Chapitre 1 INTRODUCTION

(1)

Chapitre 1 INTRODUCTION

Ce cours expose les méthodes générales de calcul des sollicitations et des dé- placements des structures hyperstatiques. Il consacre également une large place aux problèmes isostatiques jugés nécessaires à la bonne clarté de l'exposé. Les méthodes particulières classiques sont également présentées afin de donner à l'étudiant des moyens de calcul pratiques mais aussi rigoureux que possible. Ce chapitre est consacré à des rappels.

1.1 CLASSIFICATION DES CORPS - NOTION DE POUTRE Les corps qu'on rencontre et qu'on sera

amené à étudier peuvent être classer en fonction de leurs dimensions. On distingue : a) Les poutres (ou barres) :

Une dimension est beaucoup plus grande que les deux autres qui sont de même ordre de grandeur.

La poutre est l'élément le plus répandu en construction. Les poutres sont associées, entre elles ou à d'autres types d'éléments pour constituer des systèmes ou structures.

DEFINITION : une poutre est un solide engendré par une aire plane (Σ^{) dont le} centre de gravité décrit une courbe G₁G₂. Le plan P contenant Σ restant normal à la courbe G₁G₂ (Figure 1.1).

Section : l'aire Σ est appelée section droite, ou plus simplement section de la poutre.

Fibre : le volume engendré par un élément dΣ de l'aire Σ est désigné par fibre de la poutre.

Fibre moyenne : la courbe G₁G₂ est appelée fibre moyenne ou axe moyen de la poutre. C'est le lieu géométrique des centres de gravité des sections de la poutre.

Figure 1.1 P

G1

G2

Σ

dΣ

(2)

Poutre gauche : c'est une poutre dont la fibre moyenne est une courbe gauche.

Poutre plane : il s'agit d'une poutre dont la fibre moyenne est une courbe plane (c'est-à-dire contenue dans un plan).

Poutre droite : lorsque la fibre moyenne d'une poutre plane est un segment de droite, on parle de poutre droite.

Poutre à plan moyen : c'est une poutre possédant un plan de symétrie qui con- tient la fibre moyenne. Ce plan est désigné par plan moyen.

Les poutres à plan moyen chargées dans ce plan se rencontrent fréquemment et constituent un des problèmes essentiels traités par la Résistance des Maté- riaux.

Nous avons supposé la section Σ constante et dans ce cas la poutre est dite à section constante ou poutre prismatique. Il arrive aussi qu'on soit amené, généra- lement pour des raisons d'économie, à choisir des sections variables ; on parle dans ce cas de poutre à section variable.

b) Les plaques, coques et membranes :

Il s'agit de corps dont deux dimensions, de même ordre de grandeur, sont beaucoup plus grandes que la troisième (Figures 1.2a et 1.2b). Ces types d'élé- ments ne sont pas traités ici.

c) Les poutres à parois minces ou poutres coques :

Les trois dimensions sont significatives et aucune n'est faible comparative- ment aux autres (Figure 1.2c).

1.2 SYSTEMES ET CHARGES CONSIDERES

Les systèmes qui seront considérés dans ce cours seront constitués de poutres isolées ou de poutres reliées les unes aux autres. Les poutres peuvent être assem- blées de façon rigide (ex. portiques) ou de manière à permettre certaines possibi- lités de déplacement - degrés de liberté - (ex. systèmes articulés).

Les poutres (ou plus exactement leurs axes moyens), les charges extérieures et les réactions des appuis des systèmes étudiés dans ce cours seront générale- ment situées dans un même plan. Dans ce cas, on dit qu'on a affaire à des sys- tèmes plans.

Les charges qui sollicitent les systèmes comprennent : - le poids propre (action de la pesanteur),

- les forces et les couples concentrés,

(a) (b) (c)

Figure 1.2

(3)

I n t r o d u c t i o n 3

- les forces et les couples répartis.

Il faut signaler qu'on entend par force concentrée une force répartie sur une petite surface (ex. action d'une roue).

Par ailleurs, les charges sont supposées être appliquées lentement, de zéro à leur valeur finale. On dit dans ce cas que les charges sont appliquées statique- ment.

Enfin, nous supposerons que les charges extérieures sont directement appli- quées aux fibres moyennes des poutres. Sous cette hypothèse, les poutres peuvent être représentées par leurs axes moyens.

1.3 APPUIS DES SYSTEMES PLANS

Les systèmes sont reliés à l'extérieur par des liaisons appelées appuis, et où apparaissent des réactions qui réagissent à l'action des forces appliquées. Les réactions et les charges exercées constituent un système de forces en équilibre, car les constructions que nous considérons sont toujours en équilibre.

La classification des appuis se fait d'après le nombre de degrés de liberté (ddl) (c'est-à-dire les possibilités de mouvement) qu'ils laissent au système et d'après la nature des réactions qu'ils peuvent exercer sur lui.

a) L'appui simple (Figure 1.3) Il a deux degrés de liberté : - la rotation autour de l'appui,

- la translation parallèlement au support de l'appui.

La réaction est connue par son point d'application (point de contact du sys- tème avec l'appui) et par sa direction (elle est perpendiculaire au support). Seule l'intensité reste à déterminer.

En résumé, l'appui simple se caractérise par : 2 degrés de liberté et 1 composante de réaction. La figure 1.3a montre le principe de fonctionnement de l'appui simple. Les figures b, c et d indiquent les représentations courantes. La représen- tation adoptée ici est celle de la figure d.

b) L'appui double (Figure 1.4)

Il a un seul degré de liberté, la rotation autour de l'appui. Toute translation est par contre empêchée.

Dans ce cas, la réaction de l'appui est connue uniquement par son point d'ap- plication, le point de contact du système avec l'appui (point A) (la ligne d'action

A

R A

→

(b) (c) (d)

(a)

Figure 1.3 : l'appui simple.

(4)

de la réaction passe par A). La réaction est décomposée suivant deux directions perpendiculaires et les deux composantes sont à déterminer. L'appui double présente donc 1 degré de liberté et 2 composantes de réaction.

c) L'encastrement (Figure 1.5)

Il n'a aucun degré de liberté. Tout dé- placement est empêché. La réaction est un vecteur pouvant occuper n'importe quelle position du plan. On peut toutefois dé- composer la réaction en 3 composantes : - deux composantes suivant deux di-

rections perpendiculaires et passant par A,

- un couple appliqué en A.

En définitive, l'encastrement se caractérise par : 0 degré de liberté et 3 composantes de réaction.

d) Appui déformable - Appui élastique

Un appui qui peut subir un déplacement dans la direction d'une composante de réaction est dit déformable (ex. sol compressible).

Si le déplacement est proportionnel à la composante de réaction qui l'a pro- voqué, l'appui déformable est dit élastique.

1.4 PRINCIPE GENERAL D'ÉQUILIBRE - ÉQUATIONS D’ÉQUILIBRE Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système soit en équilibre sont :

a) les sommes des projections de toutes les forces sur 3 axes passant par un point quelconque et non situés dans un même plan doivent être nulles,

b) les sommes des moments par rapport à chacun des trois axes doivent être nulles.

Pour une construction (structure), la vérification de ces conditions signifie qu'elle ne peut se déplacer comme un tout (corps rigide), autrement dit elle est en équilibre.

R A

→ R A

→ A

Art. métallique

Art. de Freyssinet

Représentation adoptée

Figure 1.4 : l'appui double.

RA

→

Représentation

Figure 1.5 : l'encastrement

CA

(5)

Soient oxyz un repère trirectangle et Fx, Fy et Fz les projections sur les axes ox, oy et oz d'une force quelconque. Les conditions d'équilibre (a) et (b) s'écri- vent (cas général) :

Σ Σ

F M

x x

y y

z z

= =

0 0

/ / /

(1.1)

Les équations (1.1) sont appelées équations d'équilibre de la statique ou six équations universelles d'équilibre.

Dans le cas d'un système plan, xy par exemple, le système d'équations (1.1) se réduit à :

ΣF_x=0 ΣF_y =0 ΣM/∆=0 (1.2) où ∆ est un axe quelconque perpendiculaire au plan xy.

Notons que les équations d'équilibre de la statique sont écrites en travaillant sur la configuration initiale du système, c'est-à-dire non déformée ; autrement dit les déformations sont négligées.

1.5 PRINCIPE DE LA COUPE - ÉLEMENTS DE RÉDUCTION

Considérons la poutre chargée représentée à la figure 1.6. Le corps étant en équilibre sous l'action des charges extérieures et des réactions (supposées con- nues), chaque partie de ce corps se trouve également en équilibre.

Pratiquons (par l'esprit) une coupe dans la poutre suivant le plan vertical yz, de manière à avoir deux tronçons. Intéressons-nous par exemple à la partie de gauche. Le tronçon considéré est en équilibre sous l'action des sollicitations qui lui sont appliquées, des composantes de réaction de l'appui A et de l'action du tronçon de droite supprimé.

L'action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche peut être remplacée par : une force résultante R (R_x, R_y et R_z) et un couple résultant C (C_x, C_y et C_z) agissant au centre de gravité de la section ΣΣΣΣ. Les six composantes représentant l'action de la partie de droite sur la partie de gauche peuvent être déterminées à l'aide des équations de la statique exprimant l'équilibre de la partie considérée (3 équations d'équilibre de translation et 3 équations d'équilibre de rotation).

R F F F

C C C C

x x y y z z

= = =

Σ Σ Σ

R R C C

/ / / (1.3)

A

z

x

y B

Σ

Figure 1.6

(6)

Les composantes Rx, Ry, Rz, Cx, Cy et Cz s'appellent éléments de réduction (réduction de toutes les forces à droite de la section Σ) dans la section Σ^{de la} poutre considérée. En RDM, on utilise plutôt les notations N_x, T_y, T_z, M_t, M_y et M_z qui désignent l'effort normal (N_x), les efforts tranchants (T_y et T_z), le moment de torsion (M_t) et les moments fléchissants (M_y et M_z). Les composantes R_x, R_y, R_z, C_x, C_y, C_z et les grandeurs N_x, T_y, T_z, M_t, M_y et M_z ne diffèrent que par le signe.

Les composantes R_x, R_y, R_z, C_x, C_y et C_z sont positives si elles sont orientées dans les sens positifs des axes x, y et z du trièdre direct xyz (Figures 1.7b et 1.7c).

Par contre, pour N_x, T_y, T_z, M_t, M_y et M_z nous adopterons des conventions de signes particulières (§ 1.6) pour des raisons pratiques qui apparaîtront plus loin (Figures 1.7b et 1.7d).

La composante Nx (Rx) agit normalement à la section ; quant aux efforts Ty et T_z (R_y et R_z), ils s'exercent tangentiellement (transversalement) à la section.

La composante M_t s'appelle moment de torsion (C_x couple de torsion), car il tord la poutre. Convenons tout de suite de considérer un moment de torsion comme positif s'il tend à faire tourner la section considérée dans le sens horlogique.

Les deux dernières composantes, M_y et M_z, sont appelées moments de flexion (C_y et C_zcouples de flexion), car ils fléchissent la poutre. La seule différence entre les moments et les couples de flexion réside comme on l'a souligné dans la convention des signes (Figure 1.7). Les couples C_y et C_z sont positifs s'ils sont orientés dans les sens positifs des axes y et z du trièdre direct xyz. Pour les mo- ments M_y et M_z, on a l'habitude de les considérer comme positifs si les centres de courbure de la poutre fléchie sont du côté des z négatifs pour M_y et du côté des y négatifs pour M_z.

Ceci nous amène à préciser les conventions de signes que nous utiliserons.

Mais auparavant, remarquons que dans le cas d'un système plan, xy par exemple, les éléments de réduction se réduisent à : un moment fléchissant (M = M_z), un effort tranchant (T = T_y) et un effort normal (N = N_x).

Enfin, il convient de noter que si on avait gardé le tronçon de droite et sup- primé celui de gauche, on aurait trouvé dans la section des éléments de réduction de même intensité et de même nature que ceux trouvés en considérant le tronçon de gauche. Il serait absurde en effet de trouver dans la même section des sollicitations différentes selon qu'on la regarde de la gauche ou qu'on la regarde de la droite.

Ry=Ty

Rx=Nx

Tz=-Rz

Rz

z x y

Cz

Cx

Cy

Mt=-Cx

My=Cy

Mz=-Cz

(c) (d) (b)

(a)

Figure 1.7

(7)

1.6 DEFINITIONS ET CONVENTIONS DES SIGNES DE N, T, M

Considérons un système, de préférence plan pour plus de clarté, constitué par une poutre prismatique (Figure 1.8).

1.6.1 Effort normal

D'après ce qu'on vient de voir (relations 1.3 notamment), l'effort normal N dans la section Σ est égal à la somme algébrique des projections sur l'axe des x de toutes les forces (charges extérieures et réactions d'appui) agissant sur le tronçon à gauche de Σ^(*).

N =ΣF^cosα (1.4a) Un effort normal exerçant une traction sur la section étudiée sera considéré comme positif.

1.6.2 Effort tranchant

L'effort tranchant T dans la section Σ est égal à la somme algébrique des pro- jections sur l'axe des y de toutes les forces agissant sur la partie de la poutre située à gauche de la section Σ^(*).

T=ΣF^sinα (1.4b) Nous conviendrons de considérer un effort tranchant comme positif s'il a ten- dance à faire tourner la section Σ dans le sens horlogique.

1.6.3 Moment fléchissant

Le moment fléchissant M dans la section Σ est égal à la somme algébrique des moments créés dans cette section par toutes les sollicitations agissant sur le tronçon à gauche de Σ^(*).

M =ΣC+ΣFd^sinα (1.4c) où C et d représentent un couple concentré courant et le bras de levier de la com- posante transversale de la force courante F.

_____________________________________

(*) Nous avons considéré le tronçon à gauche de Σ mais il est bien évident qu'on obtiendrait des efforts de même intensité et de même nature si on considérait le tronçon situé à droite de la section étudiée.

Figure 1.8 α F

(Σ)

N T M

(8)

Un moment fléchissant qui provoque des tractions dans les fibres inférieures d'une poutre horizontale sera considéré positif. Dans le cas des pièces obliques ou verticales, on peut considérer comme positif un moment qui tend les fibres de gauche.

1.7 DIAGRAMMES N, T, M

La construction des diagrammes des éléments de réduction constitue une étape essentielle dans toute étude de RDM. Un diagramme est un graphe qui indique la valeur (intensité et nature) de la sollicitation considérée dans toutes les sections du système étudié. Ils sont tracés à partir des relations (1.4).

Les diagrammes des éléments de réduction permettent de localiser les sections les plus sollicitées (sièges des contraintes les plus élevées) et servent au dimension- nement des différents éléments des structures.

Dans la construction des diagrammes, les valeurs positives et négatives sont portées de part et d'autre d'un axe-origine. Par ailleurs, pour le diagramme du moment fléchissant, on a pour habitude de porter les ordonnées toujours du côté des fibres tendues.

Pour éviter tout risque de mauvaise interprétation des diagrammes, il est vivement recom- mandé d'ajouter dans chaque aire des diagrammes les précisions suivantes :

- diagramme de N : la lettre C ou T, selon qu'il s'agisse d'un effort de compression ou d'un effort de traction.

- diagramme de T : le sens de la rotation provoquée par l'effort (voir dia- gramme de T).

- diagramme de M : on peut ajouter un arc pour préciser le sens de la courbure provoquée par le moment (voir diagramme de M).

F=5 2t A

2m 1m 2m

5t 5t 5tm

C=5tm 45°

H=5t

RA=4t RA=1t

N

T

M

1t

2 8 7

Figure 1.9

4t

(9)

1.8 RELATIONS CONTRAINTES-EFFORTS Nous avons vu que les éléments

de réduction dans une section repré- sentent l'action sur la partie de la poutre située d'un côté de cette section, des forces qui s'exercent sur l'autre partie. Ceci ne veut nullement dire que la section considérée soit soumise à des sollicitations (N - T - M - M_t) concentrées en son centre de gravité (ou ailleurs). A l'intérieur d'un corps il n'y a pas d'efforts concentrés, mais uniquement des contraintes dont la sommation est équivalente aux éléments de réduction.

Les relations entre les efforts et les contraintes se déduisent facilement (Fi- gure 1.10).

N_x =

∫

_Σ^{σ Σ}_xd

T_y =

∫

_Σ^τ_xyd^Σ^T^z ⁼

∫

_Σ^τ^xz^d^Σ (1.5) M_z =

∫

_Σ^σ_xyd^Σ^M^y ⁼

∫

_Σ^σ^x^zd^Σ^M^t ⁼

∫

_Σ⁽^τ^xz^y⁺^τ^xy^{z d}⁾ ^Σ (1.6)

1.9 RELATIONS DIFFERENTIELLES ENTRE q, T ET M

Considérons par exemple une poutre droite symétrique chargée dans son plan de symétrie (mais non soumise à une répartition de moments toutefois) et isolons par deux section (Σ1 et Σ2) un

tronçon dx sur lequel agit une charge répartie transversale q (Figure 1.11).

Sur le tronçon dx, les gran- deurs T et M subissent les va- riations dT et dM. L'équilibre du tronçon est régi par les équations de la statique.

L'équation d'équilibre de translation verticale s'écrit :

Σ^Fv = 0 d'où on tire : q = - dT/dx (1.7a) A partir de l'équation de l'équilibre de rotation, on obtient :

Σ^M/o = 0 d'où on tire : T = dM/dx (1.7b) et d'après (1.7a) :

q = - d²M/dx² (1.7c) Les relations (1.7) permettent de tirer quelques enseignements qui facilitent la construction et le contrôle des diagrammes de T et de M. On peut en déduire essentiellement :

Figure 1.10 Σ

z

x

y τxz

τxy

σx

Σ1 Σ2

q M

T

dx

M+dM

T+dT

Figure 1.11

O

(10)

1- L'effort tranchant est la tangente de l'angle formé par la tangente au dia- gramme de M au niveau de la section considérée et l'axe longitudinal de la poutre. De même, la valeur absolue de la charge répartie représente la tan- gente de l'angle formé par la tangente au diagramme de T et l'axe longitudi- nal de la poutre.

2- Là où T est nul, M a une valeur extrémale.

3- Là où T passe par la valeur zéro de façon discontinue, le diagramme de M perd son allure monotone (voir figure 1.9).

4- Là où T subit un saut mais sans passer par zéro, le diagramme de M présente un point anguleux (M change de pente).

5- La variation de M sur un tronçon donné est égale à l'aire du diagramme de T sur ce tronçon.

6- La concavité du diagramme de M est tournée dans le sens contraire de la charge q.

7- Le diagramme de T doit se refermer (en partant de l'extrémité gauche). Ce corollaire exprime la nullité de la résultante des forces et permet en même temps de retrouver les forces localisées.

8- Le diagramme de M d'un système symétrique (géométrie et chargement) est symétrique tandis que celui de T est antisymétrique.

(11)

1.10 EXERCICES

Calculer les réactions des systèmes représentés ci-après.

Remarque : Dans les réponses données, une réaction positive signifie qu'elle est dirigée vers le haut s'il s'agit d'une composante verticale et de gauche à droite lorsqu'il s'agit d'une composante horizontale. Pour l'effort tranchant, l'effort normal et le moment fléchissant, les conventions des signes sont celles du § 1.6.

Exercice 1.1 Exercice 1.2

Rép. : V_A= 4.5 t, V_B= 1.5 t Rép. : V_A= 9 t, V_B= 3 t

Rép. : VA = 3.34 t, VB= 4.66 t Rép. : VA= 8 t, VB = 16 t

Rép. : V_A=qL/6, V_B=qL/3 Rép. : V_A= 1.7 t, V_B= 5.8 t

F1=9t F3=3t F2=6t A B

3m 3.5m 2.5m 1m

q=3t/m A B

4m 4m

q=3t/m

2m 6m

B F1=6t F2=2t A

4m 2m

2m

A B

q

A B

L

q=2t/m

F=33t B A

4.5m 2.5m 2m

I n t r o d u c t i o n 1 2

Rép. : VA=-0.83 t, VB=2.83 t, HA=-1 t Rép. : VA=-C/(a+b), VB=C/(a+b)

Rép. : VA=2.6 t, VB=2.4 t Rép. : CA=-21 tm, VA=6 t

Rép. : CA=-7.5 tm, VA=5 t, HA=-1 t Rép. : VA=5.33 t, VB=0.67 t

A B

F2=2t F1=1t

2m 4m 2m

1m A C B

a b

q=2t/m A B

C=2tm F=5t

2m 3m 1.5m

A

3m 3m 3m

C=6tm

F=1t

q=1t/m

5m

A 5m

4 q1=4t/m

4m

q2=2t/m C=16tm q=3t/m

A B

4m

(12)

Rép. : VA=-3 t, VB=3 t Rép. : VA=3P/7, VB=4P/7

Rép. : VA=2.83 t, VB=4.67 t Rép. : VA=3.17 t, VB=3.83 t

Tracer les diagrammes de M, T et N des systèmes représentés ci- après.

Rép. : T_A=T_C(g) =-T_D(d)=-T_B=P Rép. : M_C=-M_D=Pa/2

T_C(d)=T_D(g)=0, M_C=M_D=Pa T_A=T_C(g)=T_D(d)=T_B=-T_C(d)=-T_D(g)=P/2

Rép. : TA=8 t, TC=TB=-4 t Rép. : TA=TB=TD=-C/(a+b) MC=8 tm MD(g)=-Ca/(a+b), MD(d)=Cb/(a+b)

C=6tm C=6tm

A B

l=4m

A B

2a a 2a 2a

P

2t/m

1.5t/m 1t/m

A

4m 2m

2m

B 1.5t

a=2m a/2 a/2 a

B A

2t

a

a a

B A

P P

a

a 2a

B A

P P

C D

D C

2a=4m a A B

q=3t/m

a b

A C B

C D

Rép. : T_A+T_C(g)=3.33 t Rép. : T_A=T_C(g)=-T_C(d)=-T_D(g)=4.5 t TC(d)=TB(g)=-2.67 t, TB(d)=TD=2 t TD(d)=TE(g)=-TE(d)=-TB=1.5 t

M_C=6.67 tm, M_B=4 tm M_C=13.5 tm, M_D=-2.25 tm, M_E=1.5 tm

Rép. : TA=8 t Rép. : TC=TA(g)=-6 t, TA(d)=11.1 t TB(g)=-10 t, TB(d)=6 t TB=-3.9 t

Mmax=10.67 tm, MB=-6 tm MA=-18 tm, Mmax=2.5 tm

Rép. : TA=TD(g)=2.6 t Rép. : TA=TB=6 t TD(d)=TB(g)=2.4 t, TB(d)=TE=0 TD=TC=0

MD=5.2 tm, MB=ME=-2 tm MA=-31 tm, MB=-14 tm, MD=ME=-5 tm

A

2m

2m 4m

B 6t 2t

1m 3m 3.5m

A B 9t

2.5m

C D 6t

3t E C

D

q=3t/m

2m 6m

B

A q=3t/m

5m 3m

A B 6t C C

C=2tm B

3m A

1.5m 2m

5t q=2t/m

A

3m 3m 3m

C=5tm

B D E

D E

(13)

Rép. : TA=TC=-TB=qa Rép. : TA=TC(g)=2P/3

MA=-qa² TC(d)=TD=TB=-P/3

Mmax=qa²/2 MC=2Pa/3, MD=0, MB=-Pa/3

Exercice 1.29

Rép. : VA= 10.5 t, VB=18.5 t TA=T1(g)=10.5 t, T1(d)=T2=0.5 t T3=T4=TB(g)=-9.5 t, TB(d)=9 t T5(g)=6.33 t, T5(d)=0.33 t, T6 =0 M1=10.5 tm, M2=11 tm, M3=2 tm, M4(g)=-7.5 tm, M4(d)=-5.5 tm, MB=-15 tm, M5=-0.11 tm

Exercice 1.30

Rép. : VA=-8.625 t, VB=16.625 t HA=-13 t, NAD=8.625 t, NDE=3 t, NEB=-16.625 t,

TAC=TCA=13 t, TCD=TDC=3 t TDE=-8.625 t, TED=-16.625 t TEB=-3 t, TBE=0, MCD=MCA=-52 tm, MDE=-MDC=55 tm, MED=MEB=4.5 tm

Exercice 1.31

q A

a 2a

Articulation

B

a 2a

B a A

P

C D

C

A

B q1=2t/m

q2=1t/m 10t

1m

4m

3m

D E

C

B A

F1=10t q1=5t/m q2=2t/m F2=6t

1 1 2m 1 2m 1

1 2 3 4 5 6

C=2 tm 1

Rép. : HA=-55 KN, VA=135 KN, VB=45 KN, NAE=-135 KN, NEA=-85 KN, NDE=NED=-40 KN, NEG=NGE=NGB=NBG=-45 KN, MAE=83.75 KNm, MEA=-41.25 KNm, MED=-71.25 KNm, MEC=-30 KNm, MFC=MFG=-15 KNm, MGF=MGB=-60 KNm, MBG=-15 KNm, TAE=55 KN, TEA=-5 KN,

TDE=-40 KN, TED=-55 KN, TEC=30 KN, TCE=TCF=TFC=-15 KN, T_FG=T_GF=-45 KN, T_GB=45 KN, T_BG=0.

q2=20KN/m q1=10KN/m

P1=40 2KN P2=30KN

p=10KN/m

q4=30KN/m

Mo=15KNm B

A q3=12KN/m 45°

5m

1.5m 3m 1m 1m

3m F

G E

D C

(14)

Chapitre 2

DÉPLACEMENTS DES POUTRES FLÉCHIES

Les poutres considérées sont droites et possèdent un plan de symétrie qui contient les charges appliquées. Dans ces conditions, la flexion se fait dans le plan de symétrie de la pièce considérée.

Ce chapitre expose les principales méthodes qui permettent d'obtenir l'équa- tion de la déformée.

2.1 IMPORTANCE DES CALCULS DE DEPLACEMENTS

Dans toute étude de structure, outre le calcul des réactions, des éléments de réduction et des contraintes, on fait également des calculs de déplacements. Gé- néralement, on fixe pour les déplacements des sections des limites admissibles à ne pas dépasser, tout comme pour les contraintes. Il n'est pas rare même que les conditions de déformabilité soient plus sévères que les conditions de résistance.

La limitation des déplacements vise avant tout à préserver la fonctionnalité de la construction. A titre d'exemple, une trop grande déformabilité des poutres peut provoquer la fissuration des cloisons légères et engendrer des désordres très gênants.

D'autre part, lorsque les déplacements sont importants ils peuvent modifier significativement l'action des charges appliquées (ils engendrent d'autres efforts, dits effets du second ordre), et dans ce cas il est nécessaire d'en tenir compte.

Par ailleurs, la résolution des problèmes hyperstatiques, qui constituent l'es- sentiel des structures habituelles, fait appel aux calculs de déplacements.

Le déplacement de la section d'une poutre peut être : - une translation

- une rotation

Dans le cas d'une poutre horizontale fléchie dans le plan xy, l'axe des x étant confondu avec l'axe longitudinal de la pièce, les déplacements verticaux des centres de gravité des sections droites, mesurés à partir de l'axe x, sont appelés flèches. Les rotations se font autour de l'axe z (axe neutre) et représentent les angles, mesurés en radians, dont tournent les sections droites de la poutre.

1 8 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T I Q U E S

2.2 EQUATION DIFFERENTIELLE DE LA DEFORMEE

Considérons une poutre horizontale simplement appuyée, fléchie dans le plan vertical xy (Figure 2.1). Après flexion, l'axe longitudinal AB de la poutre prend la forme courbe AMB. Cette courbe est appelée déformée ou ligne élastique (ou élastique tout simplement) de la poutre et peut être décrite par une équation de la forme y = f(x). Les ordonnées y représentant les flèches subies par les sections (leurs centres de gravité plus exactement) de la pièce.

L'influence de l'effort tranchant sur la courbure de la déformée étant généra- lement très faible, elle peut être négligée (nous étudierons plus loin l'influence de T). Nous admettrons donc que la courbure de la ligne élastique en un point donné ne dépend que de la valeur du moment fléchissant en ce point. Dans ce cas, nous utilisons la relation liant la courbure au moment fléchissant obtenue rigoureuse- ment dans le cas de la flexion pure et qui s'écrit :

1 R

M EI

z z

= (2.1) D'autre part, on apprend dans les cours de Géométrie Différentielle que la courbure en un point M, d'une courbe plane donnée par l'équation explicite y = f(x), vaut :

1 1

2 2

2 3

R 2

d y dx

dy dx

= + ε

[ ( ) ]

(2.2)

Le facteur ε vaut ± 1 et a été introduit pour des raisons que nous évo- quons plus loin. Remarquons toutefois que du point de vue mathématique ε vaut + 1 et le signe de la courbure ne dépend que de la valeur de la dérivée seconde (le dénominateur de l'expression (2.2) étant strictement positif). Ainsi, la courbure (ou la dérivée seconde) est positive si la concavité de la courbe est tournée vers les y positifs et elle est négative quand la concavité est orientée vers les y négatifs (Figure 2.2).

Figure 2.2

M

y

x

y">0

y"<0 R θ

dθ

θ ^A B

M x dx y

Figure 2.1

x

(15)

D é p l a c e m e n t s d e s p o u t r e s f l é c h i e s 1 9

A partir des équations (2.1) et (2.2), on déduit la relation différentielle sui- vante reliant le moment (Mz) et la flèche (y).

M EI

d y dx

dy dx

z z

= + ε

2 2

2 3

1 2

[ ( ) ]

(2.3)

Physiquement, la dérivée première y' = dy/dx représente la pente de la tangente à la déformée y au point courant M. Dans le cadre de l'hypothèse admise des petits déplacements, les angles sont très petits et, non seulement on peut confondre la tangente et l'angle (dy/dx = tgθ ≈ θ), mais le terme (dy/dx)² devient négligeable devant l'unité. D'où la simplification de la relation (2.3) :

M EI

d y

dx y

z z

=ε =ε

2

2 " (2.4a) Notons au passage que dans le cadre des petits déplacements, y' représente également la rotation de la section Σ d'abscisse x.

La valeur à donner à ε se déduit plus facilement de la dernière expression. Il suffit de comparer les signes de y" et de Mz. La convention de signes adoptée pour le moment est exactement l'opposée de celle de y" puisqu'on considère un moment comme positif quand la concavité de la déformée est tournée vers les y négatifs.

D'où le signe adéquat à prendre : d y

dx y M

EI

z z

²

² = "= − ou encore : EI y_z "= −M_z (2.4b) Compte tenu des relations différentielles reliant q, T et M, on peut en déduire :

d y

dx y T

EI

y z 3

3 = ^''' = − et d y

dx y q

EI q EI

IV y

z z

4

4 = = = (2.5) Il importe de noter que dans le cas des barres très élancées, les flèches peuvent être importantes et l'expression (2.4b) ne fournit plus une bonne approximation. Il faut alors faire usage de la relation (2.3), sachant que ε vaut -1 pour les raisons données plus haut. L'utilisation de la définition exacte de la courbure introduit deux différences fondamentales par rapport à l'approximation (2.4) : - l'équation différentielle n'est plus linéaire,

- dans le calcul du moment, il faut tenir compte de l'influence des déplace- ments, ce qui revient à introduire des moments additionnels secondaires (moments du second ordre).

D'autre part, la relation (2.1) montre qu'il y a proportionnalité entre la courbure et le moment fléchissant, autrement dit les développements à partir de cette équation sont valables uniquement dans le domaine élastique linéaire. Si on sort de ce domaine, il faut utiliser une relation non linéaire de la forme 1/R = f(M), déduite de l'étude du comportement élastoplastique de la pièce considérée.

Nous allons voir dans les paragraphes suivants quelques méthodes parmi les plus importantes qui permettent d'obtenir l'équation de la ligne élastique d'une poutre fléchie.

2.3 INTEGRATION DIRECTE DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE Lorsque le chargement est simple et la section constante, l'expression analy- tique du moment n'est pas compliquée et le moment d'inertie demeure constant.

L'intégration de l'équation (2.4b) reste alors aisée et permet d'obtenir facilement l'équation de la déformée.

La première intégration fournit l'expression de y' (y' = tgθ). Comme on a y' = θ, en vertu de l'hypothèse des petits déplacements, on obtient en fait l'expression générale de la rotation dont tourne la section courante. L'angle est évidemment exprimé en radians.

Notons par ailleurs que la première intégration fait apparaître une constante.

La deuxième intégration donne l'expression cherchée de la déformée et fait apparaître une deuxième constante. Les deux constantes d'intégration s'obtiennent généralement en satisfaisant aux conditions d'appui de la poutre et de conti- nuité de la déformée. Ces conditions sont désignées habituellement par conditions aux limites.

Il faut toujours s'assurer que les expressions obtenues des flèches (y) et des rotations (y'), sont continues en tout point de la poutre. En effet, une discontinui- té dans l'expression de y marquerait une interruption dans la poutre tandis qu'une discontinuité de y' voudrait dire que la poutre se brise en ce point (articulation).

Les deux situations sont absurdes car la déformée est continue.

Par contre, l'expression de la courbure (donc y'') peut être discontinue. C'est ce qui se produit dans les sections où le moment présente une discontinuité (pré- sence d'un couple concentré) ou bien là où la section varie brusquement (dis- continuité de Iz).

Considérons l'exemple simple de la poutre de section constante chargée uniformément pour illustrer la mé- thode (Figure 2.3).

L'expression du moment est :

M qx

z = −

2

L'équation différentielle de l'élastique devient : EI d y

dx qx

z

²

= ² 2 d'où :

EI dy dx qx

z = +C

3

6 (a) et EI y qx

Cx D

z = + +

4

24 (b)

l q

y

x

Figure 2.3

(16)

Pour déterminer les constantes d'intégration C et D, il faut écrire deux conditions aux limites. Dans le cas considéré, on peut écrire dans la section d'encastrement deux conditions sur y et y' :

1) en x = l, y = 0 (flèche nulle) 2) en x = l, y' = 0 (rotation nulle)

Ces conditions, sur y et y', sont des conditions aux limites géométriques alors que les conditions aux limites sur y" et y''' (donc sur M et T, respectivement) sont désignées par conditions aux limites statiques.

En utilisant la condition (2), l'équation (a) donne : C = - ql³/6.

Et en appliquant la condition (1), on tire de l'équation (b) : D = ql⁴/8.

D'où les expressions finales de la rotation et de la flèche :

y ql

EI qx

z EIz

'= − +

3 3

6 6 (2.6a) y ql

EI ql

EI qx

z z EIz

= − +

4 3 4

8 6 24 (2.6b) Une rotation est positive si elle se fait dans le sens horlogique alors qu'une flèche est positive si elle est du côté des y positifs (vers le bas). En faisant x = 0 dans les expressions (2.6a) et (2.6b), on obtient :

C/EIz = θ0 = ql³/6EIz et D/EIz = f0 = ql⁴/8EIz

autrement dit, C et D sont respectivement la rotation et la flèche de la section initiale de la poutre, multipliées par la rigidité flexionnelle de la poutre (EIz).

La méthode d'intégration directe devient fastidieuse quand le chargement et/ou la section présente(nt) des discontinuités. Dans ce cas, l'expression de M_z/EI_zchange à chaque discontinuité et on doit travailler par tronçon. On effec- tue sur chaque tronçon une double intégration pour obtenir l'expression de sa déformée. Mais comme à chaque double intégration on voit apparaître deux constantes d'intégration, le total des constantes pour toute la poutre est égal au double du nombre de tronçons existants.

Les constantes inconnues s'obtiennent en exprimant : - les conditions d'appui de la poutre,

- les conditions de passage aux sections de jonction entre les différents tron- çons. Ces conditions expriment la continuité de la déformée, donc la conti- nuité de y et de y',

- certaines conditions statiques en des points particuliers.

Ainsi, si l'expression du second membre de l'équation (2.4b) change plusieurs fois (présence de plusieurs tronçons), la détermination des constantes d'intégra- tion nécessite la résolution d'un système de plusieurs équations (avec autant d'inconnues), d'où un surplus de travail.

Voyons cela sur l'exemple simple de la poutre bi-articulée soumise à une charge concentrée (Figure 2.4).

Pour plus de commodité, on écrit l'équation différentielle de l'élastique sous la forme :

EI y_z "= −M_z

• 0≤x≤a(tronçon 1) : M_z=Pbx l/

EI y Pb

l x C

z 1

2

2 1

' = − +

1 1 3 1

z x C x D

l 6 y Pb

EI =− + +

• a≤x≤l(tronçon 2) : Mz = Pa - Pax/l

2 2 '

2

z x C

l 2 Pax Pa y

EI =− + +

2 2 3 2 2

z x C x D

l 6 x Pa 2 y Pa

EI =− + + +

Les inconnues C1, D1, C2 et D2 sont déterminées à l'aide des deux conditions aux limites en x = 0 et x = l, et des deux conditions de passage en x = a.

1) en x = 0, y1 = 0 3) en x = a, y1 = y2

2) en x = l, y2 = 0 4) en x = a, y'1 = y'2

La résolution de ce système d'équations donne :

C1 = Pab(a+2b)/6l, D1 = 0, C2 = Pa(2l²+a²)/6l, D2 = -Pa³/6 D'où les expressions finales, donnant les rotations et les flèches :

• 0≤x≤a

) b 2 a l ( 6 x Pab l 2 y Pb

EI_z ^'₁=− ²+ + (2.7a)

EI y Pb

l x Pab

l a b x

z 1

3

6 6 2

= − + ( + ) (2.7b)

• a≤x≤l

EI y Pax Pa

l x Pa

l l a

z 2

2 2 2

2 6 2

' = − + + ( + ) (2.7c)

EI y Pa

x Pa

l x Pa

l l a x Pa

z 2

2 3 2 2

3

2 6 6 2

= − + + ( + ) − 6 (2.7d) Cet exemple, pourtant simple, montre combien l'application de la méthode d'intégration directe devient laborieuse quand la pièce présente des discontinuités (de chargement et/ou de section). On va voir dans le paragraphe suivant com- ment, grâce à de petits aménagements dans l'application de la méthode précé- dente, on arrive à réduire le travail à effectuer.

Figure 2.4

A B

x b

a y

l P

(17)

D é p l a c e m e n t s d e s p o u t r e s f l é c h i e s 2 3

2.4 METHODE DE CLEBSCH OU DES PARAMETRES INITIAUX Soit la poutre bi-articulée de section constante représentée à la figure 2.5. Les charges appliquées divisent la poutre en cinq tronçons et une application directe de la méthode d'intégration conduirait à la détermination de dix constantes d'in- tégration.

La méthode de Clebsch permet, grâce à un artifice de calcul, de réduire les constantes à deux seulement, et ce quelque soit le nombre de tronçons. D'autre part, la méthode fournit une expression unique de la déformée, valable pour tous les tronçons. L'expression de la rotation s'obtient naturellement par dérivation de la fonction de la déformée.

L'originalité de la méthode vient de sa présentation particulière des calculs.

L'idée essentielle de la méthode consiste à écrire l'expression du moment sur un tronçon en ajoutant de nouveaux termes (au moins un terme) à l'expression du moment sur le tronçon précédent en gardant la même origine des abscisses x (voir règle 1).

Appliquons cet artifice à l'exemple considéré. Ecrivons pour chaque tronçon l'expression du moment, l'équation différentielle de l'élastique puis effectuons les deux dérivations successives.

1^ère règle : Elle consiste à placer l'origine des coordonnées x, y au centre de gravité d'une section extrême de la poutre, l'extrémité gauche par exemple.

• Tronçon 1 (0≤x≤a): M_z=R x_A

EI y_z ^"= −R x_A

EI y R x

z A C

' = − +

2

2 1

EI y R

x C x D

z

= − A + +

3

1 1

!

En faisant x = 0 dans les deux dernières expressions, on obtient : Figure 2.5

A q P C B

x a

b c

d l RA

y

C₁=EI y_z '₀=EI_zθ₀ D₁=EI y_z ₀=EI f_z ₀

Autrement dit, C1 et D1 représentent respectivement la rotation et la flèche, multipliées par la rigidité flexionnelle de la poutre (EIz), de la section initiale.

• Tronçon 2 (a≤x≤b)

M R x q

x a

z= A − −

2 ( )2

EI y R x q

x a

z A

"

( )

= − + −

2

EI y R x q

x a C

z A

'

!( )

= − + − +

2

3

2 3 2

EI y R

x q

x a C x D

z

= − A + − + +

3 4

2 2

! !( )

En faisant x = a dans les deux dernières équations, on en déduit que : C2 = C1

et D₂ = D₂.

• Tronçon 3 (b≤x≤c)

2^ème règle : On suppose la charge répartie appliquée sur tout le reste de la poutre et on applique une charge égale et opposée pour équilibrer la charge ajou- tée (cet artifice permet d'avoir des expressions générales valables sur toute la longueur de la poutre).

M R x q

x a q

z= A − − + x b−

2 2

( ) ( )

EI y R x q

x a q

z A x b

"

( ) ( )

= − + − − −

2 2

EI y R x q

x a q

x b C

z A

'

!( )

= − + − − − +

2

3 3

2 3 3 3

EI y R

x q

x a q

x b C x D

z

= − A + − − − + +

3 4 4

3 3

! !( )

!( )

En comparant les flèches et les rotations dans la section de jonction x = b, on trouve : C3 = C2 et D3 = D2.

• Tronçon 4 (c≤x≤d)

M R x q

x a q

x b P( x c

z= A − − + − − −

2 2

( ) ( ) )

EI y R x q

x a q

x b P( x c

z A

"

( ) ( ) )

= − + − − − + −

2 2

(18)

EI y R x q

x a q

x b P

x c C

z A

'

!( )

!( ) ( )

= − + − − − + − +

2

3 3 2

2 3 3 2 4

EI y R

x q

x a q

x b P

x c C x D

z

= − A + − − − + − + +

3 4 4 3

4 4

! !( )

!( )

En comparant de nouveau les flèches et les rotations à gauche et à droite de la section x = c, on montre que : C4 = C3 et D4 = D3.

• Tronçon 5 (d≤x≤l)

3^ème règle : On multiplie le couple concentré par (x-d)⁰ afin de marquer la section où commence son influence et pour garder aux expressions leur générali- té.

M R x q

x a q

x b P( x c C x d

z= A − − + − − − + −

2 2

2 2 0

( ) ( ) ) ( )

EI y R x q

x a q

x b P( x c C x d

z A

"

( ) ( ) ) ( )

= − + − − − + − − −

2 2

2 2 0

EI y R x q

x a q

x b P

x c C x d C

z A

'

!( )

!( ) ( ) ( )

= − + − − − + − − − +

2

3 3 2

2 3 3 2 5

EI y R

x q

x a q

x b P

x c C

x d C x D

z

= − A + − − − + − − − + +

3 4 4 3 2

5 5

! !( )

!( )

!( ) ( )

En comparant encore une fois les rotations et les flèches dans la section de jonction (x = d), obtenues à l'aide des relations valables sur les tronçons 4 et 5, on montre que : C5 = C4 et D5 = D4.

Ainsi, on démontre qu'il n'y a en définitive que deux constantes d'intégration pour toute la poutre :

C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = EIzy'0 = EIzθ₀ D1 = D2 = D3 = D4 = D5 = EIzy0 = EIzf0

Ces deux constantes caractérisent les déplacements (rotation et flèche) de la section initiale de la poutre, d'où leur désignation par paramètres initiaux. Elles sont déterminées à partir des conditions d'appui de la poutre considérée. Dans un appui simple ou double la flèche est nulle, f = 0, tandis que dans un encastrement on a : f = θ = 0.

On peut réduire à quatre le nombre total des équations en adoptant le mode d'écriture suivant :

x≤a x≤b x≤c x≤d x≤l

2 3

4 4

A 3 0 z 0 z z

2 3

3 2

A 0 z ' z

0 2

2 2

A

"

z

0 2

2 A

z

) d x 2( ) C c x

!( 3 ) P b x

!( 4 ) q a x

!( 4 x q

! 3 x R EI f EI y EI

) d x ( C ) c x 2( ) P b x

!( 3 ) q a x

!( 3 q 2 R x EI y EI

) d x ( C ) c x ( P ) a x 2( ) q a x 2( x q R y EI

) d x ( C ) c x ( P ) b x 2( ) q a x 2( x q R M

−

− +

−

− +

− θ +

=

−

− +

−

− +

− θ

=

−

− +

−

− +

−

=

− +

−

− +

−

=

Pour calculer une grandeur (Mz, y", y' ou y) sur un tronçon donné, il faut con- sidérer uniquement les termes à gauche de la limite du tronçon étudié.

Dans l'exemple traité, les conditions aux limites s'écrivent : y = 0 en x = 0 et en x = l. La première condition donne f₀ = 0 et à partir de la seconde on tire la valeur de θ₀.

2.5 METHODE DE LA POUTRE CONJUGUEE

2.5.1 Principe de la méthode

Cette méthode est basée sur une analogie entre les allures de la déformée de la poutre considérée et du diagramme des moments fléchissants d'une poutre fictive sollicitée par une charge fictive. La méthode est également appelée mé- thode de Mohr, du nom de son auteur, ou encore méthode des poids élastiques.

Pour une poutre fléchie, on a les relations différentielles suivantes :

y" = - Mz/EIz (i) et Mz" = - q (ii) qui sont identiques du point de vue mathématique.

Posons :

y = Mf et Mz/EIz = qf Avec ces changements, l'équation (i) s'écrit :

Mf" = - qf (iii) et est exactement semblable à l'équation (ii). La dernière équation obtenue s'in- terprète comme ceci : la déformée de la poutre réelle (y) est donnée par le diagramme du moment fléchissant (M_f) d'une poutre fictive, appelée poutre conju- guée, sollicitée par une charge q_f = M_z/EI_z.

L'équation (iii) est du second ordre et nécessite par conséquent la détermina- tion de deux constantes d'intégration pour la connaissance complète de M_f. Les deux constantes définissent en fait les conditions aux limites de la poutre conju- guée qui s'obtiennent à partir de celles de la poutre réelle puisqu'on a les corres- pondances :

y = Mf et y' = Tf