Chapitre 12 : Dérivation et primitives.
I Dérivation.
A Rappels sur les formules de dérivation.
Dérivées des fonctions usuelles
u Dérivéeu1 Sur
kPR 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (nPN) nxn´1 R 1
x ´1
x2 R˚
1
xn ´ n
xn`1 R˚
?x 1
2?
x s0;`8r
cosx ´sinx R
sinx cosx R
tanx
1 cos.2x 1`tan2x
R\!π 2 `kπ
)
kPZ
ex ex R
lnx 1
x R`˚
.
Opérations sur les dérivées
uetvdésignent deux fonctions quelconques, défi- nies et dérivables sur un intervalleI.
Fonction Dérivée ku,kPR ku1
u`v u1`v1 uv u1v`uv1
u v
u1v´uv1 v2 u2 2u1u
1
u ´u1
u2 un (nPZ˚) nu1un´1
?u u1
2? u
eu u1eu
lnu u1
u cos˝u ´u1ˆsin˝u sin˝u u1ˆcos˝u
Siuune fonction définie et dérivable sur un inter- valle I et v une fonction définie et dérivable sur un intervalleJ ĂupIq, alors :
pv˝uq1“u1ˆv1˝u
II Primitive d’une fonction continue
Dans toute cette partie, on utilisera à nouveau le résultat selon lequel :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalleI de dérivée est nulle surI alorsf est constante sur I.
A Définition.
SoitI unintervalle. Soit une fonctionf :IÑR.
Une fonctionF :IÑRest dite être une primitive def surI si :
• F est dérivable surI
• Pour toutxPI,F1pxq “fpxq Définition 1
B Propriétés
1 Ensemble des primitives
SoitI unintervalle. Soit une fonctionf :IÑR.
Si F : I ÑRest une primitive def surI alors l’ensemble des primitives def est donné par :
tF`K;KPRu Proposition 1
Démonstration 1. Soitf :IÑRune fonction continue. SoitF une primitive def surl’intervalleI.
NotonsE“ tF`K|KPRuetF l’ensemble des primitives deF surI.
1ièreétape. MontronsEĂF, c’est-à-dire que toutes fonction deE est dansEF.
SoitKPR, la fonctionF`K est dérivable surI en tant que somme de fonctions dérivables et on a pF`Kq1 “F1“f.
AinsiF`Kest une primitive de f etEĂF.
2ième étape. MontronsF ĂE. C’est à dire que siGest une primitive def alors : DKPR, G“F`K
Soit donc Gune primitive def.
La fonctionG´F est dérivable surI et on a
pG´Fq1“G1´F1 “f ´f “0
La fonction G´F est donc constante sur l’intervalle I. Notons K la fonction constante telle que G´F “KsurI, alorsGPE. DoncF ĂE.
Finalement l’ensemble des primitives def surIest bientF`K , KPRu.
Exemple 1. Si l’on considère la fonction F : R˚ Ñ R x ÞÑ |x|
x .
La dérivée de cette fonction estf1pxq “0 surR˚ et pourtant la fonction n’est pas constante.
En effet :
F : R˚ Ñ R
x ÞÑ
"
1 sixą0
´1 sixă0 Donc sur l’intervalles ´ 8; 0rcomme sur l’intervalles0;`8r, on a :
F1pxq “0 Or la fonctionF n’est pas constante surR˚.
Exercice 1. On définit les fonctionsf etF par :
f : R Ñ R
x ÞÑ px2`4x`3qex
et g : R Ñ R
x ÞÑ px2`2x`1qex Montrer queF est une primitive def surR.
Exercice 2. Soit f : R˚ Ñ R x ÞÑ 1
x
. On définie les fonctionF et GsurR˚ par :
F : R˚ Ñ R
x ÞÑ lnp|x|q
et G : R˚ Ñ R
x ÞÑ
#lnpxq sixą0 lnp´xq `3 sixă0
1. Étudier la parité de la fonctionF et déterminer l’expression de sa dérivée. Que peut-on dire de F etf.
2. Déterminer l’expression de la dérivée deG.
3. La fonctionG´F est-elle constante ?
Exemple 2. Que peut-il se passer lorsque lorsqueI n’est pas un intervalle : Soit f : R˚ Ñ R
x ÞÑ 1 x
Les fonctions F : R˚ Ñ R x ÞÑ lnp|x|q
et G : R˚ Ñ R
x ÞÑ
#lnpxq `1 sixą0 lnp´xq `3 sixă0 sont deux primitives def surR˚ maisG´F n’est pas une fonction constante.
Remarque1. On parlera plus tard de la linéarité de l’intégrale.
Attention la
primitivation ne peut pas être vu comme un opérateur linéaire puisque ce n’est pas une application ("l’image" connue à une constante près)
Soient f et g sont deux fonctions continues sur un même intervalleI. SiF etGsont deux primitives respectivement de f etg. Soientpλ;µq PR2. AlorsλF`µGest une primitive de λf`µg surI.
Proposition 2(Linéarité de laprimitivation)
Démonstration 2. Soientf etgsont deux fonctions continues sur un même intervalleIetF etGsont deux primitives respectivement def et g. Soient pλ;µq PR2. Alors :
pλF `µGq1“λF1`µG1“λf`µg DoncλF `µGest une primitive de λf`µgsurI.
Le principal résultat d’existence de primitives est le suivant :
Remarque2. Dans la plupart des cas on ne peut pas exprimer cette primitive à l’aide des fonctions usuelles
SoitI un intervalle deR. Toute fonction continue surI admet une primitive surI.
Théorème 3(Énoncé simplifié duThéorème fondamental de l’analyse)
Démonstration. Admise
On peut affiner un peu ce résultat.
Soitf une fonction continue sur l’intervalleI. Soitx0PI etλPR. Il existe une unique primitive F def surI telle queFpx0q “λ.
Proposition 4
Démonstration 3. Démonstration de l’unicité :
Soitf une fonction continue sur l’intervalleI. Soitx0PIet λPR. SoientF etGdeux primitives def vérifiantFpx0q “λetGpx0q “λ.
Alors pF ´Gq1 “ f ´f “ 0 donc DK P R,@xP I, pF ´Gqpxq “ K. Or Fpx0q ´Gpx0q “ 0 donc K“0. DoncF “G.
C Primitives usuelles
Fonction Intervalle Une primitive
λPR,xÞÑλ R xÞÑλx
nPN,xÞÑxn R xÞÑ xn`1n`1
nPNzt1u,xÞÑ x1n s ´ 8,0rous0,`8r xÞÑ p1´nqx1 n´1
xÞÑx1 s ´ 8,0rous0,`8r xÞÑlnp|x|q
xÞÑex R xÞÑex
Si aą0 eta‰1,xÞÑax, R xÞÑ lnpaqax
aPRzt´1u, xÞÑxa s0,`8r xÞÑ xa`1a`1
xÞÑsinpxq R xÞÑ ´cospxq
xÞÑcospxq R xÞÑsinpxq
xÞÑtanpxq ‰
´π2 `kπ,π2 `kπ“
,kPZ xÞÑ ´lnp|cospxq|q
D Opérations sur les primitives.
Remarque3.
Attention la primitive d’un produit n’est pas le produit des primitives.
La fonctionuutilisé ci-dessous est une fonction continue de dérivée continue. Par ailleurs quand nécessaire pour la fonctionf, on considérera que les image deusont non nul.
f F (Une primitive) Condition suru
u1un un`1n`1
u1
u ln|u| une s’annule pas surI
u1
u2 ´u1 une s’annule pas surI
SinPNetně2, uun1, ´pn´1qu1 n´1 une s’annule pas surI
u1
?u 2?
u ustrictement positive surI
u1eu eu
v1ˆ pu1˝vq uˆv
Exemple 3. Pour déterminer une primitive pour les fonctions suivantes surR:
• f : xÞÑe2x`3ex`2
• g: xÞÑ x p4`x2q3
• h: xÞÑsin3pxqcospxq
• i: xÞÑ sinpxq cospxq2`2 Exercice 3. Soit la fonction f : R Ñ R
x ÞÑ 3px´1q2
. Déterminer une primitive def surR. Exercice 12-13 fiche du TD
E Intégration par parties
Soitf une fonction continue sur l’intervalleI. SoitF une primitive def sur l’intervalleI.
On notera alors dans ce chapitre F “ ż
f . Définition 2
SoitI un intervalle deR. Soit uet v deux fonctions continues et de dérivées continues sur
I. Alors ż
u1v“uv´ ż
uv1 Théorème 5(Intégration par parties)
Démonstration 4. On apuvq1“u1v`uv1. Ainsi uv“
ż
puvq1“ ż
pu1v`uv1q loomo“on
Linéarité.
ż u1v`
ż uv1
Donc : ż
u1v“uv´ ż
uv1
Exemple 4.
Remarque4. Ce premier exemple est explicitement à connaitre dans le programme.
Calculons les primitives des fonctions suivantes :
• ż
xex dx“xex´ ż
ex dx“xex´ex“ px´1qex
• ż
xcospxq dx
Prenonsupxq “sinpxqetvpxq “x, alorsu1pxq “cospxqet v1pxq “1. D’où ż
xcospxq dx“xsinpxq ´ ż
sinpxq dx“xsinpxq ´cospxq
• ż
pt2`t´1qsinptqt.
On prenduptq “ ´cosptqetvptq “t2`t´1 d’oùu1ptq “sinptqetv1ptq “2t`1. Ainsi ż
pt2`t´1qsinptqt.““
´cosptqpt2`t´1q‰
` ż
cosptqp2t`1qt.
On prend ensuiteaptq “sinptqet bptq “2t`1, d’oùa1ptq “cosptqetb1ptq “2 Alors
ż
cosptqp2t`1qt.“sinptqp2t`1q ´ ż
2 sinptqt.“ rsinptqp2t`1qs0π2 ´ ´2 cosptq Finalement
ż
pt2`t´1qsinptqt.“ ´cosptqpt2`t´1q `sinptqp2t`1q ´ p´2 cosptqq
“ ´cosptqpt2`t´1q `sinptqp2t`1q `2 cosptq
• La fonction ln.
Prenonsuptq “tet vptq “lnptq. Alorsu1ptq “1 etv1ptq “ 1 t. D’où ż
lnptq dt“tlnt´ ż
t1 t dt
“tlnptq ´t DonctÞÑtlnptq ´test une primitive de tÞÑlnptqsurR˚`.
F Fonctions de deux variables
1 Généralités
Remarque5. Le programme dit
« Aucune difficulté ne sera soulevée au sujet des domaines de définition des fonctions considérées. »
On appelle fonction réelle de deux variables réelles toute application d’une partie D ĂR2 dansR, ce que l’on note f :DÑR
Soit f :D ÑR une fonction de deux variables réelles. On appelle ensemble de définitions def noté Df l’ensemble des couplespx, yq PR2 pour lesquelsfpx, yqest bien définie.
Définition 3
Remarque6. Les fonctions partielles dépendent évidemment de px0, y0qmais la dépendance n’apparait pas dans les écritures f1 etf2, on s’assurera donc que le contexte est clair
SoitD“sa, brˆsc, drun pavé deR2etf :DÑRune fonction réelle de deux variables. Soit px0, y0q PD
On appelle fonctions partielles def enpx0, y0qles deux applications suivantes f1 : sa, br Ñ R
t ÞÑ fpt, y0q
f2 : sc, dr Ñ R t ÞÑ fpx0, tq On notera alors f1“fp‚, y0qet f2“fpx0,‚q.
Définition 4
Exemple 5. • Soit f : R2 Ñ R px, yq ÞÑ x`y
etpx0, y0q PR2 Les fonctions partielles enpx0, y0qsont alors
f1 : R Ñ R t ÞÑ t`y0
f2 : R Ñ R t ÞÑ x0`t
• Soit f : s0,`8rˆR Ñ R px, yq ÞÑ lnpxqy`exy Les fonctions partielles enp1,2qsont
f1 : s0,`8r Ñ R t ÞÑ 2 lnptq `e2t
f2 : R Ñ R t ÞÑ et
• Soit f : R2 Ñ R px, yq ÞÑ y`3 Les fonctions partielles enp0,0qsont
f1 : R Ñ R t ÞÑ 3
f2 : R Ñ R t ÞÑ t`3
2 Surface représentative.
Dans l’espaceR3, tout pointpx, y, zqpeut être repéré par son abscissex, son ordonnéeyet sa côte z, de manière similaire aux fonctions d’une variable où on représentait la fonction f par les points de coordonnéespx, fpxq on va alors représenter une fonction de deux variables f par les points de coordonnéespx, y, fpx, yqq.
Remarque7. Il n’est généralement pas aisé de tracer à la main l’allure d’une surface représentative, on utilisera alors un logiciel de géométrie ou bien la fonction plot3dde Python
Soit D un pavé de R2 et f : D Ñ R une fonction de deux variables. On appelle surface représentative def l’ensemble
tpx, y, fpx, yqq, px, yq PDu Définition 5
Exemple 6. • Soit f : R2 Ñ R px, yq ÞÑ xy2 Sa surface représentative est
• Soit g : R2 Ñ R
px, yq ÞÑ sinpyq `cospxq Sa surface représentative est
3 Dérivées partielles
Remarque8. On calcule Bf
Bx en considérant que la seconde variable (souventy) est une constante.
SoitD un pavé deR2et f :DÑRune fonction de deux variables.
Soitpx0, y0q PD etf1,f2les fonctions partielles en px0, y0q.
Si f1 est dérivable en x0 alors on dit que f admet une dérivée partielle par rapport à la première variable enpx0, y0qet on note
Bf
Bxpx0, y0q “f11px0, y0q (dérivée par rapport à la première variable)
Remarque9. Le symboleBse lit « d rond »
De manière similaire sif2est dérivable eny0on dit alors quef admet une dérivée partielle par rapport à la seconde variable enpx0, y0qet on note
Bf
Byfpx0, y0q “f21py0q (dérivée par rapport à la seconde variable) Définition 6
SoitDun pavé deR2etf :DÑRune fonction de deux variables. Sif admet des dérivées partielles en tout point de D, on définit alors les fonctions dérivées partielles
Bf
Bx : D Ñ R
px, yq ÞÑ Bf Bxpx, yq
Bf
By : D Ñ R
px, yq ÞÑ Bf Bypx, yq
Si ces deux fonctions sont continues alors on dit que f est de classe C1 sur D et on note C1pDql’ensemble des fonctions de classeC1 surD.
Définition 7
Exemple 7. • a : R2 Ñ R px, yq ÞÑ x`y
a pour dérivées partielles
Ba
Bxpx, yq “1 Ba
Bypx, yq “1
• b : R Ñ R
px, yq ÞÑ 3xy`2x3y2´xy4
a pour dérivées partielles
Bb
Bxpx, yq “3y`6x2y2´y4 Bb
Bypx, yq “3x`4x3y´4xy3
• d : R2 Ñ R
px, yq ÞÑ y`3
a pour dérivées partielles
Bd
Bxpx, yq “0 Bd
Bypx, yq “1
G Changement de variables
Remarque10. Au cours d’une épreuve, sauf dans les cas simples, le changement de variables sera donné par l’énoncé.
SoitI etJ deux intervalles deR,f une fonction continue surI et uune fonction de classe C1 surJ telle queupJq ĂI.
On a alors
ż
`u1ˆf˝u˘
“ ˆż
f
˙
˝u Théorème 6
Démonstration 5. SoitF “ ż
f . On a alors u1ˆf˝u“u1ˆF1˝u“ pF˝uq1. Donc :
ż
`u1ˆf˝u˘
“ ż
pF˝uq1 “F˝u“ ˆż
f
˙
˝u
Il y a essentiellement deux manières de rédiger un changement de variables. La première est plus longue et plus rigoureuse mais avec de l’habitude on lui préfèrera la seconde rédaction, moins rigoureuse mais plus rapide et plus proche des méthodes utilisées en Physique.
Exemple 8. • Pour déterminer ż
xlnpx2q dx
Soitupxq “x2. On notera simplementu“x2 On a alors :du“2xdx. Donc : ż
xlnpx2q dx“ ż
lnpuq du
2 “ulnu´u“x2lnx2´x2
• Pour déterminer ż
sinpxq3 dx
Soitu“cospxq. Alors du“ ´sinxdx ż
sinpxq3 dx“ ż
sinxˆsinpxq2 dx“ ż
sinxp1´cos2xqdx“ ´ ż
p1´u2qdu“u3
3 ´u“ cos3x 3 ´cosx
III Méthodes.
A Dérivées partielles.
Remarque11. Ces techniques de dérivation seront surtout utiles au second semestre lors des études extréma pour les fonctions à deux variables
c : s0,`8rˆR Ñ R px, yq ÞÑ lnpxqy`exy
a pour dérivées partielles
Bc
Bxpx, yq “ y
x`yexy Bc
Bypx, yq “lnpxq `xexy Méthode 1(Calculs de dérivées partielles.)
B Calculs de primitives.
Pour primitiver les fonctions suivantes : a) apxq “cosp3xq
b) bpxq “3 cosp3xq ´7 sinp5xq c) cpxq “sinxcosx
d) dpxq “ x`1 x2`2x`5 e) dpxq “ x`1
px2`2x`5q3 f) epxq “ px`1qex2`2x`5 g) fpxq “ lnx
x
Pour chacune de ces expressions, il faut trouver la correspondance entre l’expression et la formule possible.
a) ż
u1cosu“sinu b)
ż
u`v“ ż
u` ż
v puis ż
u1cosu“ ´sinuet ż
u1sinu“ ´cosu c) La seule expression faisant intervenir un produit est
ż
pv1ˆu1˝vq “u˝v
d) Deux expressions formules qui permettent de primitiver un quotient sont ż u1
u “ln|u|
et ż u1
un. Ici commeuest à la puissance 1. On choisit la première.
e) Deux expressions formules qui permettent de primitiver un quotient sont ż u1
u “ln|u|
et ż u1
un. Ici commeuest à la puissance 3. On choisit la seconde.
f) Ici la seule expression avec exp est ż
u1eu“eu. g) Là c’est moins facile, maisfpxq “ 1
xlnxet l’on reconnait ż
u1u“u2 2 . Méthode 2(Reconnaitre la formule d’opérations sur les primitives à utiliser)
Intégration par partie avecv“Ppxqetu1 “ex. On fait autant d’intégration par partie que de degré du polynôme.
ż
x2ex dx“x2ex´ ż
2xexdx“x2ex´2xex` ż
ex“x2ex´2xex`ex Méthode 3(
ż
Ppxqex)
Remarque12. On fera de même pour cos.
Comme précédemment : Intégration par partie avecv “Ppxqet u1“sinx. On fait autant d’intégration par partie que de degré du polynôme.
ż
px2`3x`1qsinxdx“ ´px2`3x`1qcosx` ż
p2x`3qcosxdx
“ ´px2`3x`1qcosx` p2x`3qsinx´ ż
2 sinxdx
“ ´px2`3x`1qcosx` p2x`3qsinx`2 cosx Méthode 4(
ż
Ppxqsinx)
Remarque13. Le cas oùPpxq “1 est cité dans le programme comme étant à connaitre
Par intégration par partie en posant u1“Ppxqcette fois etv“lnx: ż
x2lnxdx“ x3 3 lnx´
ż x3 3 ˆ1
x dx“x3 3 lnx´
ż x2
3 dx“ x3
3 lnx´x3 9 Méthode 5(Ppxqlnx)
Voir exemple précédent ou ci-dessous.
Pour le calcul de : ż
x2?
1´xdx
On propose le changement de variable u“1´x(doncx“1´u).
On a du“ ´dx.
ż x2?
1´xdx“ ż
p1´uq2?
up´duq “ ż
p´u52 `2u32 ´u12 du“ ´2 7 u72 `4
5u52´2 3u32 Méthode 6(Par changement de variable.)
