MPSI B Année 2019-2020. DS 5 le 24/01/20 24 janvier 2020

MPSI B Année 2019-2020. DS 5 le 24/01/20 24 janvier 2020

Exercice

Soit p ≥ 4 entier et a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

réels. Pour tout k ∈ J 1, p K, on note

σ

k

= X

(i₁,···,i_k)∈J1,pK

k

i1<i2<···<ik

a

i₁

a

i₂

· · · a

i_k

, S

k

= X

i∈J1,pK

a

ik

.

1. Question de cours. Soit n ∈ N

^∗

.

a. Former et justier (sans utiliser de formule de Taylor) les développements limités à l'ordre n en 0 des fonctions x 7→

_1−x¹

et x 7→ ln(1 + x) .

b. Pour tout a ∈ R, en déduire ceux de x 7→

_1−ax¹

et x 7→ ln(1 + ax) .

2. On dénit

¹

une fonction P par : ∀x ∈ R , P (x) = (1 + a

₁

x)(1 + a

₂

x) · · · (1 + a

_p

x) . a. Former le développement limité à l'ordre 4 en 0 de P .

b. Pourquoi la fonction ln ◦P est-elle dénie au voisinage de 0 ? En utilisant la ques- tion précédente, former le développement limité à l'ordre 4 en 0 de ln ◦P . (La justication et la présentation de la composition seront évaluées.) c. Exprimer S

₁

, S

₂

, S

₃

, S

₄

en fonction de σ

₁

, σ

₂

, σ

₃

, σ

₄

.

Problème

Pour tout x ∈ R, les entiers bxc et dxe sont dénis par

bxc ∈ Z , dxe ∈ Z , bxc ≤ x < bxc + 1, dxe − 1 < x ≤ dxe.

Dans tout le problème

²

: (p, q) ∈ N

^∗2

avec p impair et p ∧ q = 1 . On note :

s(p, q) = X

j∈

[

^0,p2

[

^∩Z

jq p

.

Partie 1. Sommes.

1. Transformation d'Abel.

Soit m ∈ N

^∗

et u

₀

, u

₁

, · · · , u

_m

, v

₀

, v

₁

, · · · , v

_m−1

réels. Montrer que

m−1

X

r=0

(u

_r+1

− u

_r

)v

_r

= −u

₀

v

₀

+

m−1

X

r=1

u

_r

(v

_r−1

− v

_r

) + u

_m

v

_m−1

.

1D'après Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming vol 1, p 92-93

2D'après Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming vol 1, p 43-45

2. Intervalles et parties entières.

a. Soit x réel. Montrer que dxe = min {k ∈ Z , tq x ≤ k} .

b. En déduire que [a, b[ ∩ Z = J dae, dbe − 1 K pour a , b réels tels que a < b . c. Soit r ∈ N. Montrer que

Card

j ∈ Z tq jq p

= r

=

(r + 1)p q

− rp

q

.

d. Montrer que s(p, q) = P

j∈J0,^p−1₂ K

j

jq p

k . 3. Montrer que

s(p, 2q) − s(p, q) = X

j∈

]

^0,p₂

[

^jimpair

(q − 1) − 2 jq

p

.

En déduire que q impair entraine s(p, q) ≡ s(p, 2q) mod (2) . 4. a. Montrer que

jq p

, j ∈ h 0, p

2 h ∩ Z

⊂ h 0, q

2 h ∩ Z .

b. En utilisant la question 2.c., montrer que s(p, q) = −





 X

r∈

[

^0,q₂

]

∩Z

rp q





 + p

q l q

2 m

l q 2

m − 1 .

5. On suppose ici p < q avec q impair et on rappelle que p ∧ q = 1 . a. Montrer que

^p−1₂

<

^p(q+1)_2q

<

^p+1₂

. En déduire d

^p(q+1)_2q

e . b. Montrer que q ne divise pas rp pour r ∈ J 1,

^q−1₂

K. En déduire

s(p, q) + s(q, p) = (p − 1)(q − 1)

4 .

Partie 2. Arithmétique.

Dans cette partie, p est premier (toujours impair) et q premier avec p . Pour x ∈ N on note r

_p

(x) le reste de la division euclidienne de x par p .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1905E

MPSI B Année 2019-2020. DS 5 le 24/01/20 24 janvier 2020

1. On dénit une fonction µ de J 1, p − 1 K dans J 0, p − 1 K par :

∀k ∈ J 1, p − 1 K , µ(k) = r

_p

(qk).

Montrer que µ est à valeurs dans J 1, p − 1 K et dénit une bijection de cet ensemble dans lui même.

2. On dénit une fonction ϕ de J 1,

^p−1₂

K dans J −(p − 1), p − 1 K par :

∀k ∈ J 1, p − 1

2 K , ϕ(k) = (−1)

^{b2kqp c}

r

_p

(2kq).

Montrer que ϕ est injective.

3. Soit k ∈ J 1,

^p−1₂

K. On rappelle que p est impair dans tout le problème.

a. On sait que r

p

(2kq) désigne le reste de la division de 2kq par p . Comment s'ex- prime le quotient de cette division ?

b. Montrer que b

^2kq_p

c ≡ r

_p

(2kq) mod (2) . c. En déduire r

p

(ϕ(k)) ≡ 0 mod (2) . 4. On note ψ = r

p

◦ ϕ .

a. Soit v et v

⁰

tels que −p < v < v

⁰

< p et v ≡ v

⁰

mod (p) . Montrer que v

⁰

= v + p . En déduire v 6≡ v

⁰

mod (2) . b. Montrer que ψ est une bijection de J 1,

^p−1₂

K dans D =

2v, v ∈ J 1,

^p−1₂

K .

Partie 3. Réciprocité quadratique.

On suppose p premier impair et q premier avec p . 1. Produit et µ .

a. Montrer que (p − 1)! ≡ q

^p−1

(p − 1)! mod (p) .

b. En déduire le petit théorème de Fermat : q

^p−1

≡ 1 mod (p) . 2. Produit et ψ .

a. Montrer que

(−1)

^s(p,2q)

(2q)

^p−12

( p − 1

2 !) ≡ (2)

^p−12

( p − 1

2 !) mod (p).

b. En déduire (−1)

^s(p,2q)

≡ q

^p−12

mod (p) .

3. Carrés et résidus quadratiques.

Un entier x est appelé résidu quadratique modulo p si et seulement si il existe y ∈ Z tel que x ≡ y

²

mod (p) . On note Q

p

l'ensemble des résidus quadratiques dans J 1, p − 1 K.

a. Exemple avec p égal à 3 ou 5 . Préciser Q

3

et Q

5

. b. On dénit une relation binaire C dans J 1, p − 1 K par :

∀(v, w) ∈ J 1, p − 1 K

2

, v C w ⇔ v

²

≡ w

²

mod (p).

Montrer que C est une relation d'équivalence, que les classes d'équivalence sont des paires à préciser. En déduire Card Q

p

=

^p−1₂

.

c. Montrer que q ∈ Q

_p

⇒ q

^p−12

≡ 1 mod (p) . On admet la réciproque de sorte que q ∈ Q

p

⇔ q

^p−12

≡ 1 mod (p).

4. On dénit le symbole de Legendre

q p

par :

q p

=

( 1 si q est un résidu quadratique modulo p.

−1 si q n'est pas un résidu quadratique modulo p.

Montrer que

_q

p

= (−1)

^s(p,2q)

.

5. Loi de réciprocité quadratique. Soit p et q premiers impairs distincts.

a. Montrer que

_q

p

= (−1)

^s(p,q)

. b. Montrer que

q p

p q

= (−1)

^{(p−1)(q−1)4}

. 6. Application. Soit p > 3 un nombre premier (donc impair).

a. Montrer que

^p₃

= 1 ⇔ p ≡ 1 mod (6) . b. Montrer que

−3 p

= 1 ⇔ p ≡ 1 mod (6) .

c. Soit p

1

, p

2

, · · · , p

s

des nombres premiers congrus à 1 modulo 6 et n = 1 + 12 × (p

1

p

2

· · · p

s

)

²

.

Montrer que les diviseurs premiers de n sont congrus à 1 modulo 6. Que peut-on en déduire ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai S1905E