L'interaction hélicon-magnon dans le chrome

-'-L'INTERACTION HELICON-MAGNON DANS LE CHROME

par

Alain CAILLE, B.Sc.

La relation de d.ispersion des,mod.es normaux "hélicon-magnon" est calculée d.ans la phase antifer-romagnétique du chrome,utilisant la cond.ition d.'auto-cohérence pour les ondes

à

polarisation circulaire. cettè condition est-obtenue en imposant des solutions d.e propagation a,ux équat'ions d.e Maxwell.La constante diélectrique utilisée est obtenue par un calcul du tenseur de

cond.uctivit~

dans l'approximation d'une réponse linéaire.La relation ,de dispersion des man-gnons est calculée dans l'approximation d.u modèle

d'Heisenberg avec d.eux contantes d'échange et un champ magnétique interne d'anisotropie.Un calcul de la sus-ceptibilité magnétique a été effectué

à

l'aide de la théorie de la réponse linéaire utilisant comme état propre non-perturbé,les modes normaux d'excitation magnétique. Une étude des conditions expérimentales et du domaine d'application de ces calculs est fi-nalement présentée.

Institut de Physique Théorique Université McGill

L'INTERACTION HELICON-MAGNON

DANS LE CHROME .'

ppr

.;t8

L'INTERACTION HÉLICON-MAGNON DANS LE CHROME

par

Alain CAILLÉ, B. Sc. .

Thèse soumise à la "Faculty of Graduate Studies and Research" pour l'obtention de la Maîtrise es Sciences.

Institut de Physique Théorique Université McGill Montreal f 1: l. '&_.,.

@

Alain Caillé Janvier 1969 1969

TABLE DES MATIÈRES

Chapitre Page

l - INTRODUCTION •••••.••••••••••••••••••• ~ •••.• 1

II - LE TENSEUR DIELECTRIQUE... 4

III - LES ONDES DE SPIN... 18

'" IV - INTERACTION HELICON-MAGNON... 29 CONCLUSION... 38 ANNEXE A ••••• ,... 39

ANNEXE. B...

43

BIBLIOGRAPHIE'... • • • • • • . • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • 45

SOMMAIRE

La relation de dispersion des modes normaux "h@licon-magnon" est calculée dans la phase antiferromagnétique du chrome;e~ utilisant la condition d'autocohérence pour les ondes à polari-sation circulaire. Cette condition est obtenue en imposant des solutions de propagation aux équations de Maxwell. La constante _ diélectrique 'utilisée est obtenue par un calcul du tenseur de

conductivité dans l'approximation d'une réponse linéaire. La relation de dispersion des magnons est calculée dans l'approxi-mation du·modèle d'Heisenberg .avec deux constantes d'échange et un champ magnétique interne anisotropique. Un calcul de la susceptibilité magnétique a été effectué à l'aide de la théori~

de la réponse linéaire utilisant comme état propre non-perturbé, les modes normaux d'excitation magnétique. Une étude des condi-tions expérimentales et du domaine d'application de ces calculs est finalement présentée.

•

CHAPITRE l INTRODUCTION

Cette étude illustre l'interaction hélicon(magnon_dans une phase antiferromagnétique. Ceci permet d'utiliser le mode hélicon afin de mieux connattre la structure magnétique du chrome. Le mode hélicon est une onde plan~, transversale et polarisée

circulairement. Elle se propage dans un solide l , sous certaines conditions particulières. De façon générale, nous devons avoir un champ magnétique extérieur de haute intensité (plusieurs kilogauss) et un spécimen très pur.

En premier lieu, nous devons calculer le tenseur de con-ductivité d'un gaz de porteurs soumis à une perturbation à front d'onde plan. Nous refermons la boucle d'autocohérence à l'aide des équations de Maxwell. Les changements du tenseur de conductivité sont évalués en utilisant la théorie sur la réponse linéaire. Nous

. 2 3

choisissons un modèle particulier pour le gaz de porteurs ' Ce modèle détermine directement les modes hélicons utilisés afin d'illustrer l'interaction hélicon-magnon. La structure électronique des métaux de transition est en général très complexe. Mais optons pour un gaz à deux types de porteurs,ie, les électrons et les trous. Se basant sur les références (2) et (3), le chrome est un métal non-compensé ayant plus d'électrons que de trous.

Aux basses énergies, nous représentons les états excités en termes de modes normaux d'excitation. L'hamiltonien choisi pour

simulerl~s phénomè~es magnétiques est du type d'Heisenberg, ,ie, une interaction d'échange entre d~s'moments magnétiques localisés. Les pr:opr:i.étés magnétiques du chrome s'expliquent admirablement bien en terme d'une modulation de la densité des. spins (SDW). Nous avons donc lieu de croire qu'il n'existe pas de moments magnétiques localisés. 'Seul l'effet de refroidissement 4, demeure inexpliqué. Cette propriété indique que le modèle idéal' doit cODtenir un terme d'interaction d'échange du moins indi~ectement. Un tel effet

n'existe pas si les propriétés magnétiques ne proviennent que d'une modulation des spins électroniques.

Les modes normaux d'excitation d'un hamiltonien d'Heisenberg s'obtiennent facilement. L'adoption de ce modèle constitue un premier pas dans l'élaboration desDDdes mixtes hélicon-magnon. Nous ne pou-vons justifier entièrement le modèle d'Heisenberg. Il est permis d'espérer, lorsque nous passons du modèle aux moments magnétiques localisés au modèle SDW, que les propriétés magnétiques seront moins modifiées que les propriétés électroniques 5 • Considérons la

figure 3 de la référence 6 • Les cercles intérieurs représentent le domaine d'application des divers types d'échanges. Les cercles extérieurs indiquent les extensions périphériques des divers types de modèle magnétique (voir figure 12). Pour les régions A, C et D, nous pouvons écrire l'interaction sous forme d'un hamiltonien d'Heisenberg. Considérant le recouvrement de la région B par les régions A, C et D, nous pouvons justifier partiellement l'utilisation d'une interaction d'échange direct.

Nous tenons compte de l'interaction hélicon-magnon en évaluant la réponse magnétique de notre syst~e de spins. Nous choisissons une perturbation ayant la forme et la symétrie du' champ magnétique. du mode hélicon. La propriétéd~utocohérence est imposée en utilisant les équations de Maxwell. Nous incluons

l'évaluation de certaines propriétés magnétiques en termes de notre

CHAPITRE II

LE TENSEUR· DIELECTRIQUE

La nature tensorielle de la constante de conductivité provient de deux effets différents : d'une part de la structure

de bandes des électrons dans les métaux réels et d'autre part du champ magnétique local. Adler 7 élabora une théorie quantique de la constante diélectrique qui tient compte des effets de la

structure de bandes des électrons. Notre étude considérera ces effets d'une façon macroscopique. ·Nous utiliserons un gaz de porteurs de charge électrique .avec une surface de Fermi sphérique

~

mais une masse effective de natu~e scalaire m • La réponse diélectrique d'un gaz de porteurs de. charge ~ une perturbation électromagnétique composée d'un front d'onde plan suscite beauco~p

d'intér@ts. Ceci est motivé par les résultats des expériences sur l'absorption des ~ndes·é1ectromagnétiques et des ondes sonores dans les métaux 8 • Plusieurs auteurs 9, 10 , imposant la limite

macroscopique

,..,0

, ont évalué la réponse diélectrique d'un gaz de porteurs ~ une perturbation avec un front d'onde plan en

prés.ence d'un champ magnétique extérieur ho • L'équation de

Boltzmann sur le transport des porteurs fut utilisée 11 â 15 pour généraliser aux nombres d'onde ~~o • Plusieurs chercheurs 16, 17, 18

traitèrent le prob1èm~ dans un schéma totalement quantique. L'étude présente suivra de très près la méthode de Quinn et·

19

Rodriguez • Ceux-ci font appel au principe d'autocohérence afin d'évaluer la réponse â une perturbation avec un front d'onde plan.

La solution exacte de l'équation de l'opérateur densité est déterminée en imposant â l'opérateur un comportement par rapport au temps de la forme exp (i~t).

La méthode que nous utilisons requiert un nombre moindre

d'hypoth~ses. Nous tenons compte de la perturbationâ l'aide de

la théorie de la réponse linéaire. Dans cette théorie, aucune restriction n'est imposée sur le comportement en fonction du temps de l'opérateur densité ~ ; si ce n'est ~e fait que les change-ments de ~ soient petits par ~apport â1a valeur

t'. '

ie,

l'opérateur densité dans l'état non-perturbé. Nous écrivons l'hamiltonien de façon à rendre explicite sa dépendance sur le

"1.

t:~ps, ie,

H -::

H ..

H'

f(t)

•

(1)

où H

o est l'hamiltonien des états propres d'une particu],e.'·

L'opérateur densité dans l'état non-perturbé

fo

est défini par la relation:

(2) , i. e. ,

(3)

où ~ est le potentiel chimique.

L'opérateur

N :

représente le nombre de particules dans chaque état propre uniparticulaire dans une représentation

-6-r

=

1'0

+

p,

(4)

L'équation d'évolution de l'opérateur densité, retenant seulement les termes du premier ordre, s'écrit maintenant:

(5) L'équation (5) est simplifiée si nous utilisons une représentation intermédiaire entre la représentation de Schr8dinger et celle d'Heisenberg. Celle-ci est définie par la transformation:

pct)::.

-I4f( "

~"t]

P,

-'A-f(

- i

\~::t]

(6) L'équation (5) se réduit donc à:

)f(t)

=

i

(D

"'lt"

F

(t)

"lt

~ , 0 )

!J

(7) Un autre terme doit être introduit afin de tenir compte du phénomène de relaxation du système et d'assurer la convergence

de l'intégrale à

t=

-co • Nous ajoutons à l'équation (7) le terme suivant: -pit} • La solution est alors:

"Y

"t

/"tl::

t \

-"tor[

t'-

1;) [

f ••

H"

t'»

f

(t')

cl

t'

(8)

.

J-

co _"

La valeur moyenne d'un opérateur

JL ,

représentant une variable dynamique ~ , en équilibre thermodynamique à une température

lr

s'évalue à partir de l'équation suivante:

(9) En utilisant les propriétésde permutation cyclique,nous obtenons:

't

<,,>-

<A.)

=

t

t..

r. \

-vlt'T~

flt'>["'l\'l, Al

t

3

dt'

(10)

Le facteur exp (

t~t)

vergence de l'intégrale harmonique du temps.

-7-est nécessaire pour assurer la

con-1

à

t

= -

Q) .si

F

(t' )

est une fonction

Les hélicons étant des ondes électromagnétiques trans-versa1es, nous utiliserons, dans le calcul du tenseur diélectrique, une jauge transversale, incluant la condition suivante sur le

"::,

potentiel électrique:

,=

0 • L'hamiltonien uniparticu1aire pour un gaz .èl'é1ectrons est alors:

a.

t-I

=

.-l.-__ \

_{.tIR\. ....}

l \)

+.:&:.

A

0 ...

.!:..

A'l\

T '- , (11)

e est la valeur absolue de la charge électrique de l'électron. Si le champ magnétique

e~térieur

ho

est dirigé selon l'axe

1r '

le potentiel magnétique extérieur, dans la jauge de Landau, est

Ao:

ho{o,x.,o) :

Le

~otentie1

magnétique

Ji

dû aux charges

électriques en mouvement dans le gaz d'électrons, est soumis au principe d'autocohérence. Considérons Ho ' l'hamiltonien unipar-ticulaire de l'état non-perturbé, comme étant:

a.

H

-...L ... \

l-l?

+.!.

~o)\

(12)

. - ~tan. ,

Les fonctions propres de H sont,se1on la notation de Dirac,

o

(13)

lx-x.)

représente une fonction propre de l'oscillateur harmonique centrée en v . " _{.... ;--.0=-____} , L K",

' " Wc. 0

.... 8 ....

pour une surface de Fermi sphérique. Les niveaux d'énergie élec-tronique sont donnés par:

(14) L'hamiltonien total (11), incluant les termes de perturbation s'identifie dans l'approximation de l'ordre de ~.~

â:

H

avec

Ho ....

..!:.. ( lIT. A' -t

A'.

1\)""1

.a.c.

-

-

-

'J

(15)

(16)

Le mode hélicon étant une onde plane se propageant â

l'intérieur du gaz d'électrons nous devons imposer des conditions de départ sur le calcul du tenseur diélectrique. La conditi'on

,

d'autocohérence est satisfaite si le potentiel interne

b.

est relié à une onde électromagnétique plane E grâce aux équations de Maxwell. Il existe plusieurs autres types d'excitations du gaz d'électrons mais nous avons particularisé le calcul à la recherche des hélicons avec l'aide de l'équation de Maxwell:

E

=

-V+ -

l

"Hi

- - Co '}t

Nous obtenons dans une jauge txansvexsale:

t

représente la direction de polarisation transverse à la direction de propagation ~. Nous utilisons une perturbation monochromatique:

0"

(19)

on ~ es t l'opérateur posi tien. Considérons l'opérateur densité de courant

i

=

-~{~ J(~-I!l+ ~(~-g)~]

s'ecrit: "

; la fonction delta

(20)

La condition de monochromaticité et d'autocohérence nous permet d'écrire:

(21)

Tous les opérateurs sont écrits selon la représentation de la seconde quantification. Nous pouvons définir un opérateur

."

"

de creation

C

et "de destruction C par les relations:

r

z:..

1'4\.. .,

C \ .•.. dt, .-' - (-I)j<' , rit \ .... t'I\ -, •••. )

1 y ~ - l ~

T & ,...,

C. \ ...• dl

T···)

-=

(-l) jc.f ) h -l'tl .. ) \ ....

""w--,._)

l' ~ "'-,

le terme (-,) f,-t , détermine le signe de la fonction d'onde dans la représentation·d'occupation. La fonction d'onde multi:iarticulaire

poss~d~ tn..1'l'L

T,= 0.1) élection dans l'état

uniparti-cu1aire IY:> ': \l'tl.

~~ ~

"tr) • Les

o~érateurs

'" et

c~

sont des fermions satisfaisant les relations de 'commutation suivantes:

( "'" +)

. C , . "

J .. ,\..'f' :. 0

Utilisant le fait que les états non~pérturbés du système sont des états de Landau ,nous obtenons:

Identifiant l'amplitude du champ ~(~) en termes des états unipar-ticulaires non-perturbés ct1(~) ,

(22)

dans la représentation d'interaction définie par (6), nous avons

(,,:t' -~

H~(t'):::

l.

e

~

e.~

..

C

_lu

e.

~

<l'II'

-~

Eog .

Y

(qJ

'Y")

(23)

Y-l'II - - b

La théorie de la réponse linéaire (8) nous donne:

~

tU

<1l~;t~:

i

1ilfo)

Flt')[H'ct'),

l(~I1:~

e

T

Jt'

-110

Utilisant les propriétés des opérateurs fermions, nous trouvons:

...

<'I,~, t

l \" ,,1)(.,\,',

'!C-\)U>}

E."l _

e,. ...

u)""

.,,'1;/... •

'0

CE .... k~}

=

ti.

Po C!~...

'

la distribution de. Fermi en· équilibre thermodynamique à une température T peut être écrite en fonction du potentiel chimique ~(T), i.e.,

(27)

Nous ajoutons au tenseur conductivité la partie

diagonale

14

; résultat du déplacement dans1'espace-momentum de la sph@re de Fermi soumise à un champ électrique oscillatoire. Cette contribution est aussi une conséquence de l'invariance sous une translation du gaz d'électrons.

o "'

0-.₁₃ :=::li.!'..! ~"'~ "

~Q) p

pour les électrons et les trous, respectivement.

Considérons ~ dirigé selon l'axe,B :

0:

₈:: (Ne&.T

S

+ tW\""

L

...1 (E ... /

~)l<l"V",\-~\~.)()-,

\

V61~1')')

,..."..., l"(6

fil ... '{I 170 ~

E,-e ... ,

+w~ +~ . T' _ . <:' "1

"'6'\1111

1').(

1'-'

Vo(t-l"'"

»)~

1i ___ .-eT+",~,.f("'T.

Ij

Dans le cas d'une onde à polarisation transversale, par rapport au champ magnétique extérieur dirigé selon l'axe) , le tenseur conductivité ~-tenseur satisfait certaines propriétés:

-12-Les résultats expérimentaux démontrent que les ondes hélicons possèdent une polarisation circulaire et que, dans le cas d'un gaz d'électrons, seulement la polarisation à droite peut être transmise. Par conséquent, une représentation à polarisation

circulaire, le tenseur diélectrique est diagonal. A l'aide de (28), nous pouvons écrire:

T

x

=

cr~:lt Ex ... crx~ b,. 'T

~:

cr':lt

Ex." c:r",\

t=,

et dans une représentation

a

polarisation circulaire:

r:t

0:: O-~X:;:-(

VX ,.

(29)

Nous utiliserons les éléments matriciels calculés par Quiun et

19 . .

Rodriguez incluant les conditions supplémentaires \ .. :::

\,=

o.

. 2. '&.

Nous avons alors, où fl~~)

=

~

kt

-

, /

+

-A.

E\

1t

_t--\l-

_{& It~\}

_{+4tc,"" ..}

_dt,)

Dans cette' r~présentation'circulaireJ. utilisant la limite macros-copique \ -'P 0 ainsi que

T

~.o , le tenseur diélectrique se

ramène à:

(31) ,

Le modèle le plus simple pour les porteurs de charge dans les métaux de transition, lequel modèle nous utilisons,

requiert la présence de deux types de porteurs, i.e., les électrons et les 'trous.' D'une façon analogue au calcul au sujet du gaz

d'électrons, nous obtenons pour un gaz de trous (~ la limite macroscopique

\-=1

0 ):

cr

~

-

__

~~

_ _

CNe'-

t

UJ

1

1: - ~ y:j \Al :\: 0:>,- (32)

Les expressions (31) et (32) seront utilisées plus loin pour calculer la relation de dispersion du mode hélicon.

Pour l'instant, une évaluation de la dépendence du

~ , '

tenseur

cr....

en fonction du nombre d'onde

t

s' :impose afin d'illustrer certains effets d' absorption. Pour ~1. < ( .:l ~~ ~ )

nous obtenons de l'équation (30) ;

e

t''''~

t

1

,.~L.

-t

0 ( E""

k?:-)

a' ₌ +

_lIr,-""

N It,k"t-~

{

'J1.+ , 1"(\..

~

~-"'c.)+

f. ...

,.

".~j,

_"'~t\

_-lu.)-C4)c.)

_-!

'W\.-

,Jo _'Ï

_-14- ,

Posons:

(33)

~fin de rendre l'évaluation de cette fonction plus simple, la

condition T

=

0 ,est imposé~.·La distribution de Fermi 'est alors

simple:

=

0 de,sorte que: , \z'F "" DL,;

z..

",J~.

____

-:-c!_k...:~~---:::-~_~

_ _ _ _

_

21f '"

J"

w-wc.,..t

-1î kr .,

/'W\'*'-uti1isa~t la relation (14), nous avons:

~~ partie imaginaire de I{~~lw,}p) contribue à la partie imaginaire du tenseur diélectrique et, par conséquent, en phénomène d'absorption:

Ce calcul nous montre clairement le ra1e essentiel joué par le phénomène de relaxation. Il ne peut exister d'absorption pour des temps de relaxation T +

00,

sauf pour les zeros de:

Ce phénomène représente une manifestation de l'effet doppler. En d'autres termes, l'absorption par résonnance de cyclotron tient compte du déplacement de la fréquence effective dépendant du nombre d'onde

'b .

Pour IV\- pe ti t nous avons:

(34)

Notons qu'il 'y.·.aura une série de maximums d'absorption pour

W<"'c.

c'orrespondant i!i chaque valeur de M... La séparation de chacun de ces maximuns dépend de la largeur de bande

!.

de chaque

r

maximun. Lorsque la fréquence effective observée par .l'électron approche Wc. ,l'électron absorbe l'énergie de l'onde hélicon qui est alors atténuée. Ce mécanisme d'atténuation est intégré tota-lement dans le modèle utilisé pour le gaz d'électrons.

Nous avons calculé le tenseur diélectrique d'une façon autocohérenteinsistant sur la présence de solutions â front d'onde plan. Les ondes hélicons sont obtenues en imposant l'existence de

solutions â front d'onde plan aux équations de Maxwell. Les équations de Maxwell dans cette représentation s'écrivent:

(35)

(~"E ::: ,~,

l, - ...

Utilisant les relations mac'J:'oscopiques;

.

.

considérons \ dirigé suivant ~ :

.: q 1!1 x li :: 'II. f:: lE _ t"w E If

o Co - " " " , " 0

'"1

,ft

x

g ::

lt

CL J:!

L'opérateur" ln-x possfMe 3 valeurs propres différentes dans une

polarisation circulaire.

d'on

) = 0 : , longitudinale

~ = '!:\ : polarisation circulaire à droi té et à

gauche respectivement.

A'6

H,.

=

'1l

1r.A

1:.,. - ,.

~"ê.w lE A

J\

J

E~: t·~t.l)

'UA

Nous obtenons dans une jauge transversale:

(1.

₁

"1. :; ~)

u..

~

(J:)'I.

(36) où

E.

~

:.

I!o +

'!lf. ,.

V'" A

u.> est diagonal dans une représentation à

polarisation circulaire.

La structure de bandes du chrome dans sa phase anti-ferromagnétique représente un sujet d'actua1ité.Le modèle simp1ifé utilisé est partiellement justifié par 1a,~ecture des références

2, 3, 20, 21. En se basant sur la référence 2, 3, nous caractérisons les porteurs en deux groupes: un groupe du type électron avec une

• 3.\ _.

concentratJ.on

me

= :l.:lS 0 ~

'a

'(ccl un groupe de trous avec une

a.I' ... N i1i d f

concentration rt\.

--.=

~.O&t2.. "10 lc.c) • ous ut sons es sur aces

.. 3

de Fermi sphériques avec une masse effective 1ft\.

=

S'. ~ -ma • Le

chrome présente donc dans sa phase antiferromagnétique cette pro-prié té tr~s particulière d'un nombre de porteurs très faible. Le

niveau d'affleurement

k ::

(3

TT1')\)

I/~

F

.... 17-·

k

_F est relié

a

la densité des porteurs: pour une surface sphérique (37)

+'l

O.

ct

x."

~

JU..c..

Ce résultat s'accorde bien avec les mesu~es expérimentales sur . 20

l'effet de Baas-Van Alphen •

Afin d'expliciter le mode hélicon, nous imposons les conditions suivantes:

E.

_o

=

1. et

JA-o=

-:1. ,i.e., un système sans

l. ~ propriétés magnétiques intrinsi!q~es.Nous avons alors:

w

_p == 'lOti? N.!

~

..

fréquence des plasmons.

~~ ~ ~

, "fi!.

W.. _. UA.,;co .

.

~

=

~

..

=

~ -~...JTL.-___ .!.

w.... - wlW:;~~\· ~lw~ "'~) pour

S

petit. La masse transversale contribuant

a

la fréquence de cyclotron

UJh~"

==

~ ~o

est choisie arbitrairement comme étant

lWl

pour

1W\ ... c , . . . 0

,L.

les deux types de porteurs. No~s négligeons 2 par rapport aux deux

.,

autres termes. La relation de dispersion des modes hélicons est

A la limite macroscopique

1

~ 0

circulaire ~ droite:

1

UJ+

=

-18-tU, e'l,\ 1.

(w:e.

+

c.u;ï.>

(39)

Les résu1,tats pour une polarisation circulaire à gauche s'obtiennettde (39.) en effectuant une réflexion par rapport â

l'axe w=o • Si \0-,"-<0 , i l est sous-entendu qU'il est question

d'une onde polarisée circulairement â gauche. Notons que le demi-plan

w ,

domaine absorption, pour un gaz â un seul type de porteurs ,

se réduit avec le modèle présent â une largeur de bande de

1.. z.

t\w=

W,(W,c._w,l\)

(40)

(w1

!:

+"'"

~

"

Une mesure expérimentale de

&W

permettrait de prédire la valeur

.c."

si lamasse longitudinale ~ 1

de la masse transverse rM. ' _1.

L

était connue.

A partir de (38), si~c.=N\."" nous avons:

Ceci représente, la relation de dispersion des ondes Alfven. La figure (1) représente la relation de dispersion pour des ondes hélicons polarisées circulairement à droite.

CHAPITRE" III

LES ONDES DU SPIN

22 Notre description est basée sur 1~ modèle d'Heisenberg qui postule la présence de moments magnétiques localisés dans"la structure magnétique. Nous explicitons les propriétés magnétiques de la matière d'un point de vue analogue ~ la théorie des 1ines chimi-ques de Hei:li:1er-London. La cause in_trinsèque des propriétés

magné-tiques étudiées se retrouve dans l'étude des phénomènes é1ectro- " niques. L'alignement des spins provient du recouvrement des orbitales électroniques, distribuées sur une structure cristalline régulière. La validité du modèle, appliqué aux métaux de transition, fut l'objet d'une attentionparticu1aire au cours de l'introduction.

Les états d'excitation du système magnétique ~ basse énergie sont de nature ondulatoire. Les ondes de spin, nom donné aux états en question, sont quantifiées. Le quantum d'énergie est appelé magnon. Deux points de vue différents furent envisagés dans L'é1abo-ration de la théorie des ondes de spins: d'une part, une méthode quantique 23 et d'autre part, une méthode semi-c1assique 24 utilisant une équation dynamique de torsion pour illustrer les solutions ondulatoires du système magnétique. Nous nous limiterons

~ la première méthode.

La présence d'anisotropie magnétique se révè1era indis-pensable à l'élaboration de notre modèle. La description des états

-

" "

"" .. ,

,

-19-fondamental. Pour utiliser ce fo~a1isme, l'état fondamental doit être stable quant aux déviations des moments magnétiques localisés.

Pour un syst~me ferromagnétique, nous écrivons l'hami1-tonien d'Heisenberg sous la forme:

~., ~.

Co . )

~ s'identifie à l'intégrale d'échangeisotropique~ 'Dans l'état fondamental, les spins .. s' alignent suivant une même direction. L'orientation de l'alignement ~'est ,toujours pas ~pécifiée. La relation de di8P~r~i~n .,des ondes de. spin. est",une quadratique avec

l.V

=

0 pour' ~:'O; ".-, D~on pour u~etémpérature' T:.~.cies on.de·s de

spin sont exci'téeS,"

".ave~unn~mbre arbi~rdr~:

de quanta.' L'étàt

" " ' : ' ; .... ' .. : . . ; . , ' .. :

1 ' . ' . • • • • •

" ~. . . ' . ' " . .

fondamental de cet h~iltonien's'àvète donc'~nstab1e par rapport

. . ' ' ' : ." ~'. '. ." .... ' .'. . ' . ':'.-; . . " aux .' excitations' de .

spin·.:uIl~: ~h~~ m~gÏlétJque :~~:f€"rietir:~u~

.' •...•. ' d'

anisotro~ie

·souièv.e.

,ladé~é,nêr~scepé~,~n'ajou:tap,t

_".. un te;rme de·'

. . . "

...

thermique

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"0

.. , . .' "

nous appliquons le. formalisme des . ondes de spin aù sysd!me ·ferro-magnétique. Donc le champ fictif d'anisotropie magnétique n'est pas essentiel; nous obtenons le m@me effet avec champ magnétique extérieur.

Dans un syst~me antiferromagnétique, le c~m~ d'aniso-tropie

MA

joue un r6le essentiel. Nous écrivons l'hamiltonien d'Heisenberg sous la forme:

-20-_ft _ 8 - ~ T

L.

,S .. C). . : . \ Co ) 1" <'0 j intégrale d'échange voisins

Cet hamiltonien représente la partie isotropique de l'interaction si nous pouvons diviser le syst~me magnétique en deux

sous-réseaux. Dans l'état fondamental, les spins s'alignent en direction opposée sur chacun des sous .... réséaux. Nous rencontrons le m&te

problème de dégénerescence, illustré dans le cas du système ferro-magnétique. Pour le système antiferromagnétique, s i , < TN

(TH

température de NéelhnClus. avons:

fG'V.l\..

T < \ ' ..

'-t~,d est la susceptibilité transversale et parallèle, respec~

tivement au champ extérieur

r:

_o

Le'changement d'énergie libre s'écrit:

A F::. - 1. 1'.

h.:.

p~

T < T",

a

(41)

Si nous appliquons un champ extérieur ~ , l a direction de l'alignement se stabilise perpendiculairement à ~ • Cette direction· demeuré indéfinie dans le plan transversal à ~ • L'état fondamental est instable pour des déviations de spin. Seul

, ,

un champ fictif d'anisotropie ~ peut stabiliser l'état fonda~ mental du système antiferromagnétique.

Considérons maintenant l'hamiltonien d'Heisenberg pour le cas du chrome métallique tenant compte des propriétés de sa structure cristalline. Le chrome possède un réseau cubique centré. Nous divisons les moments magnétiques en deux sous~réseaux A et 8 •

-21-s'oriente dans la direction opposée

Le moment magnétique du deuxi&te atome le plus pr@s s'oriente selon la m~me direction

Nous utilisons, sachant que les distances des deux premiers sont du

m~me ordre, un mod~le d'Heisenberg incluant deux intégrales d'échange.

Soit:

;ro

l'intégrale d'échange du premier voisin

ft ft

ft deuxième

~ le nombre de premiers voisins

""0 ,

~

,

,

"

_"

" deuxièmes

_"

"

Nous simulons l'anisotropie magnétique par un champ fictif

!:fi,

dirigé suivant ... o~ pour les atomes du sous-réseau A et 'suivant-oi!-pour ceux du sous-réseau 6 • Nous appliquons égB:leinent un champ

ho

dirigé suivant l'axe .... 0 1:

En nous limitant aux interactions des deux premiers voisins, écrivons l'hamiltonien sous la forme.

.. lt

4."

L b \ '

HM= -:r3"o

fs

~i . ~S.'

-

3",

T.W'

~j. ~~.~ ~~.

4._

~~. ~L

.. .,

.. fo ' \ 4l"

;,~"O\1 SJ~

"''7

$

-\~) ~

)BKA('i:

~

..

~- }Ss~)

' ( 4 2 )

" _~o

8

dénote un magnéton de Bohr: P.,

=

o.

«t::l1 Â"\O ~ , ~~

.

-

'

is

Nous effectuons les transformations de Holstein-Primakoff définies par: ~ ll1L

~.i

:

(.1

S )

~

1.

- q,j

Cl

S )

Ct.)

;a .. + "' 'h ..

(j

(1-

~S41l)

(43) ~!.

+ S~II _ - "2- ( ...

)11,.

S

\Jt

=

(~ s) , - \)& \~ \) 2 $ .\. -t -t .

o..j et ~c. son les opérateurs de création des déviations de spin pour les deux sous-réseaux A et & •. Asano 21 observa que le chrome dans sa phase antiferromagnétique poss~de un moment magnétique de

.6 magneton de Bohr par atome. Pour simplifier, nous choisissons le nombre quantique du spin

S

=

'/~

.

Ce choix exige que la valeur de la constante gyromagnétique soit '\::

I.a.

Limitons-nous au domaine des basses températures. Dans ce cas, 1 a va eur moyenne es operateurs 1 d · ...

.Go;

~

Q.i

et L-+ 9 ... 'L W'c. est tr~s l'!l

petite. Il est donc normal de négliger dans l'hamiltonien tous les termes d'ordre supérieur au second par rapport aux opérateurs de création et de destruction. Les termes négligés décrivent l'inter-action magnon-magnon, etc ••• Les relations de transformation (43) s'écrivent alors sous la forme:

-t

S

Q.i

::.

".

)

,

0\-s:~

:0 ~\

"'"

s

~~:.

.1.-"3-

'\

~S

~~tL

=

h-t

&

_S~~

_"

..

-1.

.. \.c

l>t,

-=

S-

_{\, ....} 1-bt

=

4j et b~ représentent des bosons satisfaisant les règles de commutations suivantes:

[ Q..

_.,

fA. ... ) _

)

-[: .", "/J

=

Pour diagonaliser l'hamiltonien (42), nous allons intro-duire les modes normaux. Tout d'abord, nous définirons des ondes

-23-progressives pour chacun des deux sous-réseaux. Nous passons d'une description en termes d'opéra~eurs localisés ~ une représentation sous la forme d'opérateurs d'onde de spin. Ce changement est introduit à l'aide des relations qui suivent:

''1

_~ a _L ~ '! "~;

-;'I~

_J

e

"'"

)

cl,!

..

..!.. L

e

-,"

's"~C

b..t

I\I'I~ .c.

On a N centres atomiques pour chaque sous~réseau. Les opérateurs ': 0

d'onde de spin C" 4fr. représent~:nt eu~ aussi ,d~s bosons. Utilisant ces simplifications, nous

écri~onsool'g.amilt~nien

sous la forme:

c 0

n:,: 0 0'::'

o ' 0 0 • 0

"_; 1.1.N~.-!. 7.~~."4J3HA't -"oi"o,~ (,,,,bJ"+f+' 4J"!"b ... ~ .. )-~io1;(4:'"C,.h~'f)

." Jo • a fI:~ C" (1 _ ::: aJ,' " g " c"" -' . " • J J " " "

o

" ,

Dêfinissons les deux quantités

c: ~"1 )' le '" 1. 1: e ~_ t , a O'; ~. SU~Vg1!ltes; .

N0US p0uvons vérifier que l't :: "IS"_~ , p~::. P-t . Cette propriété est une conséquence des éléments de la symétrie de la structure cubique centrée du chrome. Nous écriv0ns donc l'hamiltonien sous la forme:

-24-(44)

Pour diagonaliser cet hamiltonien, nous utilisons les transformations canoniques de Bogoliubov. Celles-ci consistent à introduire deux nouveaux opérateurs définis par les relations:

of

..(§ :: \l.~c.g _'2T"~ da

(45)

ou "fi et ~ sont des nombres réels.

Les nouveaux opérateurs «"!! etlJ

_k

représentent des bosons. Les relations de commutation des opérateurs Q~ et ~ entratnent celles des opérateurs 0('\5. et 13~

,

si ""k et c.I"'~ satisfont:

Posons: t. &.

Cl. -

N"J&: .1 CL!!

=

C"I,

B~

nr~.: ~e5 (46)

•

Afin de diagonaliser l'hamiltonien

HN\'

choisissons le paramètre Q~

de telle façon que tous les coefficients des termes non-diagonaux soient nuls.

o

t\N\:

t~oToN-

-\ ';fI

~.I\I- ,~HIt'" -lo:r.~ '1~[CD01~';U~!S(1f~8!t

-+

fIf.+

ft;)

~\.1.alSlB;p~

...

-t:

.{~)

+

,.o~1t

:»9!') -

-l.~ ~ f~.·

(CbO

h

:l8~ '<"It..I-.B~ -:.s~

)

.~.\

.. +il

-?:l po""" &~ -t ;'a~1-'1C. '-ola8t ... Ii!! 8~ ~

...

11!-,

:1",_

-I.7.+),g #fit> ~ [~"'9'S. (-C:",t

+,d;S!) +

2.

~h

lB!, .,.

~~

Z0te

C.(~t4~

.,.

~:B,tl]

-25-La t~ansfe~ation (45) est alors totalement définie par la re1atiQn:

par conséquent,

Soit, '3'. "iD "(III.

~ &Il Il - -it., P ... i, 1.:" 'lD1p+ 1

811

11

.t\

U) '!

~ü),,=

(l

~,";J.h-f!!\-~o:ro"'~"'~t.

_

T.l~~r;)'/L

E· _

M - t.h.1.o l'. M -

t

~.~. N -

a. )

G H"

N (48) (49) (50)

Nous obtenons deux ondes de spin différentes av~c les spectres suivants:

t.t ..

=- '" u.:> '" - , th ,,()

,~"" ~ ~

w ... "

~

/!,

~o

to:

l'1.=toN-rT.~lN-:)6H!:\N

""1j;U3\!

(51)

est l'énergie de ~~ au zéro absolu, i.e. l'énergie du vide. Afin de comprendre la

signification physique des modes normaux d'excitations que nous avons obtenus, nous devons les écrire en termes des opérateurs de déviation des spins. L'état fondamental est donc défini comme l'état dans lequel aucun des modes normaux n'est excité, i.e.,

"'.

j fl~

\,.

>

-=

0 (52)

ou\,~ est l'état fondamental selon la représentation de Dirac. Les états excités, possédant un quanta d'énergie l~1:!- et ê..8~ ,

+

..

sont

..c.:

'»

et /)~ 1,.>, respectivement. Dans l'état fondamental de HOM. , sachant que .. ~ n'est· pas. diagonal dans la représentation

définie par les opérateurs d' ondes de spin c~ et~!! ' nous trouvons que les spins de chaque sous-réseau ne sont pas entitàrementalignés. Nous évalùerons l'écart entre la valeur saturée de la magnétisàtion··. et la valeur réelle. Nous obtenons des équations (52), les reiat:i.ons· suivantes:

les équations conjuguées sont:

"'~

<:.

~

\

c.~

-=

tU"'~

<

C), cl'!,

+

\LI}

<;,. \

A~

::

tzr'~ ( , , c:~

(53)

(54)

~ partir des relations (45), (53), (54), nous obtenons:

~;est

par conséquent, la valeur moyenne de l'opérateur du nombre d'occupation des ondes de spin dans l'état fondamental.

~ ~ ~ \

~}\c::."CR\ ~)

=

1Yt\oz';')-::.""h. =- ~ \~i\.:U~ ..

-t)

=

L

f

..

1:.3;

etc ...

~.T. -~o7o ... t~ }lA

-1]

'1.l

1\

""lit

f \t

~Irl"l et "'~(31 sont les valeurs moyennes correspondant aux

e

-27-d' exci tation. 0( sous la forme:

1-Cl(", ,~') :.

(55)

Le mode CI(. correspond â la création d'une onde de spin pour le

sous.,..rêseati A et ~ la destruction ,d'une onde de spin pour le

sous-réseau

i .

L' êtat

excité~\\,)

se déduit de l'état fondamental'9-) en déplaçant la direction des spins vers le bas, gardant les angles 'relatifs constants. Ceci justifie le terme de Zeeman

(-JD ho )

apparaissant dans la relation de dispersion des modes normaux d'excitation, 0( • L'effet t.0tal pour les modes B , apparaissant

dans le spectre avec un terme de Zeeman

<i)84

0 ) , est de to~rner

les spins vers, le haut (la direction du

cham~~xtérieur

ho)'

Nous évaluons, pour une excitation II( , les contributions relatives des sous~réseaux A et 8 à l'aide du coefficient:

u:

~

f

(ç.o;)h:te~

+

1)

oil ~:l8~:.

a,.T,

'I-P!t)- ~.7o"" 6f1R

(l

1,:Z.(l-f'~) -7o~

....

~8\\~1~

7:'i!Y;

)"'L

La figure 2 représente les coe;fficients lt~ et

'IF: ,

évalués pour un choix particulier des paramètres

1.,

7, ,

HA

et

ho •

Nous écrivons

~

"

le coefficient ~ (

""te

est une mesure des contributions relatives M:" _h. ~ _...

pour le mode normal" ), ~ la limite macroscopique\~o , sous la forme:

pour _{) 6"1\}

_ho

_{t:r.\ .(} <. 1. , nous aurons:

~ \L'

1

~

)"'t

:J.13

HA

)

(56)

lot , - .1. .,.. \

g2

altA

i.

_-!

'z..:pQ

<1:)"

~

~

-28-a..

1.e qUClt;l,ent

"'YAr.'-

est différent de l'unit!! pour ~) 0 • Ceci met

It

en évidence des contributions relatives différentes. pour cha~un des sous ... rêseaux. Les relations de dispersion des modes. oc: et.t8 sont données à la figure 3. Les courbes sont linéaires, exceptées . ~la limite macroscopique'\i4 0 on l'anisotropie magnétique joue un

rale essentiel.

Le but de ce chapitre était d'obtenir une description des modes normaux du syst~me magnétique en termes d'ondes de spin. Nous avons obtenu une telle description selon une représentation d'occupation d'ondes de spin. Les rél;ultats de l'annexe A peuvent @tre utilisés afin de déterminer les paramfàtrès physiques non

CHAPITRE IV

INTERACTION HELICON-MAGNON

Au cours des deux premiers chapitres, nous avons élaboré la théorie des ondes de spin et des hélicons du chrome dans sa phase antiferromagnétique. Nous utilisons diverses méthodes de calcul de l'interaction entre les hélicons et certains autres modes d'excita---'---'ltiondu solide. L'interaction hélicon-phonon a été évaluée 29 en

modifiant l'équation du déplacement des ions (origine des phonons) tenant compte du champ électrique du hélicon. L'interaction hélicon-magnon dans un système ferromagnétique a été calculée 30 en utilisant une équation de torsion du moment magnétique. Pour un système anti-ferromagnétique, nous ne pouvons pas écrire une équat~on de torsion. En effet, il n'existe pas de moment magnét1quemacroscopique.

Nous utilisons la relation d'autocohérence obtenue des équations de Maxwell pour des solutions d'ondes progressives pola-risées circulairement:

l. 2.

C '\, := ~+ p.+

w1.

-

i - (57)

où T représente une polarisation circulaire à droite et à gauche, respectivement. La constante de perméabilité JL± diffère de l'unité

à cause de la magnétisation induite par les modes hélicons. #± est déterminé en évaluant la magnétisation induite par une onde électro-magnétique polarisée circulairement. Nous utilisons, pour le gaz de porteurs, le modèle défini, au chapitre II et pour le système

magné-tique celui défini au chapitre III.

-30-ondulatoire et un syst~e antiferromagnétique â deux sous-réseaux, s'écrit de la façon suivante:

, -CID-\:

V

0..

i\_'"

..

i\.b)

i\"'Kj

\t ;

q I?>

e.

".

L 5 .

e

+ ~i

e

e

1 - j -) , (58)

~l désigne l'origine de chaque. cellule, ~ et ~ les vecteurs

positions des points de chaque sous-réseau par rapport â l'origine. Le champ magn~tique interne est monochromatique et autocohérent. Soi t un champ extérieur

ho

dirigé selon l'axe 0

z. •

Le champ

magnétique

R

du hélicon est transverse El. O~ • Considérons une

polarisation circulaire, en choisissant 111;:::

t

(H", :t: ,. H 'J) •

Nous obtenons:

(59)

Exprimons l'hamiltonien (58) sous forme d'opérateurs

(60)

Ecrivons l'opérateur moment magnétique par unité de volume sous la forme:

.~

M "'"

-= - Cf B

l.l

s

~

_

1 (

!Jo -ti:.l- CL) + SJb _

S (

11-R, -

b,'

- 1 . -

J ...

-~

-

•

-

-~

-

~

J

~+ -,~,

_1

_cff.

b)

'z ::!:(~R. c~

e

"'

Q.~

e.

-SM ...

",.",gN

l.e

-.,"-

-

.... \, ..

(61) - 1 ~ • 'tIC. .c;. ~ ' a ' -- C.~e - - + cl~ e

Afin d'utiliser la représentation sous forme de"modes normaux, écrivons les opérateurs en termes d'opérateurs de Bogo1i~bov

Si'la

et

l0ngueur d'onde est

e C

'of!.

.c..

t

c;':

'6

0 ~

1tI\",

nt

1

:

e

9\.

... : '. ':.'. ... ... " .' , ... . ' .. ' .' .' ... :.:'., , " ' , ' . ....

:pa~

un

calculan~~~gue

,:nousobtén<:>ns;:' ... . ' . : : ' . : '

~~

= )

/3 N'/Le -

tl:'

(~i·.~-;.

j.A'tZ:

,ta:Z)·\~·:,: ,:: .: '/.: ·,···.(~4).·:

.. ,· ..

~·:

. '

...•.. : . : ' .

...

' , ' . ' .

. ...

" .... :.,

S"".;_,~NqL~e ~?.'1(Jc"'I(: ;'hZlt~·I?~.-·>.::·,.

", , .. ; ...

:.:;~~~?,:

..

~

.... ,:/

$" NI :. -

~IV

Il,..

1:..e ::' .. :-

'If.

1(

'-.,;';n

/1/.):.':-' ", "

·:{'~·(66y·.i<

...

- ) .Iz. ... ~ Il.' :Ar • .. : . , . . . , " . '

Les valeurs moyennes d~s. . op~iate.\iit:-~·du:., nio~e~t· t1Î~inétiqtie,

., .' ... ..

en équilibre themody:nmnique'j' 'sont é:V~lùées.:~: 'l'a:id~'4e:"la' 'th€orie '. ,,'

' . ' . ' ; () ' . '.:: .... " .. ; . . ' ':'. ... ;... , , ' ... , . . . .

de la réponse

lin.é~iI·é.Ecri

vons '"

~'~~l.~oIiien. tot·~l.;~:~ s,Y',st~~me':

",,'

, , : ' . . ,

magnétique comme suit;::: ,'" .; .

o .. ""':

:'0-\

. ., .. '

":0 \\

N\ ~ \t'

e

. "

. "

, :.:

OÏl

"~est

1 'handItcmien . du

sYl3t~m~~agnét:tque 4éf:f..n:l.àt.'-.:çh~;itre

III. '

,'. . .. ' ..

Les états non.,..perturbés sont les 6nde~ de spin. Larépon.se magné .... ,,-· tique est diag0nale dans une -représentation àp~iarisation circu-laire, i.e.,

Il!

contribue uniquement à

bhl.,.

dans le calcul des perturbations.

S0it \-t)

=

NI \Q.)

, "c.p" alors;

~~,

.s"'L'+)

= 0 (67)

<"

'M+'+)

*

0

nous avons' donc:

*

-t .. ~~ -"I.04-lttlltl -t ) , • (S1Ittj:tt1) ..

-tt..

po

e.)e

[~Nl!(t), U-!(t'I] ~t

(681 -f/fI 0'-.... : ..

..

' " ' ... :

' . , ' .

-32-Le facteur d ~ amo~.F:f..l3s~~e~t~r·«'t'.-1:) .. assut'e la convergence de . l ' int~gra~e··à:t<--;..:~

... :;:":

~o~!i(6~teIiPns:'(V~i:t:' ~

iinile'xe;'B) "

.. ' ."

, ' . " . '.':t " . : '.'" . ... ' . .

• 1·Z.

·"l·q-wti(

-~l4aH~O()(-tI--t)[' "',"~ iE;;~t·-t) . '& ~c:e~-"':'~)7

<

'~+(t»-=",. 8 NiI+e

< '. -:

t:. . ... ':

'l'M\' ..

(!., ... , ,: .. ,- I.~l. e.. 6 . ' )

. . . . . . ~; .

. " "": (11\."\=

nombre d1_bccupàti

cl

n.eIl

~qui~ib·~e,.'"

. thetmiquepour le. mode normal-c):.

Dêfinissons "1-+

=.<S

N\ ...

,~»'

.;:. ".: .•.. :'

(~'~es:f:

. la:'

su~C~p~ibilfté~a~né.~

... <' ....

. .'. "u'\;fL'-(U-\.) . . ' tJ.:que. da~$ .. larepresenta tion' a · .

, . ...."" ~... .:. . ... ":p:oi~r~sàtion circtilaire.à.· dtôfte)

' . " .: " ~ . . ' . . . :",', ,'-. " .. ~ .. .'. : ·:·Alors:. ... ', . " -:: ... : ... . . " . .. : .•.. ". , ' , ' " L ' , ' .. ; , ' ; '.' . ' . . ,.",',,,, ::, .-,' .. ~ " .. .. ..:: :'; . . .. . ,':"', ":' . . ~ . " ,:. ~'.' .: '." ".

.

(u..~~, "~1(' ~ ~

). :

... "',.' ....

..' ".

··:·'ri)I.~?.N[cJ·.~,li't&~

""J:i3

HA

····:·lC.ï~

::

':'.1..+' . (IiW))'&. _

'1i1D-jl3"o)~

..

<~q,\ '~st

défini au chapitre Il::t •. Nous avons de façon analbguë':'

. . . .

nous obtenons'

(69)

, ... 14\,;.'.

~:.t

..

+,}1T;~Z~[I.7;.:.r.).t~&.~.,~I/,,~

.• (70) ('Ii.IU))

-c

'Ii -:f- " 81.0)

De la comparaison des résultats (6~) etPO)aye~l't.expres,"" 'sion éq~ivalente obtenue de la réf'érenc~ (30), nous'trO'uvd~sunè

interaction beaucoup plus faible pour un système antiferromagnétique. Soit:

A

â).li::::' ~;t(2=D/&O=O)-i. (71)

-33-Nous avons donc,

z.. z. H

"" . 'i11l

-1

/J N,f ~ II

" 13'.\ )dJl.A • • ".~',6z4:

Pour un système ferromagnétique, Stern et Callen obtiennent:

Avec un champ F A )l. = extérieur A 1 LlJ.l:tl LlF,cL

intense, nous avons:.

(72)"

" ;.;. " . . ~. " .. '. ', .. ; '... . ....

Et un champ extérieur~ofaible, ... " . ' ... ::

\~~;I"

_...

·.7 ' .:

:'~.-~: ..:<;..,/i(7~)

..

:,.:/,>.

Nous voyonsg,ue l' intensité ·abscï1ua .. ·est·:·d:'·au:,~çi~.::d~ti~;·or:~res ···de" ' .. c '

" . ~ ' . ' . • ','. • " ' , ' : ; • • : J. :. ~

grandeur '1.

'nf€rie.\i~~·~.

- '. . . . ' : ':,' ~ .' .',' . , ... ".::: .':.:

"'::</::<::..:.:

"y.':,\::'::" "':':.:" ':' ... " '::,'. ,; ~ . . . '. ' . ' '." ." ~ '.

~ . ", ;" .;. ::.1, '.. : ':, :;'".::.", ,":.:" .... ::.: .... '.:.~ ,', " , , 0 ' : . . ~ ,'/~. ':~ " ' . ' , .~"

·Unè· caractéristique. tres impor~ante ·ç:1e, 1 ~·inte.taction .. · ... : :

hé1ic~n~;";gnon

.

a~p';.ai~ji~.'l~à~'l':~t;1lS(69;;~t,(;d).:~~~~ .~.'.'

..•. · "

mode

héliconpo,~~ris~ ~i~d~lÉd~~~~~~

..

~ :'.~~~~~~; .ii:{nt~ra:~~icin:

..

~·.':·

..

:~

.. "'. ""

• " , ' , ' , • " , - • • • • >

hélicon-magnon

Il'

est

"i~P'O;t;~'te ':~qu~ ~"~6~r~:·i~:·.;~b:d~::;~~~~i

..

~"::~ \.~ ~·.:C~~i

. ' . .' . -

,-découle de la symétrie

d~ l'expre~~ion ;"(~:~)<;':. ·t~iii64~.",~~:'€crit.

uniquement en fonction des 'opérateurs

d~d:éviations~S~··.·

La même

. . . .'.: '. ':' . . èL,b

explication vaut pour l'interaction prépondérante' eIù:re le mode hélicon polarisé circulairement à droite et le mode normal 8 pour le système magnétique.

Nous allons maintenant illustrer graphiquement l'inter-action hélicon-magnon. Le modèle d'Heisenberg étant approximatif pour le chrome métallique, nous n'avons, par conséquent, pas trouvé

d'information concernant les deux intégrales d'échange J; et 1j .

-34-1rNest relié aux deux intégrales d'échange comme suit:

1

=

2.

~U+l){

_! T' +

a

T \ (74)

"'. ... Ile. \ 0 . . ' 1

'J

Pour une structure cristallin~~ubique centrée, à partir de la

31

théorie des champs effectifs ,nous tr9,uvons trois températures de transition: 1 - ;tHS"")

t~

op

~ ~ ~~

, Co - "'0"0" ... , ~k6 0 ' ' . , ' ,phase ~,

T .

'~S'S~'ll:l~i:,' T·· ...

i ... )'.'

. If,"': .,,, .. 0 0 , ' 1.1 .

'.

,~ ... ' . . " . ' , ,.phase

A'F,

'.

·T~":-~~(~·~,l~,'T1

,.

phase :11' F ' ," . "',c

j' .:

...,

, ' ' L ,' .. . ' . .' 8 ·

T.c.~stlâ température de -'Curie pour un état ferromagnétique

",," ii ..

,

.... '

, . .' " .

n : d e Néel n n _{antiferromagnétique,}

où ·le réseau ciistè.l1inèst subdivisible en deux sous-r·éseaux •. . T,,~estla tempér~ture.cÏe Néel pour un état antiferromagnétique oùle réseau cristallin n'est pas subdivisible en deux sous-réseaux.· (voir référence'(29)'). Nous obtenons le diagramme de phase suivant. (voir figure 13) •.. Pour la phase Al\ (phase

anti-ferromagnétique à deux sous-réseaux) nous obtenons:

~"J'"

,2.. , (75)

Les deux conditions (74) et (75) sont satisfaites par la relation linéaire entre T, et 1'o.de la figure 4~

Nous ne possédons aucune donnée expérimentale du champ fictif KA représentant l'anisotropie magnétique pour le chrome dans son état antiferromagnétique. Nous .pouvons modifier 4 le champ d'anisotropieQ_en produisant la transition (paramagnétique

-35-a,nt:t.:ee'J!''rema,gnf!tique), â la tempéi'atu'X'e de Néel Tai, dans un champ' magnétique extérieur

"tf

_F •

La relation de dispersion des modes mixtes hélico~-magnon

est déterminée

par

la condition d'autocohérence:

c.1.\~ ,_~

,

~

1:

,"':t

~~

Nous obtenons une équation du deuxi~me degré pour 1~

.

Définissons,

G( ..

_-,

uo) =

~~'ID) '" Il .. 'IDI

t

11 ,~8) N #14 _ 2 ~ HA

- \" •• n'.-'I',) 4,1.,'" ( •• -~ ) .. ~c'"

,

~ ~~

\j:

-=

«1.

lW) il;. l.c.:t:.'W) +'f:t'-',

Quatre solutions différentes sont obtenues pour les modes mixtes hélicon-magnon.

Il existe toujours certaines bandes d'énergie défendues Dans le but d'illustrer cette propriété, nous évaluons la relation de dispersion, fila limite macroscopique

6-"')0 ,

pour les modes mixtes hélicon-magnon. A partir de l'équation (76), la limite l~oest définie par:

,i.e.,

A

~\('ïI'~83NIIA

_

e/:,~flA

_

(4;"""f,..gAo}l~_o(77)

:t'.,

l.'l~J(~.-'l,J" '\c~

c;To-T,J,,'c,...

''"J"~(T.~7,)

A"e"

Un premier type de solutions est donné par:

(78)

Ceci est le résultat obtenu, â la limite \~O

,

pour la relation de dispersion des modes hélicons seuls, i.e., les modes hélicons sont

o o o c o :J

-36-~nchangês par l'interaction, ~ la limite macroscopiquez~oi Le

deuxième type de solutions est donnê par:

1. .

(-liw

:;."a ..

o ) -= 8.,JB~NHR "*'I.IT./)IJHR (79)

D'oil la bande d'ênergie dêfendue par les modes magnons passent·ide

c , , - I I \ . , ~ ;\\\..'t.~·,·p.»H;a) .. li;'" .:- ".:: ":., CI .~... .• ' 1..) . ' • ", : : : , ' " E' :.. . ~

t,

+·«i

l ;p,,1.N )::·· .. :' ,." ,. o~·-~·-·- ~' .. ' :..-: ".~ •• , : ' . ' . ' : ' , ."

: Nous notons 'cet effet ·.aüx.·:figurès· {5':';7};~_::: .. :

(80)

: : , : ' . # • '. • -' ". : •... .' . . .' '. . . ,: . • • ~ , ~

'-Tenant .. -co~~te. d~,:~hén()~ê~è 'dJ~b~ol:~1;:ion de

Do~pler pour

.,. .. . , .~ : .' ',' .

"

~e

hélicon, lorsquew

2,~c··:,:.·;ri.os; ·c~.~~i~SI pr:~:~~$eIl·t

q\le" les modes

'-'. . ' , . . .' . ~.,. "-, .'" . ,.'

mixtes hé1icon-magnorl.·· seront .~"b$ervables:q.ans:·+es:cas suivants: Ca) pour une onde hélicon

.~Ol~;:l~:é~,·.~i:'~d~9~~~·<~i~~aRë.St tr~s

petit

., .',' ,.: ,1.,: .... : .. :~., .::.::,,, -: <::, ~.: :. :," .~"', ';",

( "Q"

est 'de quelques gauss);'· u ' . " ,,',

(b) pour une onde hélicon. polarisée

ci~~ul~i~~m~~t

à gauche, si '." . "

est de quelques centaines ..

:~ê·:gauss<.:.

,,'

.: .~ ; . ,

Nous utilisons un

champmagné.niqueé:k~éri:eu:t'

..

h~satisfaisant

la

' . ",:

condition wc.'l'·,'.:1.(voir·référence l).,:L.~ .•

·,\"o\

,:z.o~':t •

. . .... ... ' : : '

Considérant la

po~sibi1Ù:é'

d"ûdZliser l'effet de refroi-dissement 4

pou~ au~e,nter

.

il,.,

nO\l~'

illustrons les modes mixtes

da.~s

le cas(b) et ,pour

dlve'I'spara~~tres

expérimentaux (voir

, • , h • . . • • •

figure 5-7). L~s lignes pointi11~es indiquent le domaine

d'absorp-"

tion de cyclotron tenant compte de l'effet dopp1er. La partie au-dessus de la ligne n'est pas observable expérimentalement à cause de cet effet. Les conditions expérimentales nous obligent d'opérer

-37-d'onde

1 '

des modes mixtes en fonction de l'intensité du champ magnétique extérieur

'11

0

1

,pour diverses. valeurs des paramètres

non-déterminés. La différence entre les modes mixtes hélicon-magnon et ces mêmes modes oscillatoires non-interagissants est marquante.

Comme mentionn~ à la page 88 de la référence 1 , le nombre d'onde

J

pour un mode hélicon donné est proportionnel

I.e même résultat pour les modes hélicons du chrome est obtenu, à la limite macrosc~pique ,~O

,

à partir de la relation (39). Nous avons, ,pour une onde hélicon polarisée circulairement à gauche,

à la limite macroscopique:

1. L 112. I(l.

(w!& -

w,,,)

(w

'YV\..l.)' .

1, --

i

X

Co ct

--"'-'-h.-(81)

Nous obtenons cette propriété pour les modes mixtes sauf pour un domaine défini de l'intensité de

ho

où le comportement est totalement différent. Ceci indique la présence 'de modes d'excitation nouveaux dans la région d'interaction des modes hélicons et magnons. Cette propriété justifie l'emploi des modes hélicons pour l'étude de certains autres modes d'excitation du solide, exemple les magnons, par la méthode d'interaction paramétrique. En termes d'une expérience de transmission à travers une plaque d'épaisseur

d ,

les maxima se produisent à:

,~- ,~+

\\

~

(82)

L'interaction hélicon-magnon se manifeste donc en modifiant la fréquence des maxima de transmission en fonction de l'intensité du champ magnétique extérieur.

CONCLUSION

La relation de dispersion des modeshélicon-magnon dépend du choix des paramètres physiques Jo, J, , "l. 4.} ~ h .A..

t

I-I

_R

Il est évident que les changements possibles dll modèle électronique utilisé ne peuvent modifier la nature intrinsèque du modè hélicon. L'effet d'absorption de Doppler nécessite pourtant une attention particqlière. Le résultat (40) a une conséquence expérimentale

intéressante si nous 'connaissons la mass~ longitudinale des porteurs de charge. L'utilisation d'un hamiltonien d'Heisenberg pour évaluer la relation de dispersion des ondes de spin constitue;;l' àpproxima-tion de premier plan dans toute cette étude. Cette approximaàpproxima-tion nous évite de calculer la relàtion'dedispersion des modes normaux d'excitation magnétique suivant un modèle qui'incluerait la modula-tion de la densité des spins. Ceci constitue l'étape suivante d'une évolution logique de ce'problème.

Le calcul de l'interaction hélicon-magnon requiert unique-ment les approximations nécessaîres à la théorie de la réponse liné-aire et des équations de Maxwell. Tout changement du modèle magné-tique ne modifierait que la représentation d'interaction qui sert au calcul de la réponse linéaire. Nous espérons que les divers ré-sultats obtenus justifieront une détermination expérimentale des paramètres. L'interaction hélicon-magnon pourrait alors servir

..

. ·ANNEXE A

Cette annexe traite des propriétés physiques observables des ondes de spin et du modèle magnétique utilisé au chapitre III. L'état fondamental d'un système antiferromagnétique, bien qu'ayant un moment magnétique résultant nul, reste partiellement désordonné. L'écart est d'ailleurs petit. Nous écrivons le spin total du sous ...

réseau A sous la forme:

If"l1 -;-

S'

, + )

~ ~ ; '- Sè ~

L ( ""i -

q,.1 QI

J

J

Nous avons cance11ation dans le plan perpendiculaire à·1adirection

O=l ( _SjX

....

_{et S~, ne sont pas de bons nombres quantiques)} .

c."

AI WS' L....

1'"

t

~ l= !Y - L.

ct" .{,," •

.-4'.: 8 .. ,g,· -t1V..'#" A. " . ,.W,u: ~ +8 (1)

a. Ar ... :: ~ f.C - ·-t - Ir -~ '" ~

Pour T= 0 ,les valeurs moyennes des opérateurs du nombre d'

oc-cupation sont toutes nulles, 1. e., 'Uo

<

l"I\ir )

=

0 pour

"\=.,

Alors la valeur moyenne en équilibre thermique du spin total s'écrit:

(2)

àS~, l'écart entre la magnétisation réelle et la valeur de

satu-ration est alors:

Il

S~

=

~

_

<

oS

~

)

= -

~

...

~

L

~~

,;)6"

'1. ~ ~

Nous passons d'une sommation à une intégrale sur ~ limitée par

,~,~ lt""' .... ~,... est défini par des conditions aux limites pério-diques, 1. <!. ,

-40-Soit

!

dirigé selon l' axe o~, nous écrivons:

~

-'

A

~~

.. -

~

+

L

5 -..,.

klJ'=(1_

''17.I.~l.~

\

"i (4)

"1((& 0

raT.

U-COJltt&) -,;r.~,c\l\,,11.

J

Par méthode numérique, flour "l'C)

= -

0 .00,", ~1 M)"'

7, :: .. o. oC) 1. S"I

,.--'''''. A

=

S 00 gauss,

nous obtenons A St:": O.o,?»o N • Ce résultat diffère sensiblement de celui meutionnêàla référence '26. L 'origine de Ll Sol est liée au

cara.ctè,r·e.parti~uli~r .d\llie.l1 antiferr~magnétique. A S~. estinsen-sible .

aU~Yiriat~~nsdeH"

. s i ....

':J~I ~r

...

.<

<J..

i •

. ····i.'J-.1

I .. ama.-gnétisationd'un' 8ous-ré~êau est fônction de la

température.AVaid~des'~quations (l).et (2), nouséct'ivons la

valeur moy~nne enéquiiibre theriidqu.edu spin total (S~''f»,

relati-' . .: . . : . ' . ".;.

vement àsa valeur pourT=o',sOus

.la:

forme:

' . . ' . ' : . . .' . ' '.: .

<S1!'O»··_'<·Sl:Ù»)~2:·· .. ·~h ~e~.< ~.~>

, ....• ~.. . .'

(5) .'

<

~,,) est le nombre di occupation en équilibre thermodynamique à

une température T •. Puisque les op€rateursdes ondes'· de spin repré-sentent des bosons, la population de ces états est régie par une

distribution stalistique de Bose, Le.,

.1.

~

"

.~ q;T - ~

où t~ est la CCimstante de Botzmann:

Nous écrivons l'équation (6) sous la forme:

(6)