2) Montrer que la série de Fourier

MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris

1/2 09/01/2020

Feuille 12

Exercice 1.

On considère la fonction périodique de période 2𝜋, paire, et qui satisfait la relation :

𝑓(𝑡) = 𝑡² pour 𝑡 ∈ [0, 𝜋]

1) Dessiner le graphe de 𝑓(𝑡).

2) Montrer que la série de Fourier 𝑆_𝑓(𝑡) de la fonction 𝑓 s’écrit : 𝑆_𝑓(𝑡) = 𝜋²

3 + 4 ∑(−1)^𝑛

𝑛² 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)

∞

𝑛=1

3) Etudier la convergence normale, uniforme et simple de cette série de Fourier.

4) Calculer les sommes suivantes :

∑ 1 𝑛²

+∞

𝑛=1

∑(−1)^𝑛+1 𝑛²

+∞

𝑛=1

5) A l’aide de la formule de Bessel-Parseval, calculer la somme suivante :

∑ 1 𝑛⁴

+∞

𝑛=1

Exercice 2.

On considère la fonction périodique de période 2𝜋, paire, et qui satisfait la relation :

𝑓(𝑡) = 𝑡 pour 𝑡 ∈ [−𝜋, 𝜋[

1) Dessiner le graphe de 𝑓(𝑡).

2) Montrer que la série de Fourier 𝑆_𝑓(𝑡) de la fonction 𝑓 s’écrit :

MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris

2/2 𝑆_𝑓(𝑡) = 2 ∑(−1)^𝑛+1

𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑡)

∞

𝑛=1

3) Etudier la convergence uniforme et simple de cette série de Fourier.

4) Calculer les sommes suivantes :

∑ (−1)^𝑛 2𝑛 + 1

+∞

𝑛=1

∑ 1 𝑛²

+∞

𝑛=1

Exercice 3.

1) Montrer que la matrice 𝐴 suivante est nilpotente :

𝐴 = (

0 2 3 0 0 −1 0 0 0

)

2) Exprimer la matrice 𝐵 suivante en fonction de la matrice 𝐴 et de la matrice Identité 𝐼:

𝐵 = (

2 2 3 0 2 −1 0 0 2

)

3) Au moyen de la formule du binôme de Newton, donner l’expression de 𝐵^𝑛. Calculer 𝐵⁴.