Analyse de la var iance pour plans à mesures répétées Frédér ic Ber trand1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Master 1reAnnée 08-03-2010 FrédéricBertrand

(1)

Introduction Répétitionssuivantlefacteurdel’ANOVA Répétitionssuivantundesdeuxfacteursdel’ANOVA Répétitionssuivantlesdeuxfacteursdel’ANOVA

Analyse de la var iance pour plans à mesures répétées Frédér ic Ber trand

1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France

Master 1

re

Année 08-03-2010

FrédéricBertrand

Référence Ce cours s’appuie essentiellement sur

1

le livre de Da vid C .Ho w ell Méthodes statistiques en sciences humaines traduit de la sixième édition amér icaine aux éditions de boec k, 2008.

2

le livre de K utner ,Nachtsheim, Neter ,Li Applied Linear Statistical Models Fifth Edition aux éditions McGr aw-Hill Irwin, 2004

FrédéricBertrand Introduction Répétitionssuivantlefacteurdel’ANOVA Répétitionssuivantundesdeuxfacteursdel’ANOVA Répétitionssuivantlesdeuxfacteursdel’ANOVA

Exemple Définition Équationdel’ANOVA

Introduction Lorsque nous mesurons plusieurs fois de suite ,par ex emple à des instants différents ,la même gr andeur sur les mêmes sujets ,nous sommes confrontés à cer tains prob lèmes .En eff et, nous ne pouv ons plus utiliser l’analyse de la var iance classique ,car

1

la condition d’indépendance n’est plus vér ifiée ,

2

il faut prendre en compte la var iabilité « Inter-sujets ». Une solution est alors d’utiliser l’ANO VA pour plans à mesures répétées .

Ex emple Nous mesurons le QI dans trois situations distinctes ,les sujets ont passé le test dans chacune des trois situations .Comment pouv ons-nous modéliser une telle expér ience ? Nous pourr ions dire qu’il y a trois var iab les « QI » perdant ainsi le lien entre les trois situations . Nous pourr ions dire qu’il y a une seule var iab le « QI » et une var iab le « Situation », mais il faudr a tenir compte que chacun des sujets ont passé le test dans les trois situations . Cette expér ience va se modéliser par un cer tain type de plan que nous appelons un plan à mesures répétées .

FrédéricBertrand

(2)

ANO VA pour plans à mesurres répétées Nous utilisons souv ent l’ANO VA pour plans à mesures répétées ,lorsque nous mesurons plusieurs fois une même gr andeur pour en perce voir l’év olution au cours du temps -ou dans div erses situations ,pour chaque sujet. Nouv elle modélisation Nous allons utiliser une descr iption incorrecte mathématiquement, mais facile à comprendre en par lant de var iab le « Intr a-sujets » et de var iab le « Inter-sujets ».

Une nouv elle décomposition des sommes de carrés Var iation totale ( ddl = IS − 1) = Var iation « Inter-sujets » ( ddl = S − 1) + Var iation « Intr a-sujets » ( ddl = S ( I − 1 ) ) et Var iation « Intr a-sujets » ( ddl = S ( I − 1 ) )= Var iation « Facteur » ( ddl = ( I − 1 ) )+ Var iation « Erreur » ( ddl = ( S − 1 )( I − 1 ) ).

Ex emple issu du livre de Ho w ell Nous étudions l’efficacité des techniques de relaxation pour contrôler les maux de tête . Dans le cadre de cette expér ience ,nous av ons recr uté 9 personnes souffr ant de maux de tête et leur av ons demandé d’enregistrer la fréquence et la durée de leurs mig raines . A ux 4 semaines de rele vés de base ,sans aucun ex ercice ,a succédé une pér iode de 6 semaines consacrée à la relaxothér apie . Pour notre ex emple ,nous analyserons les données correspondant aux 2 der nières semaines de rele vés de base et aux 3 der nières semaines d’e xercices . La var iab le dépendante est la durée (heures/semaines) des mig raines dur ant chacune de ces 5 semaines .

FrédéricBertrand

Tab leau des données Sujet Sem. 1 Sem. 2 Sem. 3 Sem. 4 Sem. 5 1 21 22 8 6 6 2 20 19 10 4 4 3 17 15 5 4 5 4 25 30 13 12 17 5 30 27 13 8 6 6 19 27 8 7 4 7 26 16 5 2 5 8 17 18 8 1 5 9 26 24 14 8 9

FrédéricBertrand

(3)

Le modèle Le modèle statistique s’écr it de la façon suiv ante : Y

is

= µ + α

i

+ τ

s

+ E

is

où i = 1 ,. .. , I , s = 1 ,. .. , S , av ec la contr ainte supplémentaire :

I

X

i=1

α

i

= 0 où Y

is

est la valeur pr ise par la réponse Y dans les conditions ( α

i

,τ

s

) . Nous notons n = I × S le nombre total de mesures ay ant été eff ectuées .

FrédéricBertrand

Conte xte Un facteur contrôlé α se présente sous I modalités , chacune d’entre elles étant notée α

i

. Les ter mes τ

s

représentent un échantillon de taille S préle vé dans une population impor tante .Nous admettrons que les eff ets des τ

s

sont distr ib ués suiv ant une loi nor male centrée de var iance σ

2 τ

.

Conditions liées à ce type d’analyse Nous supposons que les eff ets aléatoires τ

s

sont indépendants les eff ets aléatoires τ

s

ont même var iance σ

2 τ

inconn ue les eff ets aléatoires τ

s

sont de loi gaussienne .

Conditions classiques de l’ANO VA Nous postulons les hypothèses classiques de l’ANO VA pour les var iab les erreurs E

is

: les erreurs sont indépendantes les erreurs ont même var iance σ

2

inconn ue les erreurs sont de loi gaussienne . Ajout d’une condition Nous ajoutons l’h ypothèse d’indépendance entre les eff ets aléatoires et les erreurs : les eff ets aléatoires τ

s

et les erreurs E

is

sont indépendants , pout tout i var iant de 1 à I et pour tout s var iant de 1 à S .

FrédéricBertrand

(4)

Relation fondamentale de l’ANO VA Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies . Nous utilisons les quantités SC

α

, SC

τ

, SC

R

, SC

TOT

déjà introduites au chapitre précédent. Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANO VA : SC

TOT

= SC

α

+ SC

τ

+ SC

R

ou encore qui peut s’écr ire dans ce conte xte : SC

TOT

= SC

Inter−sujets

+ SC

Intra−sujets

.

FrédéricBertrand

Tab leau de l’ANO VA Var iation SC ddl s

2

F

obs

F

c

Due au facteur α SC

α

I − 1 s

2 α

s

2 α

s

2 R

c Due au facteur τ SC

τ

S − 1 s

2 τ

s

2 τ

s

2 R

c Résiduelle SC

R

( I − 1 )( S − 1 ) s

2 R

Totale SC

TOT

IS − 1

Tests d’h yptohèses L’analyse de la var iance pour plans à mesures répétées per met deux tests de Fisher .

FrédéricBertrand

Premier test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

0

): α

1

= α

2

= ·· · = α

I

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

): Il existe i

0

∈ { 1 , 2 ,. .. , I } tel que α

i0

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

0

) précédente d’absence d’eff et du facteur α et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

α,obs

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à I − 1 et ( I − 1 )( S − 1 ) deg rés de liber té.

FrédéricBertrand

(5)

Premier test -Suite Nous concluons alors à l’aide de la p − valeur ,rejet si elle est infér ieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une tab le , rejet si la valeur F

α,obs

est supér ieure ou égale à la valeur cr itique issue de la tab le de Fisher . Lorsque l’h ypothèse nulle ( H

0

) est rejetée ,nous pouv ons procéder à des tests de compar aisons m ultiples des différents eff ets des niv eaux du facteur α .

FrédéricBertrand

Deuxième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

0

): σ

2 τ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

): σ

2 τ

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

0

) précédente d’absence d’eff et du facteur τ et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

τ,obs

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à S − 1 et ( I − 1 )( S − 1 ) deg rés de liber té.

Deuxième test -Suite Nous concluons alors à l’aide de la p − valeur ,rejet si elle est infér ieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une tab le , rejet si la valeur F

τ,obs

est supér ieure ou égale à la valeur cr itique issue de la tab le de Fisher . Remarque En fonction du conte xte et de la prob lématique posée ,v ous pourrez être amené à vous en ser vir .

Retour à l’e xemple -Sor tie av ec MINIT AB Analyse de la variance pour Relevés, avec utilisation de la somme des carrés ajustée pour les tests Source DL SomCar séq CM ajust F P Sujet 8 486,71 60,84 8,45 0,000 Semaine 4 2449,20 612,30 85,04 0,000 Erreur 32 230,40 7,20 Total 44 3166,31 S = 2,68328 R carré = 92,72 % R carré (ajust) = 89,99 %

FrédéricBertrand

(6)

Procédure de vér ification des conditions d’application

1

L’ad ditivité du modèle . Il est conseillé de tracer le nuage de points de la réponse en fonction du facteur ,et ce pour chaque sujet. Ce gr aphique per met de détecter si un ter me d’inter action doit être ajouté ou pas .

2

L’indépendance du facteur τ . Il n’e xiste pas de test. Il faut simplement s’assurer que tous les sujets sont tous indépendants .

3

La normalité du facteur τ . Nous pouv ons la vér ifier en calculant les quantités correspondantes .P our cela, il faut calculer et stoc ker les coefficients du modèle .

4

L’homogénéité des variances du facteur τ . Nous ne pouv ons pas év aluer cette hypothèse en l’absence de répétitions .

FrédéricBertrand

Vér ification des conditions

5

L’indépendance des erreur s. Il n’e xiste toujours pas de test.

6

La normalité des erreur s. Nous utiliserons la même procédure et donc le même test que dans les chapitres précédents .

7

L’homogénéité des variances des erreur s. Nous pouv ons la tester par rappor tau facteur à eff ets fix es et nous nous contentons de l’év aluer gr aphiquement pour le facteur à eff ets aléatoires .

Retour à l’e xemple

1

L’adidivité du modèle . Voir le gr aphique 1.

2

L’indépendance du facteur τ . D’après Ho w ell, les 9 sujets sont indépendants .

3

La normalité du facteur τ . Dans le cas présent, nous ne le ferons pas ,car le nombre de sujets est insuffisant.

4

L’homogénéité des variances du facteur τ . Nous ne pouv ons pas év aluer cette hypothèse en l’absence de répétitions au sein de chacun des patients .

Retour à l’e xemple -Suite et fin

5

L’indépendance des erreur s.

6

La normalité des erreur s. Voir le gr aphique 2.

7

L’homogénéité des variances des erreur s. Voir les gr aphiques 3 et 4.

FrédéricBertrand

(7)

Gr aphique 1

54321

30 25 20 15 10 5 0 Semaine

Re le vé s

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sujet

Nuage de points de Relevés et Semaine FrédéricBertrand

Gr aphique 2

7,55,02,50,0-2,5-5,0

99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 RESIDUELLE1

Po urc en ta ge

Moyenne1,144763E-15 EcTyp2,288 N45 RJ0,984 P>0,100

Diag. probab. de RESIDUELLE1 Normale FrédéricBertrand Introduction Répétitionssuivantlefacteurdel’ANOVA Répétitionssuivantundesdeuxfacteursdel’ANOVA Répétitionssuivantlesdeuxfacteursdel’ANOVA

Gr aphique 3

54321 876543210

Se m a in e

Intervalles de confiance de Bonferroni = 95 % pour les écarts types

Statistique de test6,77 Valeur de P0,149 Statistique de test0,86 Valeur de P0,494 Test de Bartlett Test de Levene

Test de l'égalité des variances pour RESIDUELLE1 FrédéricBertrand

Gr aphique 4

5 0 -5

531 5 0 -5 531

5 0 -5 531

1 Semaine

RE SID U EL LE 1

23 0 4 0

56 789 0

Nuage de points de RESIDUELLE1 et Semaine Variable du panneau : Sujet FrédéricBertrand

(8)

Analyse des résultats Afin d’étudier les eff ets de la relaxation sur la durée des mig raines ,9 par ticipants ont év alué la durée de leur mig raine pendant deux semaines consécutiv es av ant de suivre une thér apie de relaxation et puis pendant trois semaines au cours de leur thér apie . Une analyse de la var iance globale av ec mesures répétées révèle la présence d’une différence significativ e d’une semaine à l’autre (F(4,32)=85,04, P=0,000). La durée mo yenne pendant les semaines de rele vés de base est de 22,166 et descend à une mo yenne de 7,296 pendant les ex ercices ,ce qui correspond à une différence de 14,870. Nous voudr ions maintenant sa voir où résident ces différences statistiquement significativ es .

FrédéricBertrand

Contr astes linéaires Pour répondre à la der nière question, nous allons utiliser la méthode des contr astes linéaires .Nous allons contr aster les mo yennes de l’ensemb le des rele vés de base av ec celles de l’ensemb le des semaines d’e xercices .Les coefficients qui per mettent de faire cela sont donnés dans le tab leau ci-dessous : Sem. 1 Sem. 2 Sem. 3 Sem. 4 Sem. 5 Coefficient 1 / 2 1 / 2 − 1 / 3 − 1 / 3 − 1 / 3 Mo yenne 22 , 333 22 , 000 9 , 333 5 , 778 6 , 778

Réalisation pr atique du test des contr astes linéaires L

obs

= 1 2 × 22 , 333 + 1 2 × 22 , 000 − 1 3 × 9 , 333 − 1 3 × 5 , 778 − 1 3 × 6 , 778 = 14 , 870 . Calculons la statistique t du test : t

obs

= L

obs

s

Lobs

= 14 , 870 s 7 , 20 0 , 833 9

= 18 , 21 > 2 , 0369 . Le contr aste est significatif ,au seuil α = 5 % .

FrédéricBertrand

Ex emple issu du livre de K utner ,Nachtsheim, Neter et Li Une gr ande chaîne de distr ib ution nationale souhaite étudier l’eff et de deux campagnes pub licitaires (facteur A )sur l’év olution au cours du temps (facteur B )du volume des ventes de paires de chaussures d’athlétisme . 10 super marchés tests (sujet S )a yant des car actér istiques semb lab les ont été choisis au hasard pour être inclus dans cette étude . Les deux campagnes pub licitaires ( A

1

et A

2

)sont semb lab les à tout point de vue si ce n’est l’image du spor tif associé à la campagne .Les volumes de vente ont été rele vés à 3 repr ises pendant des pér iodes de 2 semaines ( B

1

= 2 semaines av ant le déb ut de la campagne , B

2

= 2 semaines pendant la campagne , B

3

= 2 semaines après la fin de la campagne .)

FrédéricBertrand

(9)

Ex emple issu du livre de K utner ,Nachtsheim, Neter et Li -Suite et fin L’e xpér ience a été menée pendant une pér iode de 6 semaines lors de laquelle le volume des ventes des paires de chaussures d’athlétisme est considéré comme stab le . Les données sont reproduites dans le tab leau qui va suivre . Elles sont representées dans la figure ci-dessous .Il ne semb le pas y av oir besoin d’inclure d’inter action entre les super marchés tests et les campagnes pub licitaires .

FrédéricBertrand

Tab leau des données Campagne Super marché A vant Pendant Après 1 1 958 1 047 933 1 2 1 005 1 122 986 1 3 351 436 339 1 4 549 632 512 1 5 730 784 707 2 1 780 897 718 2 2 229 275 202 2 3 883 964 817 2 4 624 695 599 2 5 375 436 351

FrédéricBertrand Introduction Répétitionssuivantlefacteurdel’ANOVA Répétitionssuivantundesdeuxfacteursdel’ANOVA Répétitionssuivantlesdeuxfacteursdel’ANOVA 3,02,52,01,51,0

1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200

3,02,52,01,51,0 1 Période

Vo lu m e

2 1 2 3 4 5

Supermarché

Nuage de points de Volume et Période Variable du panneau : Campagne FrédéricBertrand

Le modèle Le modèle statistique s’écr it de la façon suiv ante : Y

isj

= µ + α

i

+ τ

s(i)

+ β

j

+ ( α β )

ij

+ E

isj

av ec i = 1 ,. .. , I , s = 1 ,. .. , S , j = 1 ,. .. , J av ec les contr aintes supplémentaires :

I

X

i=1

α

i

= 0 ,

J

X

j=1

β

j

= 0 ,

I

X

i=1

( α β )

ij

= 0 ,

J

X

j=1

( α β )

ij

= 0 pour tout i , j et où Y

isj

est la valeur pr ise par la réponse Y dans les conditions ( α

i

,β

j

) pour le s − ème sujet. Nous notons n = I × S × J le nombre total de mesures ay ant été eff ectuées .

FrédéricBertrand

(10)

Conte xte Un facteur contrôlé α se présente sous I modalités , chacune d’entre elles étant notée α

i

. Les τ

s(i)

représentent un échantillon de taille S préle vé dans une population impor tante .Nous admettrons que les eff ets des τ

s(i)

sont distr ib ués suiv ant une loi nor male centrée de var iance σ

2 τ|α

. Un facteur contrôlé β se présente sous J modalités , chacune d’entre elles étant notée β

j

.

FrédéricBertrand

Conditions liées à ce type d’analyse Nous supposons que les eff ets aléatoires τ

s(i)

sont indépendants L τ

s(i)

= N ( 0 ,σ

2 τ|α

) , pour tout s var iant de 1 à S .

Conditions classiques de l’ANO VA Nous postulons les hypothèses classiques de l’ANO VA pour les var iab les erreurs E

isj

: les erreurs sont indépendantes les erreurs ont même var iance σ

2

inconn ue les erreurs sont de loi gaussienne . Ajout d’une condition Nous ajoutons l’indépendance des eff ets aléatoires τ

s(i)

et des erreurs E

isj

.

Relation fondamentale de l’ANO VA Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies . Nous utilisons les quantités SC

α

, SC

τ|α

, SC

β

, SC

αβ

SC

R

, SC

TOT

déjà introduites au chapitre précédent. Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANO VA : SC

TOT

= SC

α

+ SC

τ|α

+ SC

β

+ SC

αβ

+ SC

R

.

FrédéricBertrand

(11)

Tab leau de l’ANO VA Var iation SC ddl s

2

F

obs

F

c

Due au fact. α SC

α

I − 1 s

2 α

s

2 α

s

2 τ|α

c Due au fact. τ SC

τ|α

I ( S − 1 ) s

2 τ|α

s

2 τ|α

s

2 R

c dans α Due au fact. β SC

β

J − 1 s

2 β

s

2 β

s

2 R

c Due à l’inter . SC

αβ

( I − 1 )( J − 1 ) s

2 αβ

s

2 αβ

s

2 R

c Résiduelle SC

R

I ( S − 1 )( J − 1 ) s

2 R

Totale SC

TOT

n − 1

FrédéricBertrand

Tests d’h yptohèses L’analyse de la var iance à 2 facteurs av ec mesures répétées sur l’un des deux facteurs per met quatre tests de Fisher .

Premier test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

0

): α

1

= α

2

= ·· · = α

I

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

): Il existe i

0

∈ { 1 , 2 ,. .. , I } tel que α

i0

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

0

) précédente d’absence d’eff et du facteur α et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

α,obs

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à I − 1 et I ( S − 1 ) deg rés de liber té.

Premier test -Suite Nous concluons alors à l’aide de la p − valeur ,rejet si elle est infér ieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une tab le , rejet si la valeur F

α,obs

est supér ieure ou égale à la valeur cr itique issue de la tab le de Fisher . Lorsque l’h ypothèse nulle ( H

0

) est rejetée ,nous pouv ons procéder à des tests de compar aisons m ultiples des différents eff ets des niv eaux du facteur α .

FrédéricBertrand

(12)

Deuxième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

0

): σ

2 τ|α

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

): σ

2 τ|α

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

0

) précédente d’absence d’eff et du facteur τ dans le facteur α et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

τ|α,obs

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à I ( S − 1 ) et I ( S − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

FrédéricBertrand

Remarque En fonction du conte xte et de la prob lèmatique posée ,v ous pourrez être amené à vous en ser vir .

Troisième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

0

): β

1

= β

2

= ·· · = β

J

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

): Il existe j

0

∈ { 1 , 2 ,. .. , J } tel que β

j0

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

0

) précédente d’absence d’eff et du facteur β et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

β,obs

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à J − 1 et I ( S − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

Troisième test -Suite Nous concluons alors à l’aide de la p − valeur ,rejet si elle est infér ieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une tab le , rejet si la valeur F

β,obs

est supér ieure ou égale à la valeur cr itique issue de la tab le de Fisher . Lorsque l’h ypothèse nulle ( H

0

) est rejetée ,nous pouv ons procéder à des tests de compar aisons m ultiples des différents eff ets des niv eaux du facteur β .

FrédéricBertrand

(13)

Quatr ième test Nous testons l’h ypothèse nulle ( H

0

): ( α β )

11

= ·· · = ( α β )

IJ

= 0 contre l’h ypothèse alter nativ e ( H

1

): Il existe ( i

0

, j

0

) ∈ { 1 ,. .. , I } × { 1 ,. .. , J } tq ( α β )

i0j0

6 = 0. Sous l’h ypothèse nulle ( H

0

) précédente d’absence d’eff et du facteur α β et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées , F

αβ,obs

est la réalisation d’une var iab le aléatoire qui suit une loi de Fisher à ( I − 1 )( J − 1 ) et I ( S − 1 )( J − 1 ) deg rés de liber té.

FrédéricBertrand

Retour à l’e xemple -Sor tie av ec MINIT AB Analyse de la variance pour Volume, avec utilisation de la somme des carrés ajustée pour les tests Sour. DL SC séq CM ajust F P Cam. 1 168151 168151 0,73 0,417 Sup. (Cam.) 8 1833681 229210 640,31 0,000 Pér. 2 67073 33537 93,69 0,000 C. * P. 2 391 196 0,55 0,589 Err. 16 5727 358 Tot. 29 2075023 S = 18,9200 R carré = 99,72 % R carré (ajust) = 99,50 %

Procédure de vér ification des conditions d’application -Retour à l’e xemple

1

L’adidivité du modèle . Voir le gr aphique 1.

2

L’indépendance du facteur « Supermar ché ». D’après K utner e tal., les 10 super marchés sont indépendants .

3

La normalité du facteur « Supermar ché ». Dans le cas présent, nous ne le ferons pas ,car le nombre de super marchés est insuffisant.

4

L’homogénéité des variances du facteur « Supermar ché ».

Retour à l’e xemple -Suite et fin

5

L’indépendance des erreur s.

6

La normalité des erreur s. Voir le gr aphique 2.

7

L’homogénéité des variances des erreur s. Voir les gr aphiques 3 et 4.

FrédéricBertrand