Chapitre VIII : Probabilités conditionnelles I – Probabilités sur un ensemble fini et variables aléatoires : Vocabulaire :

Chapitre VIII : Probabilités conditionnelles

I – Probabilités sur un ensemble fini et variables aléatoires : Vocabulaire :

• On appelle expérience aléatoire toute expérience dont l'issue est liée au hasard.

• On appelle éventualité ou événement élémentaire tout résultat possible d'une expérience aléatoire.

• On appelle univers, noté en général , l'ensemble de toutes les éventualités.

• On appelle événement tout sous-ensemble de l'univers.

• On appelle événement impossible, noté ,l'évènement ne contenant aucune éventualité.

Exemple : On considère l'expérience suivante : On jette deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note le résultat des faces supérieures sous forme de couple.

• (2 ; 3) est une éventualité.

• L'univers est l'ensemble ci-dessous :

={1;1;1;2;1;3;1;4;1;5;1;6;2;1;2;2;2;3;2;4;2;5;2;6;

3;1;3;2;3;3;3;4;3;5;3;6;4;1;4;2;4;3;4;4;4;5;4;6;

5;1;5;2;5;3;5;4;5;5;5;6;6;1;6;2;6;3;6;4;6;5;6;6}

• L'ensemble des couples admettant pour première coordonnée le chiffre 2 est un événement.

Notons A cet événement; A={2;1;2;2;2;3;2;4;2;5;2;6}. Définitions 1

• Deux événements A et B d'un univers sont incompatibles si A∩B=∅

• Deux événements A et B d'un univers sont contraires si A∩B=∅et A∪B=. On note B= A .

Définitions 2 : Soit  un univers comportant n éventualités : ={e_{1 ,} e_{2 ,} e_{3 ,} ⋯, e_n}.

Définir une loi de probabilité p sur  consiste à associer à chaque éventualitée_i de  un réel p_i compris entre 0 et 1, tel que

∑

i=1 n

p_i=1 . On note p_i=pe_i.

p doit vérifier : pour tout événement A et B incompatibles : pA∪B=pApB Reprise de l'exemple précédent :

Chacune des éventualités admet pour probabilité 1 36 .

pA=p2;1p2;2p2;3p2;4p2;5p2;6=6 ×1 36=1

6

Propriétés 1 : Soit  l'univers d'une expérience donnée et p une loi de probabilité définie sur .

• p() = 1 et p() = 0.

• Pour tout événement A de  , p A=1−pA

• Si A est inclus dans B, alors pApB.

• Si A et B sont deux événements quelconques de  alors pA∪B=pApB−pA∩B

Reprise de l'exemple précédent :



A={1;1;1;2;1;3;1;4;1;5;1;6;3;1;3;2;3;3;3;4;3;5;3;6;

4;1;4;2;4;3;4;4;4;5;4;6;5;1;5;2;5;3;5;4;5;5;5;6;

6;1;6;2;6;3;6;4;6;5;6;6}

p A=30 ×1 36=5

6 ou p A=1−pA=1−1 6=5

6 .

Notons B l'événement : les couples admettent pour deuxième coordonnée le chiffre 3 . B={1;3;2;3;3;3;4;3;5;3;6;3}, pB=6 ×1

36=1

6 A∩B={2;3}

d'où pA∪B=pApB−pA∩B=1 6 1

6 −1 36=11

36

Définition 3 : Soit  un univers comportant n éventualités : ={e_{1 ,} e_{2 ,} e_{3 ,} ⋯, e_n}et p une loi de probabilité sur .

On dit qu'il y a équiprobabilité si les probabilités de chaque éventualité sont identiques, c'est à dire si : pe₁=pe₂=⋯=pe_n.

Propriété 2 : Soit  un univers comportant n éventualités : ={e_{1 ,} e_{2 ,} e_{3 ,} ⋯, e_n}et p une loi d'équiprobabilité sur  , alors :

• pour tout i∈{1, ⋯, n}, pe_i=1 n

• Soit A un événement contenant k éventualités, alors : pA=k

n=nombre d'éventualités favorables nombre total d'éventualités . Démonstration :

Exemples : On peut recalculer ainsi pA=6 36=1

6 et pB= 6 36 =1

6 .

Définition 4 : Soit  l'univers d'une expérience donnée et p une loi de probabilité définie sur .

• Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui à toute éventualité de  associe un nombre réel.

• La fonction X permet de définir sur ℝ une nouvelle probabilité p_X. Si a est un réel et A l'ensemble des éventualités de  qui ont pour image a, alors ^pXa=pX=a=pA

Reprise de l'exemple du jet des deux dés.

On note X la variable aléatoire réelle égale à la somme des faces supérieures.

Dans ce cas X prend les valeurs 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.

On a : ^pX2=pX=2=p{1 ;1}=1

36 ; p_X3=pX=3=p{1 ;2;2,1}=2 36 p_X4=pX=4=p{1 ;3;3,1;2,2}= 3

36 p_X5=pX=5=p{1;4;2 ;3;3,2;4,1}= 4

36

p_X6=pX=6=p{1;5;2 ;4;3;3;4,2;5,1}= 5 36 p_X7=pX=7=p{1;6;2 ;5;3;4;4;3;5,2;6,1}=6

36 p_X8=pX=8=p{2;6;3 ;5;4;4;5,3;6,2}= 5

36 p_X9=pX=9=p{3;6;4 ;5;5,4;6,3}=4

36 p_X10=pX=10=p{4;6;5 ;5;6,4}= 3

36 p_X11=pX=11=p{5;6;6,5}=2

36 ; p_X12=pX=12=p{6;6}=1 36 .

On représente en général la loi de probabilité de X sous forme d'un tableau.

x_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

pX=x_i ¹ 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36 Définition 5 : Soit X une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x_1,x_2, ⋯x_n . L'espérance mathématique de X est la moyenne, notée EX, pondérée par les probabilités, des valeurs

x_1,x_2, ⋯x_n.

On a donc EX=

∑

k=1 n

x_ipX=x_i=x₁ pX=x₁x₂ pX=x₂⋯x_npX=x_n Reprise de l'exemple :

EX=

∑

k=1 n

x_ipX=x_i

= 2 ×1

363 ×2

364 ×3

365 ×4

366 ×5

367 ×6

368 ×5

369 ×4

3610 ×3

3611 ×2

3612 ×1 36

=252

36 =7 et donc EX=7

Définition 6 : Soit X une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x_1,x_2, ⋯x_n . La variance mathématique de X est la moyenne , notée VX, pondérée par les probabilités, des carrés des écarts des valeurs x_1,x_2, ⋯x_nà la moyenne E(X) .

On a donc VX=

∑

k=1 n

x_i−EX² pX=x_i

=x₁−EX² pX=x₁x₂−EX² pX=x₂⋯x_n−EX² pX=x_n

Propriété 3 : Soit X une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x_1,x_2, ⋯x_n, alors la variance mathématique de X égale : VX=EX²−[EX]²

Démonstration : Reprise de l'exemple :

EX²=

∑

k=1 n

x_i² pX=x_i

= 2² ×1

363² ×2

364² ×3

365² ×4

366² ×5

367² ×6

368² ×5

369² ×4

3610² ×3

3611² ×2

3612² ×1 36

=1974

36 =329 6 D'où EX²=329

6 et [EX]²=49=294

6 et donc VX=35

6 ≃5,83 . II – Probabilités conditionnelles et événement indépendants :

Approche : Une entreprise comprend des hommes et des femmes, qui sont cadres ou ouvriers selon la répartition ci-dessous.

Sexe

Catégorie Hommes Femmes Total

Ouvriers 152 85 237

Cadres 13 3 16

Total 165 88 253

On choisit au hasard une personne de cette entreprise.

On note respectivement H,F, O et C les événements « la personne est un homme, une femme, un ouvrier,un cadre ».

1. Quelle est la probabilité de chacun de ces événements?

2. Quelle est la probabilité de l'événement F∩C?

3. On choisit un cadre. Quelle est la probabilité, p_CF, pour que ce soit une femme?

On détermine ainsi la probabilité d'avoir choisi une femme sachant que la personne est un cadre. On parle alors de probabilité conditionnelle.

On constate que p_CF= .

Définition 7 : Soient A et B deux événements d'un univers  muni d'une probabilité p . B ayant une probabilité non nulle.

On définit la probabilité que l'événement A soit réalisé sachant que l'événement B est réalisé, notée p_BA, par le quotient p_BA=pA∩B

pB

Propriété 4 : Soient A et B deux événements d'un univers  de probabilité non nulle. On a alors : pA∩B=p_BA×pB=p_AB×pA

Démonstration :

Exemple : Une urne U₁contient trois boules vertes et sept boules rouges et une urne ^U2contient six boules vertes et quatre boules rouges.

On choisit une urne au hasard puis une boule dans cette urne.

On note U₁l'événement : choisir l'urne U₁ On note ^U2l'événement : choisir l'urne ^U2

On note V l'événement : choisir une boule verte.

On note R l'événement : choisir une boule rouge.

1. Donner les probabilités ^pU₁et ^pU₂

2. Déterminer les probabilités p_U1R, p_U2R, p_U1Vet p_U2V On résume ces résultats dans un arbre appelé arbre de probabilité.

Remarque : On constate, d'après la formule ^pA∩B=p_BA×pBqu'on obtient, en effectuant le produit des probabilités d'une branche, la probabilité de l'intersection.

Définition 8 : Deux événements A et B d'un univers  , de probabilité non nulle sont indépendants si pA∩B=pA×pB.

Propriété 5 : Si A et B sont deux événements indépendants, alors p_BA=pAet p_AB=pB Reprise du premier exemple : jet de deux dés.

A={2;1;2;2;2;3;2;4;2;5;2;6}

Notons ^A1 : obtenir 2 en première coordonnée

et ^A2 : obtenir un chiffre compris entre 1 et 6 en deuxième coordonnée. A=A₁ ∩A₂ Les événements ^A1et^A2sont indépendants car pA₁×pA₂=1

6 ×1=1

6=pA

III – Formules des probabilités totales :

Définition 9 : Soit  un univers. On dit que les événementsB_{1 ,} B_{2 ,} ⋯, B_nforment une partition de

 lorsque les conditions suivantes sont réalisées :

• aucun des événements n'est impossible.

• Les événements sont deux à deux incompatibles

( c'est à dire pour tout couple (i , j) aveci≠j , B_i∩B_j=∅)

• la réunion de ces événements est égale à .

Propriété 6 : Soit  un univers et B_{1 ,} B_{2 ,} ⋯, B_n une partition de  . Alors pour tout événement A de  , pA=p_B1A×pB₁p_B2A×pB₂⋯p_BnA×pB_n.

Démonstration :

Exemple : Une entreprise fabrique des composants électroniques. Elle utilise pour un même composant trois machines différentes, notés M_1, M₂ et M₃.

La machine^M1fabrique 50% de la production avec un taux de composants défectueux égal à 1 %.

La machine^M2fabrique 30% de la production avec un taux de composants défectueux égal à 2 %.

La machine^M3fabrique 20% de la production avec un taux de composants défectueux égal à 5 %.

On prélève en fin de journée, dans la production totale, un composant.

Quelle est la probabilité de choisir un composants défectueux?