Chapitre n°2: Probabilités conditionnelles
Objectifs.
O5- Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.[On représente une situation à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau]
O6- Exploiter la lecture d'un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.
[Un arbre pondéré correctement construit constitue une preuve]
O7- Calculer la probabilité d'un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l'univers. Notation PA(B) [Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales n'est pas un attendu du programme, mais la mise en œuvre de cette formule doit être maitrisée][Cette partie du programme se prête particulièrement à l'étude de situations concrètes]
Activité d'approche n°1
Lors d'une vente promotionnelle dans une boutique, une étude sur 200 clients a montré que :
- 120 clients achète un tee-shirt.
- Parmi les autres clients, 40 achètent un jean.
- Parmi les clients qui achètent un tee-shirt, 24 achètent un jean.
On consulte, au hasard, la fiche d'un client. On considère les évènements : A : « le client achète un tee-shirt ».
B : « le client achète un jean »
1. Calculez la probabilité P(A) que le client achète un tee-shirt.
...
...
2. En déduire la probabilité P(
A
) que le client n'achète pas de tee-shirt....
...
3. Complétez le tableau ci-dessous, donnant la répartition des fiches, en effectif, sachant que le client achète ou non un tee-shirt :
Tee-shirt Pas de tee-shirt
Jean 24 ...
Pas de jean ... ...
total 120 ...
4. On sait que la fiche choisie est celle d'un client qui n'achète pas de tee-shirt.
Quelle est la probabilité qu'il achète un jean ?
...
...…
5. Parmi les clients qui achètent un tee-shirt, calculez la probabilité PA(B) de ceux qui achètent un jean.
...
...
6. Donnez la probabilité P(A B) que le client achète à la fois un tee-shirt et un jean.
...
...
7. Parmi les clients qui n'achètent pas de tee-shirt, calculez la probabilité PA(B) de ceux qui achètent un jean.
...
...
...
...
8. Complétez l'arbre pondéré ci-contre : 9. Comment retrouve-t-on P(A B) à partir de cet arbre ?
...
...
...
...
10. En regardant les résultats précédents, donnez une relation entre PA(B), P(A B) et P(A) :
...…
...…
...…
...…
………...…
……….
Cours n°1
Chapitre n°2: Probabilités conditionnelles
I) Probabilités conditionnelles
Définition n°1 (probabilité conditionnelle)
La probabilité de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé se note
…... et s'appelle la probabilité conditionnelle.
Propriété n°1 (Probabilité conditionnelle)
Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle. La probabilité de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé s'obtient par la
formule : PA(B) =
...
...
et P(AB) =…...Exemple n°1
Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 4000 paires. 120 paires sont défectueuses et proviennent du premier atelier.
1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?
…...
...
...
...
2.Compléter ce qu'il est possible dans l'arbre pondéré :
Propriété n°2 (propriétés des arbres pondérés) Dans un arbre pondéré :
● la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut ….
● la probabilité d'un chemin vaut le …... des probabilités qui compose ce chemin.
Définition n°2 (Partition d'un ensemble)
Un ensemble de parties d'un ensemble est une partition de cet ensemble si :
● aucune de ces parties est vide.
● l'union de toutes les parties redonne .
● l'intersection de chacune des partie avec n'importe quelle autre partie est vide.
Exemple n°2 :
Dans un jeu de 32 cartes, si l'on répartie les cartes suivant les couleurs, on fait une partition du jeu.
Proposer une autre partition :
...
...
...
...
Propriété n°3 (formule des probabilités totales) Soit A1, A2,.., An une partition de l'ensemble Alors la probabilité d'un événement B vaut : P(B)=P(A1B)+P(A2B)+...+P(AnB)
Exemple n°3
On reprend l'exemple n°1 : le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 4000 paires ; 120 paires sont défectueuses et proviennent du premier atelier. On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,3.
1. Compléter l'arbre :
2. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?
…...
...
...
2. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?
…...
...
...
...
Exercice n°1 Ex.3 p.158
Exercice n°2
Ex.6 p.158 Exercice n°3*
Ex.9 p.158 Exercice n°4*
Ex.10 p.159 Exercice n°5*
Ex.23 p.160 Exercice n°6*
Ex.24 p.160
Cours n°2 II) Arbres pondérés et probabilités.
Propriété n°4
Dans un arbre pondéré :
1- la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à ….
2- la probabilité d'un chemin est égal au ... des probabilités des branches composant ce chemin.
3- la probabilité d'un événement est la ... des probabilités des chemins conduisant à cet événement.
Exemple n°4
Une urne contient deux boules bleues, trois boules vertes et une boule rouge.
On prélève au hasard une boule, puis, sans la remettre, on en prélève une seconde. On suppose qu'à chaque prélèvement, toutes les boules présentes dans l'urne ont la même probabilité d'être tirées.
B1 est l’événement « obtenir une boule bleue au premier tirage ».
V1 est l’événement « obtenir une boule verte au premier tirage ».
R1 est l’événement « obtenir une boule rouge au premier tirage ».
B2 est l’événement « obtenir une boule bleue au second tirage ».
V2 est l’événement « obtenir une boule verte au second tirage ».
R2 est l’événement « obtenir une boule rouge au second tirage ».
1. Complétez l'arbre ci-contre avec les événements et les probabilités :
2. Déterminez la probabilité de
l’événement « obtenir deux boules de la même couleur ».
…...…
...…
...
...
...…
3. Déterminez la probabilité de l’événement « obtenir une seule boule bleue au cours des deux tirages ».
…...
...
Propriété n°5 (rappel)
P(A U B)=P(A)+P(B) - P(A
... B)Exercice n°7
Ex.14 p.159 Exercice n°8
Ex.16 p.159 Exercice n°9
Ex.34 p.162 Exercice n°10*
Ex.53 p.164 Exercice n°11*
Ex.54 p.164
Exercice n°12** (préparation au bac) Sujet A, p.172
Exercice n°13** (préparation au bac) Sujet E, p.173
Exercice n°14** (préparation au bac)
Sujet F p.174
Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Ex.1 1.«Parmi les femmes » ; PF(R)=0,25 2. «des hommmes » ; PH(R)= 1
3 3. « Chez les personnes retraitées » ; PR(F)=0,45 4. « Lorsqu'on interroge un homme » ; PH(R¯ )=0,67 5. « des personnes non retraitées » ;PR (F)=0,55
Ex.2 1. P(Q)=0,1;P(R)=0,22;P(QR)=0,04 2. PQ(R)=0,4 « Probabilité que l'exercice choisi soit une question sur les probabilités sachant que c'est un QCM » - PR(Q)= 2
11
Ex.3 : 1.a.P(C)=0,7 ; P(C)=0,3 ; 1.b.PC(V)=0,8 ; PC(V)=0,1 2.a. « l'employé interrogé est un commercial possèdant une voiture de fonction » - P(CV)=0,56 2.b. « l'employé n'est pas un commercial et possède une voiture de fonction » - P(CV)=0,03
Ex.4 : 1. 59
200 2. 23
50 3. 9
50 4. 3
4 5. 24 47
Ex.5 ( Ex.23 p.160 ) 1. P(S) = 0,75 ; P(C) = 0,5 ; P(S ∩ C) = 0,3 2. PC(S) = 0,6 3. PS(C) = 0,4.
Ex.6* (Ex.24 p.160 ) 1. P(B) = 0,84 ; P(T) = 0,75 et P(B ∩ T) = 0,63 2. PT(B) = 0,84 3. PT(B) = 0,16 Ex.7 (Ex.14 p.159 ) 1. 0,65=P(B) ; 0,1 = PA(C) ; 0,6 = PB(C) 2. P(A)=0,35 ; PB(C) = 0,4 ; PA(C) = 0,9 3.
P(A ∩ C) = 0,035 ; P(B ∩ C) = 0,26
Ex.8 ( Ex.16 p.159 ) ( Ex.16 p.159 ) 1. 2.
P( E )=0,35 ; PE( F ) = 0,48 ; PE( F ) = 0,64 3. P(E ∩ F) = 0,338 ; P(E ∩ F) = 0,312 ; P(E ∩ F) = 0,126 ; P(E ∩ F) = 0,224.
Ex.9 ( Ex.34 p.162 ) 1. PA(B).
Ex.10* ( Ex.53 p.164 ) 1. P(F) = 0,6 ; PF(M) = 0,45 ; PG(M) = 0,35 2.
3.a. P(F ∩ M) = 0,27 3.b. P(G ∩ M) = 0,14
Ex.11* ( Ex.54 p.164 ) 1. P(V)=0,2 ; PV(D) = 0,96 ; PV(D) = 0,05 2.
3. P(V ∩ D) = 0,192 4. P(D)=0,232
Ex.12** : non corrigé (donné en DM n°2 ) Ex.13**: non corrigé (donné en DM n°2 ) Ex.14**: non corrigé (donné en DM n°2 )
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
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