MPSI B DM 15 24 avril 2020
Soitβ∈R∗ etn∈N∗, on dénit la puissance factorielle montante 1 par : β0= 1, βn=β(β+ 1)· · ·(β+n−1) (produit de nfacteurs) 1. a. Simplierβk+1+j−(β+k)βk+j.
b. Soitj ≥i, exprimer ββji comme une puissance factorielle montante.
2. Soientm∈Net p∈N∗, on dénit :
∆(m, p, β) = la matricep×pdont le termek, l estβm+k+l−2 P(m, p, β) = la matricep×pdont le termek, l estβm+k+l−2 δ(m, p, β) = det(∆(m, p, β))
a. Calculerδ(m,1, β)etδ(1,3,1).
b. On noteL1,· · · , Lp les lignes de la matrice∆(m, p, β).
Pourkentre1etp−1, quel est le réelλpour lequel le premier terme de la ligne Lk+1−λLk est nul ? Préciser le reste de cette ligne.
c. Former une relation entreδ(m, p, β)etδ(m+1, p−1, β). En déduire une expression deδ(m, p, β)avec des factorielles et des puissances factorielles montantes.
d. Calculerdet(P(m, p, β)).
3. Soientp∈N∗ etβ1,· · ·βp des réels deux à deux distincts, on dénit : V(β1,· · ·, βp) = la matricep×pdont le termek, lest βlk−1 v(β1,· · ·, βp) = det(V(β1,· · · , βp))
Calculerv(β1,· · · , βp).
1d'après Mathématiques concrètes Graham, Knuth, Patashnik
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0615E
