TD4 : ESTIMATION -GENERALITES Précision d’un estimateur

(1)

TD4 : ESTIMATION -GENERALITES

Précision d’un estimateur

Exercice 1 :

Soit un échantillon i.i.d. de moyenne m connue et de variance σ² inconnue. On considère les trois estimateurs de σ² :

1) Comparer la précision de T et S_n^2*dans le cas général

2) Comparer la précision des trois estimateurs dans le cas gaussien.

Exercice 2 :

Soit un échantillon i.i.d. d’une v.a. gaussienne d’espérance et de variance , où  est un paramètre inconnu de ]0,1[.

1- Montrer que X et X²sont des estimateurs sans biais de 

2- Lequel choisiriez-vous ? Exercice 3 :

Exercice 4 :

(2)

On considère un échantillon

(

X_i

)

₁_{ }_{i n} i.i.d. tel que a pour densité : Exercice 5 :

Un statisticien observe le nombreX d’ampoules défaillantes à la sortie d’une chaine de production. Il veut estimer la probabilité de n’avoir aucune ampoule défaillante (P(X 0)). Pour cela, il compte le nombreN_ndeX i_i

,



1,...,

n, égaux à zero. Il propose d’estimer P(X 0)par :

ˆ_n Nⁿ. p  n p

1- Montrer en supposant juste les

(

X_i

)

₁_{ }_{i n} i.i.d. que pˆ_nest un estimateur sans biais de (X 0).

P Calculer son risque quadratique.

2- Quelles sont les propriétés de cet estimateur (sans biais, convergent, exhaustif,…) ? 3- Donner sa loi limite.

Exhaustivité, efficacité

Exercice 6 :

Soient T1 et T2 deux estimateurs indépendants et sans biais d’un paramètre . On note V1 et V2 leurs variances respectives. Soit l’estimateur :

1- Montrer que T3 est sans biais.

2- Déterminer a pour que T3 soit de variance minimale.

(3)

3- Si les hypothèses de Cramer-Rao sont vérifiées, les estimateurs T1 et T2 peuvent-ils être efficaces tous les deux ?

Exercice 7 :

Soit X une variable définie sur

[1,



[

, de densité :

 

( , ) 1 , où -1, .

( )²

f x x

  



    



Soit

(

X_i

)

₁_{ }_{i n} un échantillon i.i.d. issu de la loi de X. Déterminer la borne de FDCR pour les estimateurs sans biais de 

Exercice 8 :

Exercice 9 : Le nombre X de demandes hebdomadaires d’un certain produit suit une loi de Poisson de paramètre inconnu λ. On veut évaluer la probabilité p que X soit nul. Pour cela on note X₁,...,X_nles observations de X pendant n semaines et on considère l’estimateur

ˆ_n K

p  n où K est le nombre d’observations égales à zero.

1. Calculer le biais et la variance de cet estimateur.

2. En utilisant le théorème de Rao-Blackwell et une statistique exhaustive de λ, montrer que 1 1

nX

pn

n

 

  

  est un estimateur sans biais plus précis que ˆp_n.