. De plus, nous avons

n_h=nn_h

n =nbπ_h = n(bπ_h−π_h+π_h)

= nπ_h

1+bπ_h−π_h πh

.

(26)

Par conséquent nous en tirons que 1

n_h = 1

nπ_h × 1 1+πb_h−π_h

π_h .

Comme πb_h−π_h

π_h tend vers 0, nous pouvons faire un

développement limité sur l’égalité ci-dessus et nous obtenons que :

1 n_h = 1

nπ_h × 1−bπh−πh

π_h +(πbh−πh)²

π²_h +o_P (bπh−πh)² π_h²

!!

.

(27)

E 1

n_h

= 1

nπ_hE

"

1−bπh−πh

π_h +(bπh−πh)² π_h² +o_P (πbh−πh)²

π²_h

! !#

= 1

nπ_h 1−0 +E

"

(bπh−πh)²

π_h² +o_P (πbh−πh)² π_h²

!#!

.

(28)

Calculons maintenant E

"

(bπh−πh)²

π_h² +o_P (πbh−πh)² π²_h

!#

.

En remarquant queE[(πbh−πh)²]est égale à la variance de l’estimateurbπ_het que l’on est dans un cas de tirage à PESR, nous obtenons que

E

"

(πb_h−π_h)²

π²_h +o_P (bπ_h−π_h)² π_h²

!#

' N−n N−1

π_h(1−π_h)

n × 1

π²_h.

(29)

Finalement, nous avons E

1 n_h

' 1

nπ_h

1+N−n Nn

(1−π_h) π_h

.

(30)

D’où, nous en déduisons que Var[µb_post] '

k

X

h=1

π²_hS²_h,c 1

nπ_h +N−n Nn²

(1−π_h) π²_h

!

−1 N

k

X

h=1

πhS_h,c² .

(31)

En développant et en réorganisant les termes, nous obtenons

Var[µbpost] ' 1 n

k

X

h=1

π_hS_h,c² − 1 N

k

X

h=1

π_hS_h,c²

+1 n

N−n Nn

k

X

h=1

(1−π_h)S_h,c²

' N−n Nn

k

X

h=1

π_hS_h,c² + 1 n

N−n Nn

k

X

h=1

(1−π_h)S²_h,c.

(32)

Finalement, nous obtenons que Var(µb_post) ' (1−f)

n

H

X

h=1

N_h

N S_h,c² +(1−f) n²

H

X

h=1

1−N_h

N

S_h,c² variance deµbpost +le prix à payer pour

n’avoir pas tenu compte de la stratification dès le départ.

Remarque

Cette dernière quantité tend vers 0 lorsquendevient grand.

(33)

Propriété

Nous montrons, par des calculs analogues à ceux développés pour l’estimateur de la moyenne, que

Var h

Tb_posti

' N (1−f) n

k

X

h=1

N_hS_h,c²

+(1−f) n²

k

X

h=1

(N−N_h)S²_h,c

! .

(34)

Sommaire

1 Introduction

2 Principe

3 Exemple

(35)

Comparaison avec un SAS Nous rappelons que

Var[µ]b = (1−f) n S²_c ' (1−f)

n

k

X

h=1

N_h N S_h,c² +

k

X

h=1

N_h

N X_h−µ2

!

et

Var[µb_post]' (1−f) n

k

X

h=1

N_h

N S_h,c² +1 n

k

X

h=1

N−N_h N S_h,c²

! .

(36)

D’où, nous en déduisons que n

(1−f)(Var[µ]b −Var[µbpost]) '

k

X

h=1

N_h

N X_h−µ2

−1 n

k

X

h=1

N−N_h N S_h,c² . La stratification a posteriori se justifie lorsque cette quantité est largement positive.

(37)

Remarques

1. La variable étudiée doit-être corrélée avec le critère de stratification, c’est-à-dire avoir une valeur élevée du rapport de corrélation inter-strate.

2. ndoit être assez grand, puisque on se sert de 1/n→0 lorsquen→+∞. Donc c’est inutile de repondérer les petits échantillons.

3. (N−N_h)/Ndoit être très petit, puisque on se sert de cette hypothèse pour faire un développement limité. Il faut donc queN_h/Ndoit être grand. Par conséquent, c’est inutile d’avoir beaucoup de petites strates.

(38)

Le problème La méthode RAS La méthode ASAM

Sommaire

1 Introduction

2 Principe

3 Exemple

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Retour à l’exemple « Cinéma et Télévision » Nous avons le tableau suivant :

B₁ B₂ total A₁ 20 680 700 A₂ 80 220 300 total 100 900 1 000

En réalité, la marge sur A est(800,200).

(40)

Comme nous l’avons montré au début de ce chapitre, la moyenne calée sur A se calcule par

1 1 000



 800 700

X

i∈A₁

y_i+200 300

X

i∈A₂

y_i



.

Les observations de A₁sont redressées par 800/700 et celles de A₂par 200/300.

Imaginons que l’échantillon soit déformé par rapport à B. Nous savons par d’autres sources, que la marge de B est en réalité (80,920).

(41)

Problème

Nous voulons caler l’échantillon sur les deux critères simultanément.

Solution idéale

Connaître les effectifs théoriques croisés mais en réalité on ne dispose que des marges.

(42)

Problème

Estimer les coefficients de redressement par case, respectant les conditions à la marge.

Quatre Solutions

• La méthode RAS

• La méthode ASAM

• L’ajustement par l’analyse des données

• La méthode de Lemel (1976)

Nous ne développerons pas les deux dernières méthodes, mais nous renvoyons au livre de Jean-Marie Grosbras pour de plus amples renseignements sur ces deux méthodes.

(43)

La méthode RAS : Le principe

Le tableau à ajuster estA= (a_ij).

Le total de ligne esta_i., le total théorique estr_i. Le total de ligne esta_.j, le total théorique ests_j. On commence par ajuster les totaux en ligne : a_ij →a_ij =a_ij ∗(r_i/a_i.).

Puis on ajuste les totaux en colonne : a_ij →a_ij =a_ij ∗(s_j/a_.j).

En ajustant les totaux en colonne, on a détruit l’ajustement des totaux en ligne. On recommence...

On itère le processus jusqu’à convergence.

(44)

Avec les données de l’exemple « Cinéma-Télévision », nous avons

A=







15 20 45 12 45 67 23 12 67 23 91 15 77 33 91 35





 r =





 100 150 150 200







s = [170 150 190 90]

(45)

La méthode RAS donne

16 24 42 18 100

41 73 20 16 150

51 21 62 16 150

62 32 66 40 200

170 150 190 90 600

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Ajustement Statistique et Algébrique d’une Matrice (ASAM) Cette méthode est plus générale et englobe comme cas particulier la méthode RAS.

Idée

Si l’échantillon n’est pas trop mauvais, la structure croisée observée doit avoir des similitudes avec la « vraie » structure.

On a un tableau(a_ij)tel queT =P

i

P

ja_ij.

On chercher un tableau(x_ij), proche de(a_ij)tel que X

j

x_ij =r_i, X

i

x_ij =s_j, X X

x_ij =T.

(47)

La méthode ASAM consiste en la résolution du programme suivant

minxij

X

i

X

j

1

ρ_ij(x_ij −a_ij)² avec

X

j

x_ij =r_i, X

i

x_ij =s_j, X

i

X

j

x_ij =T.

Lesρ_ij sont à choisir si nous voulons moduler l’importance de chaque case.

(48)

Remarques

La méthode ASAM est une méthode des moindres carrés pondérés et contraints.

Il existe des programmes traitant ce genre de problème.

Le choix optimal pour lesρ_ij est de les prendre

proportionnels aux variances desa_ij, considérés comme des variables aléatoires

ρ_ij =cVar[a_ij].

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Suite des remarques

Nous prenons dons lesρ_ij représentatifs de ce que nous pouvons connaître des variances des effectifsa_ij.

La méthode RAS est un cas particulier de la méthode ASAM dans le cas où lesa_ij sont proportionnels à leur variance.

La méthode ASAM est plus satisfaisante puisqu’elle recherche une similitude de structure.

Elle est évidemment plus coûteuse.