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Map 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.

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Academic year: 2022

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Map 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.

PC 4 - Année 2015

Lucas Gerin

Inégalités, Vecteurs aléatoires

EXERCICE 1 -Inégalité de Paley-Zygmund Soit X une variable aléatoire telle queE[X]≥0.

1. MontrerX ≤θE[X] +X1{X>θE[X]}

2. En supposant de plus que 0<E[X2]<+∞, montrer que pour tout θ∈]0,1[,

P(X > θE[X])≥(1−θ)2E[X]2 E[X2].

EXERCICE 2 -Une inégalité de dispersion

SoientX etY deux variables aléatoires indépendantes admettant des densités notéesf etg. On suppose que X etY sont intégrables et centrées :E[X] =E[Y] = 0.

1. Démontrer que pour tout x réel,

E[|x−Y|]≥ |x|.

2. En déduire que

E[|X−Y|]≥E[|X|].

EXERCICE 3 - Loi normale

Soit X, Y indépendantes de loiN(0,1)(les questions sont indépendantes).

1. Démontrer que pour tout réelt,

E[exp(tX)] = exp(t2/2).

(On pourra utiliser l'égalité tx−x22 =−(x−t)2 2 +t22.) 2. Démontrer que (X+Y)/√

2suit également la loi N(0,1).

EXERCICE 4 -Une loi max-stable

Soient X1, X2, . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes et ayant toutes la loi de Fréchet : pour tout tdansR,

P(Xi ≤t) =

( exp −1

t2

si t >0, 0 sinon.

1. Démontrer que E[Xi]<+∞.

On note Mn= max{X1, . . . , Xn} la plus grande valeur parmi les npremiersXi.

2. Déterminer la fonction de répartition de Mn, et trouver le nombre an tel que Mn

an suit également la loi de Fréchet.

(2)

EXERCICE 5 - Loi du χ2 et grandes déviations

La loi du χ2 à ndegrés de liberté est la loi de X=ε21+. . .+ε2n où lesεi sont indépendantes et toutes de loi N(0,1).

Cette loi permet de construire des tests statistiques, il est alors important de savoir estimer la taille des uctuations de X autour de son espérance.

1. Quelle est l'espérance et la variance de X? En déduire que

P(|X−n|>√

n x)≤ 1

x2. (1)

On admet que X a pour densité (1/2)Γ(n/2)n/2xn/2−1e−x/21x>0 où Γ(x) = R+∞

0 tx−1e−tdt. On pourra noter cn= (1/2)Γ(n/2)n/2.

2. Pour λ∈]0,1/2[, calculerE(eλX) et en déduire l'inégalité pour toutδ >0:

P(X >(1 +δ)n)≤e−nL(λ) avec L(λ) = (1 +δ)λ+1

2log(1−2λ).

3. Comment choisirλdans l'inégalité précédente pour obtenir le meilleur résultat ? En déduire que

P(X >(1 +δ)n)≤e−nφ(δ)≤e−n(δ2/4−δ3/6) avec φ(δ) = 1

2(δ−log(1 +δ)).

4. En répétant le même raisonnement en remplaçant λpar−λmontrez que

P(X <(1−δ)n)≤e−nψ(δ) ≤e−nδ2/4 avec ψ(δ) =−1

2(δ+ log(1−δ)).

5. En déduire pour tout x >0 l'inégalité de déviation

P(|X−n|>√

n x)≤2 exp

−x2 4 + x3

6√ n

. Comparer avec (1).

EXERCICE 6 -Projections orthogonales

L'ensemble de variables aléatoires de carré intégrable sur un espace de probabilité (Ω,A,P) forme un espace vectoriel, notéL2(Ω,A,P). On dit que X, Y ∈L2(Ω,A,P) sont orthogonales si E[XY] = 0.

1. Soit E1 le sous-espace vectoriel des variables aléatoires constantes. Quelle est la projection orthogonale deX surE1?

2. Soit E2 l'espace vectoriel engendré par Y. Quelle est la projection orthogonale de X sur E2?

Rappelons queπ(X)est la projection orthogonale deX surE siπ(X)∈ E et si pour toutE ∈ E, X−π(X) est orthogonale à E.

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