Map 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.
PC 4 - Année 2015
Lucas Gerin
Inégalités, Vecteurs aléatoires
EXERCICE 1 -Inégalité de Paley-Zygmund Soit X une variable aléatoire telle queE[X]≥0.
1. MontrerX ≤θE[X] +X1{X>θE[X]}
2. En supposant de plus que 0<E[X2]<+∞, montrer que pour tout θ∈]0,1[,
P(X > θE[X])≥(1−θ)2E[X]2 E[X2].
EXERCICE 2 -Une inégalité de dispersion
SoientX etY deux variables aléatoires indépendantes admettant des densités notéesf etg. On suppose que X etY sont intégrables et centrées :E[X] =E[Y] = 0.
1. Démontrer que pour tout x réel,
E[|x−Y|]≥ |x|.
2. En déduire que
E[|X−Y|]≥E[|X|].
EXERCICE 3 - Loi normale
Soit X, Y indépendantes de loiN(0,1)(les questions sont indépendantes).
1. Démontrer que pour tout réelt,
E[exp(tX)] = exp(t2/2).
(On pourra utiliser l'égalité tx−x22 =−(x−t)2 2 +t22.) 2. Démontrer que (X+Y)/√
2suit également la loi N(0,1).
EXERCICE 4 -Une loi max-stable
Soient X1, X2, . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes et ayant toutes la loi de Fréchet : pour tout tdansR,
P(Xi ≤t) =
( exp −1
t2
si t >0, 0 sinon.
1. Démontrer que E[Xi]<+∞.
On note Mn= max{X1, . . . , Xn} la plus grande valeur parmi les npremiersXi.
2. Déterminer la fonction de répartition de Mn, et trouver le nombre an tel que Mn
an suit également la loi de Fréchet.
EXERCICE 5 - Loi du χ2 et grandes déviations
La loi du χ2 à ndegrés de liberté est la loi de X=ε21+. . .+ε2n où lesεi sont indépendantes et toutes de loi N(0,1).
Cette loi permet de construire des tests statistiques, il est alors important de savoir estimer la taille des uctuations de X autour de son espérance.
1. Quelle est l'espérance et la variance de X? En déduire que
P(|X−n|>√
n x)≤ 1
x2. (1)
On admet que X a pour densité (1/2)Γ(n/2)n/2xn/2−1e−x/21x>0 où Γ(x) = R+∞
0 tx−1e−tdt. On pourra noter cn= (1/2)Γ(n/2)n/2.
2. Pour λ∈]0,1/2[, calculerE(eλX) et en déduire l'inégalité pour toutδ >0:
P(X >(1 +δ)n)≤e−nL(λ) avec L(λ) = (1 +δ)λ+1
2log(1−2λ).
3. Comment choisirλdans l'inégalité précédente pour obtenir le meilleur résultat ? En déduire que
P(X >(1 +δ)n)≤e−nφ(δ)≤e−n(δ2/4−δ3/6) avec φ(δ) = 1
2(δ−log(1 +δ)).
4. En répétant le même raisonnement en remplaçant λpar−λmontrez que
P(X <(1−δ)n)≤e−nψ(δ) ≤e−nδ2/4 avec ψ(δ) =−1
2(δ+ log(1−δ)).
5. En déduire pour tout x >0 l'inégalité de déviation
P(|X−n|>√
n x)≤2 exp
−x2 4 + x3
6√ n
. Comparer avec (1).
EXERCICE 6 -Projections orthogonales
L'ensemble de variables aléatoires de carré intégrable sur un espace de probabilité (Ω,A,P) forme un espace vectoriel, notéL2(Ω,A,P). On dit que X, Y ∈L2(Ω,A,P) sont orthogonales si E[XY] = 0.
1. Soit E1 le sous-espace vectoriel des variables aléatoires constantes. Quelle est la projection orthogonale deX surE1?
2. Soit E2 l'espace vectoriel engendré par Y. Quelle est la projection orthogonale de X sur E2?
Rappelons queπ(X)est la projection orthogonale deX surE siπ(X)∈ E et si pour toutE ∈ E, X−π(X) est orthogonale à E.