1 Somme d’un nombre aléatoire de variables aléatoires

UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Année 2017

D. Piau, L. Coquille M1 – MAT414

Processus stochastiques – Contrôle continu 27 mars 2017

1 Somme d’un nombre aléatoire de variables aléatoires

Question 1.1. SoientX₁, X₂, . . .une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dansN={0,1,2, . . .}, GX(s) =E(s^X1)leur fonction génératrice commune, etN une variable aléatoire à valeurs dansN, indé- pendante de la suite(Xi)i≥1et dont la fonction génératrice estGN. Montrer que la fonction génératrice de S=X₁+· · ·+X_N est donnée par

G_S =G_N ◦G_X.

Question 1.2. Une poule pondN œufs, oùN suit une loi de Poisson de paramètreλ. Chaque œuf éclôt avec probabilitépindépendamment des autres. SoitKle nombre de poussins. Quelle est la distribution de K?

2 Martingales et processus markoviens

Rappel : On dit qu’un processus (Xn)n≥1 à valeurs dans N est markovien si pour tousxi ∈Ntels queP(Xn−1=xn−1, . . . , X1=x1)>0,

P(Xn=xn|Xn−1 =xn−1, . . . , X1 =x1) =P(Xn=xn|Xn−1 =xn−1).

1. Donner un exemple de processus markovien qui n’est pas une martingale.

2. Soit (X_i)i≥1 une suite i.i.d. de variables aléatoires uniformes sur {−1,1}, et S_n = Pn i=1X_i la marche aléatoire simple symmétrique sur Z partant de 0. Soit τ le temps du deuxième retour en zéro de Sn. Soit F = (F_n)n la filtration donnée par F_n = σ(X1, . . . , Xn). On note R_n=S_min{τ,n}.

(a) Montrer que τ est un temps d’arrêt.

(b) Montrer que R_n est une martingale.

(c) Montrer que R_n n’est pas un processus markovien.

3 Temps d’apparition d’une séquence

Question 3.1. Soit(U_n)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi de Bernoulli, c’est-à-dire telles queP(Ui= 1) =p= 1−P(Ui= 0). Soit τ1 = inf{n≥1 :Un= 1} etτ0= inf{n≥1 :Un= 0}.

1. Quelle est la loi deτ1? 2. Quelle est la loi deτ₀?

3. Quelle est la loi de la première apparition de la séquence10?

4 Polynômes en la marche aléatoire qui sont des martingales

Question 4.1.

Soit (X_i)i≥1 une suite i.i.d. de variables aléatoires uniformes sur{−1,1}, et S_n=Pn

i=1X_i la marche aléatoire simple symmétrique sur Z partant de 0. Soit F = (F_n)n la filtration canonique donnée par F_n=σ(X₁, . . . , X_n). Soitθ >0.

1. Montrer queE e^θXi/coshθ

= 1pour tout i≥1.

2. Montrer queM_n^θ :=e^θSn/(coshθ)ⁿ est une martingale.

3. Soit le développement deM_n^θ en puissances deθ:

M_n^θ =X

k≥0

θ^kP_k(S_n, n).

Montrer que pour toutk≥0, le polynômeP_k(S_n, n)est une martingale.

4. CalculerP_k pourk= 0,1, ...,5.