CAPES de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilité 2001/2002
F10 : Dénombrement, probabilités
Exercice 1 : Dénombrement
1. En comptant de deux façons différentes, le nombre de chemins ’croissants’ allant du point (0,0)au point(n, n)sur un cadrillage, montrer la relation :
X
0≤k≤n
Cnk2
=C2nn
2. Combien y a-t-il de nombres de 5 chiffres écrit en base 10 où 0 figure une fois et une seule ? même question en base 3 ?
3. Soient p et q des entiers strictement positifs quel est le nombre de partitions S(p, q), d’un ensemble àpqéléments enpclasses deqéléments.
4. Quel est le nombre dep-cycle dans le groupe symétriqueSn.
5. Soientnetpdes entiers naturels, combien y a-t-il de suites d’éléments de{a, b}, ayantn+p−1 éléments tel qu’il y ait exactementnfoisa. En déduire le nombre de suites d’entiers naturels ayantpéléments dont la somme est égale àn.
Exercice 2 : Rappeler la formule du crible pour la réunion de 2 ensembles, de trois ensembles, de nensembles. SoitE un ensemble àn éléments etF un ensemble àpéléments, poura∈ F on note Aa l’ensemble des applicationsf deE dans F telles quea 6∈ imf. Quelles relations y a-t-il entre les surjections deE dansF et lesAa? Montrer que l’ensemble des surjections deE dansF est :
p
X
k=0
(−1)p−kCpkkn
Exercice 3 : SoitE un ensemble de cardinal finin.
1. Combien y a-t-il de couples(A, B)de parties deE tels que :A∩B =∅.
2. Combien y a-t-il de couples(A, B)de parties deE tels que :A∪B =E.
3. Combien y a-t-il de triplet(A, B, C)de parties deE tels que :A∪B∪C =E.
Exercice 4 : Combien y a-t-il de zéros à la fin de111!.
Exercice 5 : Quelle est la probabilité d’obtenir 4 comme somme des chiffres fournis par le jet de deux dés ? On répondra en utilisant chacune des deux modélisations suivantes :
1. Ω ={{a, b}/1≤a, b≤6}.
2. Ω ={(a, b)/1≤a, b≤6}.
Exercice 6 : Une main de poker est constituée de 5 cartes, prises dans un jeu de 52 cartes, lors d’une distribution on s’intéresse à la probabilité d’obtenir certaines configurations, pour chacune des configurations suivantes on calculera cette probabilité d’une part en raisonnant sur des suites à 5
4. Un full (trois et deux)
5. Un brelan (trois cartes de même hauteur) 6. Une double paire
7. Une paire
Exercice 7 : On s’intéresse à la transmission d’une information binaire, c’est à dire ne pouvant prendre que deux valeurs. On admet que le procédé de transmission directe entre deux individusA et B est tel que, lorsque A émet une valeur de l’information à destination de B, ce dernier reçoit la valeur émise par A avec la probabilité p, et donc l’autre valeur avec la probabilité q = 1 − p, on suppose que 0 < p < 1. On considère des individus successifs i0, i1, ..., in avec n ∈ N∗. L’information émise par i0 est transmise à i1, qui transmet la valeur reçue à i2, et ainsi de suite jusqu’àin.
Entre deux individus,iketik+1, la transmission de l’information suit la loi décrite plus haut. On note pkla probabilité que la valeur de l’information reçue parik soit identique à celle émise pari0, et on posep0 = 1.
1. Exprimerpk+1 en fonction depk.
2. Déterminer une expression depnen fonction denet dep.
3. Déterminerlimk→∞pk
4. Déterminer unptel quep100>99%
5. Pournfixé, écrire un DLmenpau voisinage de 1. Interpréter le résultat pourm∈ {1,2}.
Exercice 8 : On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n per- sonnes.On noteDune variable aléatoire représentant le nombre de personnes se trouvant entre deux amis dans la queue.
a) Quelle est la loi deD?
b) Pour quelle valeur dek,P(D=k)est-il maximum ?
c) Déterminer l’espérance deD. On pourra utiliser la formule classique suivante
n
X
k=1
k2 = 1
6n(n+ 1) (2n+ 1)
Exercice 9 : On jette un dé, et on veut modéliser le nombre de jets nécessaire pour qu’un 6 appa- raisse à l’aide d’une variable aléatoireN .
a) Déterminer la loi deN. b) CalculerE(N).
Exercice 10 : SoitX une variable aléatoire uniforme sur{0,1,2, . . . ,2n+ 1}, déterminer la loi et l’espérance deY =X(2n+ 1−X)et deZ = cos(Xπ).
Exercice 11 : SoitXune variable aléatoire de Poisson, retrouver son espérance, sa variance. Quelle est sa variable aléatoire centrée réduite associée ?
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F11 : Probabilités conditionnelles, variables aléatoires
Exercice 12 : Un dépistage systématique est effectué sur une population dont 0.1% des individus présentent une certaine affectionAnon apparente. Ce dépistage est débuté par un test qui donne 95%
de résultats positifs pour les personnes atteintes parA, et 1% de résultat positifs pour les personnes non atteintes.
Quelle est la probabilité conditionnelle qu’une personne prise au hasard soit atteinte par Asachant que le test a donné un résultat positif ? soit indemne sachant que le test a donné un résultat négatif ? Exercice 13 : Devant un certain tableau clinique, on estime que 6 personnes sur 10 sont atteintes d’une maladie M. On effectue alors deux tests biologiques dont les résultats sont indépendants (toute la difficulté réside dans la modélisation de cette hypothèse). Les deux tests donnent 95% de résultats positifs pour les personnes atteintes par M, et 10% de résultat positifs pour les personnes non atteintes.
1. Quelle est la probabilité que la personne soit malade si les deux tests sont positifs ? 2. Quelle est la probabilité que le deuxième test soit positif si le premier l’est ?
Exercice 14 : On lance un dé, et on veut étudier le moment où le 6 apparaît pour la première fois.
Modéliser ceci à l’aide d’une variable aléatoire. Calculer son espérance et sa variance. On lance un dé à 6 faces et un dé à 20 faces, quelle est la loi d’une variable aléatoire modélisant l’arrivée du premier 6. SiX et Y sont des variables aléatoires géométriques indépendantes, quelle est la loi de min(X, Y)?
Exercice 15 : on appelle loi hypergéométrique de paramètres (n, a, b), la loi d’une variable aléa- toire modélisant le nombre de boules noires contenues dans un tirages de n boules dans une urne contenantaboules noires etbboules blanches. Déterminer une telle loi. Calculer son espérance.
Exercice 16 : SoitX une variable aléatoire à valeur dansNtelle que : P(X =n) = λxn
n!
1. Déterminerλ.
2. Calculer l’espérance deXet de X+11 .
Exercice 17 : Dans une grande urne se trouve toute les permutations de l’ensemble{1;. . . , n}, on en tire une,σ, au hasard et on modélise le nombre de points invariants deσ, à l’aide d’une variable aléatoireX. On noteUila variable aléatoire valant 1 sur l’ensemble{τ ∈Sn/τ(i) =i}et 0 ailleurs.
1. Déterminer une relation entreX et lesUi. 2. Déterminer l’espérance deUipuis celle deX.
3. Déterminer l’espérance deUiUj et deUi2.
1. Déterminer les lois marginales deX etY. 2. X etY sont-elles indépendantes ?
3. Calculer la covariance deXetY.
4. Déterminer la loi deXconditionnée parY.
5. Y représente le nombre de personnes qui arrivent à un guichet durant une période de 1 mi- nute, X représente le nombre de femmes qui arrivent à ce guichet pendant la même période, comment interpréter le résultat 4.
Exercice 19 : Montrer que la somme de deux variables aléatoires binomiales indépendantes est une variable aléatoire binomiale. De même montrer que la somme de deux variables aléatoires de poissons indépendantes est une variable aléatoire de poisson.
Exercice 20 : Soienta >0etXune variable aléatoire à densité dont la densitéf est définie par : f(x) =
x+lnx
x2 si x∈[1, a]
0 sinon
1. Montrer queaest défini de façon unique, inférieur àe.
2. Calculer l’espérance, la variance et l’écart type deXen fonction dea.
Exercice 21 : Soit X une variable aléatoire uniforme sur [−1; 1[, déterminer la loi et l’espérance deU =|X|,V =X2, etW = 12ln1+X1−X.
Exercice 22 : SoitT une variable aléatoire exponentielle de paramètreλ. Déterminerαtel que P(T < α) =P(T > α)
Exercice 23 : Soient T une variable aléatoire normale centrée réduite, a un nombre strictement positif,X =|T|+a, etY =T +a.
1. Quelle est la loi deY ?
2. Déterminer la fonction de répartition deXen fonction de celle deT. 3. Déterminer la densité deX.
4. Calculer l’espérance est la variance deX.
Exercice 24 : Soit X une variable aléatoire centrée réduite, etn un entier supérieur ou égal à 2.
Pour quelle valeur dea∈R∗, la probabilitéP(a < X < na)est-elle maximale ?
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F12 : Variables aléatoires, convergences de variables aléatoires
Exercice 25 : SoitXune variable aléatoire exponentiel de paramètreα, sa densité est donnée par : f(x) =
αe−αx si x >0
0 sinon
1. Calculer l’espérance et la variance deX.
2. Montrer que :
∀s, t >0, P(X > s+t|X > s) =P(X > t)
En donner une interprétation, lorsque X modélise l’instant ou un phénomène particulier se produit.
3. Soit Y une variable aléatoire à densité telle que P(Y > 0) = 1, P(Y > y) 6= 0, et∀s, t >
0, P(X > s+t|X > s) =P(X > t), montrer queY suit une loi exponentielle.
Exercice 26 : Une photocopieuse tombe régulièrement en panne, on noteX1une variable aléatoire modélisant la durée entre la mise en route de la photocopieuse et la première panne,X2une variable aléatoire modélisant la durée entre la remise en route de la photocopieuse et la seconde panne, et ainsi de suite. on suppose que les variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi exponentielle de paramètre 12.
1. Quelle est la durée moyenne entre deux pannes consécutives.
2. Calculer la probabilité que la photocopieuse fonctionne 3 fois de suite pendant plus de 2 heures.
3. SoitY une variable aléatoire modélisant la durée maximale de fonctionnement continue, lors les trois premières périodes de fonctionnement, calculerP(Y ≤t).
4. Déterminer la densité deY. 5. Calculer l’espérance deY.
Exercice 27 : Soit(X, Y)un couple de variables aléatoires dont la densité est donnée par : f(x, y) =
α|xy| si 0< y < 1− |x|
0 sinon
1. Déterminerα.
2. CalculerP(Y −X <0).
3. Déterminer les lois marginales deX etY.
4. CalculerP(X > 12|Y > 12),XetY sont-elles indépendantes ?
∀t >0, P(|X−m| ≥t)≤ t2 Démontrer dans ce cas, la loi faible des grands nombres.
Exercice 29 : Convergence en loi, de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale.
Soit(Xk)une suite de variables aléatoires hypergéomètriques de paramètres(n, Mk, Nk)telle que
k→+∞lim Mk = +∞ et lim
k→+∞
Mk
Nk+Mk =p∈]0; 1[
montrer que :
k→∞lim P(Xk =l) =Cnlpl(1−p)n−l interpréter le résultat.
Exercice 30 : Soit (Xn) une suite de variable aléatoire binomiale de paramètres (n, pn), tel que limn→∞npn=λ.
1. Calculer pour unkfixé la limite suivante :limn→+∞P(Xn=k).
2. Application : La proportion de maisons touchées par la foudre une année donnée est0,001%, quelle est la probabilité qu’une assurance assurant 100 000 maisons, ait moins de 3 maisons touchées par la foudre, on précisera les hypothèses faites et on les critiquera.
Exercice 31 : SoitX une variable aléatoire binomiale de paramètre 40 et 0,5. Calculer à10−4 prés la probabilitéP(17≤X <24):
1. Directement à l’aide de la loi binomiale.
2. En utilisant le théorème limite central.
3. En utilisant le théorème limite central, en choisissant les bases astucieusement.
Exercice 32 : Une entreprise fabrique des montres, à la sortie0,6%sont défectueuses, on considère un lot denmontres et on noteXnle nombre de montres défectueuses.
1. Comment peut on modéliserXn, quelles hypothèses fait-on alors ?
2. Pourn = 500comment peut-on approximerXn, en déduire une valeur approchée de la pro- babilité d’avoir au plus deux montres défectueuses.
3. Pour n = 10000 comment peut-on approximer Xn, en déduire une valeur approchée de la probabilité d’avoir strictement entre 50 et 70 montres défectueuses.
Exercice 33 : Soient X1, X2, . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, A]. Il faut avoir en tête que l’on ne connaît pas A et qu’on cherche à le déterminer. On pose M = 2n(X1 +. . .+Xn)etS =max(X1, . . . , Xn).
1. Déterminer l’espérance et la variance deM.
2. Déterminer la loi et l’espérance deS.
3. On choisitαtel queT =αSsoit d’espéranceA, déterminer la variance deT.
4. Sur un site de fouille, on retrouve des vis de différentes longueurs, tout laisse supposer que les habitants du lieu, utilisaient un outil permettant de fabriquer des vis de longueurs variables de 1 àAcm, et qu’ils fabriquaient ces vis sans qu’il y ait de longueurs privilégiées. On retrouve des vis de longueurs 3,1 ;5,3 ;1,6 et 5,7 cm, comment peut-on estimerA?
CAPES de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD de probabilité 2001/2002
F13 : Statistiques, intervalles de confiance, tests paramétriques
Exercice 34 : Une étude sur l’utilisation de certains distributeurs de billets SNCF, permet de mieux comprendre les phénomènes d’attentes, on relève toutes les heures le nombre de personnes faisant la queue, et cela pour une dizaine de distributeurs, on obtient les résultats suivant :
Taille de la file d’attente 0 1 2 3 4 5 6 et + Nombre d’observations 24 55 51 40 19 8 5
a) Déterminer la taille moyenne de la file d’attente, ainsi qu’un mode une médiane, et un premier quartile. b) Déterminer la variance de la file d’attente, ainsi que son écart inter quartile.
c) Si on fait l’hypothèse que la taille de la file d’attente suit une loi de Poisson, quel paramètre peut-on choisir pour cette loi ?
Exercice 35 : On admet que la durée de vie, exprimée en jours, d’un composant électronique suit une loi normale d’écart type 70. Les durées de vie de 250 composants ont donné une moyenne de 450 jours. Donner un intervalle de confiance à 99% de la durée de vie moyenne d’un composant. On admettra que la somme de deux variables aléatoires normales indépendantesN(m, σ2)etN(m0, σ02) suit une loiN(m+m0, σ2+σ02).
Exercice 36 : Un échantillon de 478 électeurs choisis aléatoirement, indique que 255 d’entre eux vont voter pour A. Évaluer des intervalles de confiance à 1% et à 5% pour la proportion d’électeurs votant pour A.
Exercice 37 : On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportionpest défec- tueuse. On contrôle un lot de 200 pièce et on trouve 20 pièces défectueuses. Donner des intervalles de confiance pour l’estimation dep, au niveau 95% puis 99%.
Exercice 38 : Des appareils électriques de chauffage ont une moyenne de vie de fonctionnement de 20000 heures avec un écart type de 7000 heures. À l’aide d’un changement de composant, le fabri- cant affirme que la durée de vie moyenne peut être accrue. On a testé un échantillon de 127 appareils et on a observé une durée de vie moyenne de 21000 heures. Peut on soutenir cette affirmation au risque de 5%, 1% ?
Exercice 39 : Une pièce jetée 660 fois tombe 312 fois sur pile, pensez vous que cette pièce est bien équilibrée ?
Exercice 40 : Le fabricant d’une nouvelle solution anti rouille annonce que son produit est efficace à 90%. Dans un échantillon de 500 pièces le résultat est probant pour 420 d’entre elles. L’affirmation du fabricant est-elle légitime ?
Exercice 41 : Deux machines A et B fabriquent en série la même pièces. Lors d’une expertise de la production, on remarque que la machine A a produit 2700 pièces dont 50 sont défectueuses alors que sur les 1600 pièces produites par la machine B, 35 sont défectueuses. Doit-on conclure que la machine A est mieux réglée que la B ?
