Variables aléatoires sur un espace ni

Variables aléatoires sur un espace ni

Cours de É. Bouchet ECS1 16 février 2022

Table des matières

1 Variables aléatoires 2

1.1 Dénitions . . . 2

1.2 Loi d'une variable aléatoire . . . 3

1.3 Fonction de répartition . . . 4

1.3.1 Lien entre loi et fonction de répartition . . . 4

1.3.2 Propriétés d'une fonction de répartition . . . 5

1.4 Fonction d'une variable aléatoire . . . 5

2 Moments 6 2.1 Espérance . . . 6

2.2 Théorème de transfert . . . 7

2.3 Moments d'une variable aléatoire . . . 8

2.4 Variance . . . 8

2.4.1 Dénition . . . 8

2.4.2 Propriétés . . . 8

2.5 Variable aléatoire centrée réduite . . . 9

3 Lois nies usuelles 9 3.1 Variable aléatoire certaine . . . 9

3.2 Loi de Bernoulli . . . 10

3.3 Loi binomiale . . . 11

3.4 Loi uniforme sur[[1, n]] . . . 13

1 Variables aléatoires

Dans tout ce chapitreΩest un univers ni.

1.1 Dénitions

On appelle variable aléatoire réelle dénie sur (Ω,P(Ω)) toute application de ΩdansR. SiX est une variable aléatoire, on note

X(Ω) ={X(ω)|ω∈Ω}

l'ensemble des valeurs prises par X. Dénition (Variable aléatoire réelle).

Remarque. PuisqueΩest un univers ni, X(Ω)est ni également. On parle alors de variable aléatoire nie.

Exemple 1. Une expérience aléatoire consiste à lancernfois une pièce équilibrée. On note 1 pour face et 0 pour pile.

AinsiΩest l'ensemble des n-listes d'éléments de{0; 1}.

1. On poseX1 la fonction qui à un élément deΩassocie 1 si le premier lancer donne face, 0 sinon.X1(Ω) ={0,1}. 2. On poseX2 la fonction qui à un élément de Ωassocie le nombre de face obtenu.X2(Ω) =[[0, n]].

3. On poseX3 la fonction qui à un élément deΩassocie le rang d'apparition du premier pile, s'il existe, et0sinon.

X3(Ω) =[[0, n]].

Exemple 2. On lance 2 dés équilibrés de couleurs diérentes.

1. On considèreY la fonction qui à un lancer associe la somme.Y(Ω) =[[2,12]].

2. On considèreX la fonction qui à un lancer associe 2 si les deux dés prennent les valeurs 5 ou 6, 1 si l'un des deux dés seulement prend la valeur 5 ou 6 et −1 sinon.X(Ω) ={−1,1,2}.

On utilise des notations entre crochets pour désigner les événements associés à une variable aléatoireX. Par exemple, L'événement X prend la valeur x est noté[X =x].

L'événement X prend une valeur inférieure à x est noté[X 6x].

L'événement X prend une valeur comprise entre aetb est noté[a6X 6b].

SoitX une variable aléatoire nie, alors([X =x])_x∈X(Ω) est un système complet d'événements. En parti- culier,

X

x∈X(Ω)

P([X=x]) = 1.

Proposition (Système complet d'événements lié à une variable aléatoire).

Démonstration. Soitx∈X(Ω). Par dénition d'une variable aléatoire réelle, [X =x]est un événement de(Ω,P(Ω)). Six ety sont deux éléments distincts deX(Ω),[X=x]et[X =y]sont incompatibles, car la fonction X ne peut pas prendre deux valeurs diérentes sur un même événement élémentaire. De plus,

[

x∈X(Ω)

[X =x] = [X ∈X(Ω)] = Ω.

Donc([X=x])_x∈X(Ω) est un système complet d'événements. L'égalité annoncée en découle par passage aux probabi- lités.

Remarque. L'écritureP(X =x) est souvent utilisée à la place de P([X=x])pour alléger les notations.

1.2 Loi d'une variable aléatoire

SoitXune variable aléatoire nie, on appelle loi de X la donnée deX(Ω)et des valeursP(X =x_k)pour x_k parcourantX(Ω).

Dénition (Loi d'une variable aléatoire).

Exemple 3. On lance une pièce équilibrée, et on dénit la variable aléatoireZ comme valant0si la pièce donne face, et1sinon. Déterminer la loi deZ.

La loi deZ est : Z(Ω) ={0,1},P(Z = 1) = 1

2,P(Z = 0) = 1 2.

Exemple 4. Déterminer la loi de la variable aléatoireX de l'exemple 2.

On a déjà déterminé que X(Ω) = {−1,1,2}. On pose Di l'événement le i-ème dé prend la valeur 5 ou 6 . L'indépendance des lancers permet alors les calculs des probabilités :

P(X= 2) =P(D1∩D2) =P(D1)P(D2) = 2 6×2

6 = 1 9, P(X =−1) =P(D1∩D2) =P(D1)P(D2) = 4

6× 4 6 = 4

9, P(X = 1) =P (D1∩D2)∪(D1∩D2)

=P(D1∩D2) +P(D1∩D2) = 2 6×4

6 +4 6 ×2

6 = 4 9, où la gestion de l'union découle de l'incompatibilité des événements considérés.

Remarque : pour le calcul deP(X = 1), on pouvait aussi remarquer queP(X= 1) = 1−P(X= 2)−P(X =−1) = ⁴₉.

Soit (p_k)_k∈[[1,n]]∈Rⁿ. Si, pour toutk∈[[1, n]],p_k>0et si

n

X

k=1

p_k= 1,

alors[[1, n]] et(p_k)_k∈[[1,n]] forment la loi d'une variable aléatoire nie.

Proposition.

Démonstration. On pose Ω = [[1, n]], P({k}) = p_k, et X la fonction identité. Il est alors direct que P engendre une probabilité, et queX est une variable aléatoire.

Exemple 5. Soientα∈R et n∈N^∗. On considère la n-liste (u₁, . . . , u_n) dénie pour touti∈[[1, n]] par u_i =α×i. Cetten-liste dénit-elle une loi d'une variable aléatoire réelle ?

Pour touti∈[[1, n]], on aui >0 si et seulement siα>0. Par ailleurs, on a :

n

X

i=1

u_i =

n

X

i=1

αi=α

n

X

i=1

i=αn(n+ 1)

2 ,

ce qui est égal à1 ssi α = _n(n+1)² . Cette valeur étant positive, la liste dénit une loi de variable aléatoire nie si et seulement siα = _n(n+1)² .

1.3 Fonction de répartition

SoitX une variable aléatoire nie, on appelle fonction de répartition de X la fonctionFX dénie pour toutx∈R par

F_X(x) =P(X6x). Dénition (Fonction de répartition).

Exemple 6. On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit X la variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient deux fois pile,2si on obtient deux fois face, et 1 sinon. Quelle est la loi deX? Tracer sa fonction de répartition.

X(Ω) ={0,1,2}, avec P(X= 0) =P(X = 2) = 1

4, etP(X= 1) = 1−1 4 −1

4 = 1

2. D'où le tracé :

•

•

•

0 1 2

1−

1 4 1 2 1 4

1.3.1 Lien entre loi et fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire nie,

∀x∈R, FX(x) =X

xk∈X(Ω) xk6x

P(X =xk),

et réciproquement, siX(Ω) ={x₁, . . . x_n} avecx₁< x₂ <· · ·< x_n,

P(X=x1) =FX(x1) et ∀k∈[[2, n]], P(X=xk) =FX(xk)−FX(xk−1). Proposition (La fonction de répartition caractérise la loi).

Démonstration. (démonstration à connaître) Pour toutx∈R : [X 6x] = [

xk∈X(Ω) xk6x

[X =x_k].

Or les événements[X =xk]sont incompatibles deux à deux. Par additivité de la probabilité, on obtient donc : F_X(x) =P(X 6x) = X

xk∈X(Ω) xk6x

P(X=x_k).

D'où la première relation. SiX(Ω) ={x₁, . . . xn}, le cas x=x1 nous donne alors directement P(X =x1) =FX(x1).

Et sik∈[[2, n]],

FX(x_k) =

k

X

i=1

P(X=xi) =P(X=x_k) +FX(xk−1). D'où la dernière relation.

Exemple 7. Une urne contient p boules numérotées de 1 à p. On tire n boules avec remise, et on note X le plus grand des numéros tirés. Trouver la loi deX.

On remarque queX(Ω) = [[1, p]]: l'inclusionX(Ω)⊂[[1, p]]est immédiate carXest un numéro de boule, et sik∈[[1, p]], on réalise[X =k]par exemple en tirantn−1 fois1 puisk, d'où l'égalité des ensembles.

Sin= 1, on sait que X est telle que ∀k ∈[[1, p]], P(X =k) = ¹_p. Le problème est de passer au maximum quand on a plusieurs tirages. Pour cela, on va utiliser les fonctions de répartition.

On pose X_l la variable aléatoire correspondant au numéro du l-ième tirage. On a alors X = max

l∈[[1,n]]X_l, et pour tout k∈[[1, p]], la dénition du max et l'indépendance mutuelle des événements[X_l6t]donnent :

FX(k) =P(X 6k) =P

l∈[[1,n]]max X_l6k

=P

n

\

l=1

[X_l6k]

!

=

n

Y

l=1

P(X_l6k) =

n

Y

l=1

FX_l(k).

OrF_Xl(k) =P(X_l6k) = ^k_p par équiprobabilité. Donc

∀k∈[[1, p]], F_X(k) = k

p n

. La proposition précédente donne alors :

∀k∈[[2, p]], P(X =k) =F_X(k)−F_X(k−1) = k

p n

−

k−1 p

n

et P(X= 1) =F_X(1) = 1

p n

. Rmq : on vérie bien par télescopage que ces valeurs se somment à 1.

1.3.2 Propriétés d'une fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire nie etF_X sa fonction de répartition. Alors 1. F_X est croissante surR,

2. F_X est continue à droite surR, 3. lim

x→−∞F_X(x) = 0, 4. lim

x→+∞FX(x) = 1.

Proposition.

Démonstration. Ce résultat sera démontré (dans un cadre un peu plus général) dans un chapitre ultérieur.

1.4 Fonction d'une variable aléatoire

SoitX une variable aléatoire nie etgune fonction réelle telle que X(Ω)⊂D_g, c'est à dire telle que g est dénie sur X(Ω). La fonction Y =g(X) dénie sur Ωpar

Y(ω) =g(X(ω)) est également une variable aléatoire.

Proposition (Fonction d'une variable aléatoire).

Démonstration. La fonction Y =g◦X est dénie sur Ω (carX(Ω)⊂D_g) à valeurs réelles, par dénition c'est donc une variable aléatoire.

Exemple 8. On reprend les variables aléatoires de l'exemple 1 (lancernfois une pièce équilibrée) :X₁ est la fonction qui à un élément deΩassocie 1 si le premier lancer donne face, 0 sinon. On dénit

X= 2X₁−1,

c'est la fonction qui à un élément de Ω associe 1 si le premier lancer donne face, −1 sinon, et c'est également une variable aléatoire.

Soit X une variable aléatoire nie etY =g(X). Pour tout yi∈Y (Ω), P(Y =yi) =X

xk∈X(Ω) g(xk)=yi

P(X=x_k). Proposition (Loi deY).

Démonstration. ∀y_i ∈Y(Ω),P(Y =yi) =P(g(X) =yi). Or[g(X) =yi] = [

xk∈X(Ω) g(xk)=yi

[X =xk], et les xk sont distincts, les événements sont donc incompatibles deux à deux. D'où le résultat.

Exemple 9. On reprend la variable aléatoireX de l'exemple 2 et on pose Y =X². Déterminer la loi deY. X(Ω) ={−1,1,2}donc Y(Ω) ={1,4}. De plus,

P(Y = 1) =P(X = 1) +P(X=−1) = 4 9 +4

9 = 8

9 et P(Y = 4) =P(X= 2) = 1 9.

2 Moments

2.1 Espérance

Soit X une variable aléatoire nie. On appelle espérance de X le nombre réel E(X) = X

x∈X(Ω)

xP(X =x). Dénition (Espérance).

Remarque. Dans le cas oùX(Ω) = [[1, n]], alors E(X) =

n

X

k=1

kP(X=k).

2.2 Théorème de transfert

SoitX une variable aléatoire nie etgune fonction réelle telle queX(Ω)⊂D_g, on poseY =g(X). Alors : E(Y) =E(g(X)) = X

x∈X(Ω)

g(x)P(X=x).

Théorème (Théorème de transfert).

Démonstration. On remarque que Y(Ω) =g(X(Ω)). Soity∈Y(Ω), on poseG_y ={x∈X(Ω)|g(x) =y}. On a alors : P(Y =y) = X

x∈Gy

P(X =x) donc yP(Y =y) = X

x∈Gy

g(x)P(X=x).

Comme par construction,S

y∈Y(Ω)G_y =X(Ω)et les G_y sont disjoints deux à deux, on obtient en sommant : E(Y) = X

y∈Y(Ω)

yP(Y =y) = X

y∈Y(Ω)



 X

x∈Gy

g(x)P(X=x)



= X

x∈X(Ω)

g(x)P(X=x).

Soienta etbdeux réels etX une variable aléatoire nie.

SiX(Ω)⊂[a, b], alors E(X)∈[a, b].

E(aX +b) =aE(X) +b (linéarité de l'espérance).

Proposition (Propriétés de l'espérance).

Démonstration.

SupposonsX(Ω)⊂[a, b]. Alors∀x∈X(Ω),a6x6b. En multipliant parP(X =x)>0 puis en sommant sur les diérentes valeurs de x, on obtient :

X

x∈X(Ω)

aP(X=x)6 X

x∈X(Ω)

xP(X =x)6 X

x∈X(Ω)

bP(X=x),

et comme X

x∈X(Ω)

P(X =x) = 1, le calcul des trois sommes donne biena6E(X)6b. Par théorème de transfert puis linéarité de la somme,

E(aX+b) = X

x∈X(Ω)

(ax+b)P(X=x) =a X

x∈X(Ω)

xP(X=x) +b X

x∈X(Ω)

P(X=x) =aE(X) +b.

Remarque. SiX et Y sont deux variables aléatoires nies, on a égalementE(X+Y) =E(X) +E(Y). Ce résultat sera montré en deuxième année.

2.3 Moments d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire nie etr∈N^∗. On appelle moment d'ordrer de X le nombre réel : E(X^r) = X

x∈X(Ω)

x^rP(X =x).

Dénition (Moment).

Remarque. La deuxième égalité est une simple application du théorème de transfert à la variable aléatoireX et à la fonction dénie surR parx→x^r.

SoitX une variable aléatoire nie et r∈N^∗. On appelle moment centré d'ordrer deX le nombre réel : E((X−E(X))^r) = X

x∈X(Ω)

(x−E(X))^rP(X=x).

Dénition (Moment centré).

2.4 Variance 2.4.1 Dénition

Soit X une variable aléatoire nie On appelle variance deX le moment centré d'ordre deux V(X) =E (X−E(X))²

et écart-type deX la quantitéσ(X) =p V(X). Dénition (Variance).

2.4.2 Propriétés

Soienta etbdeux réels etX une variable aléatoire nie, alors V(aX+b) =a²V(X).

Proposition.

Démonstration. Par linéarité de l'espérance,

V(aX+b) =E (aX+b−E(aX+b))²

=E (aX+b−aE(X)−b)²

=a²E((X−E(X))²)

=a²V(X)

Soit X une variable aléatoire nie. Alors :

V(X) =E(X²)−E(X)². Proposition (Formule de Huygens).

Démonstration. (démonstration à connaître) Par linéarité de l'espérance, V(X) =E (X−E(X))²

=E(X²+E(X)²−2E(X)X)

=E(X²) +E(X)²−(2E(X))E(X)

=E(X²) +E(X)²−2E(X)²

=E(X²)−E(X)²

Remarque : on a utilisé la version hors programme de l'espérance de la somme de deux variables aléatoires.

2.5 Variable aléatoire centrée réduite

SoitX une variable aléatoire nie de variance non nulle. On appelle variable aléatoire centrée réduite associée àX la variable notéeX^∗ dénie par :

X^∗ = X−E(X) pV(X) . Dénition (Variable aléatoire centrée réduite).

Remarque. Par propriétés de l'espérance et de la variance, on a alors toujours : E(X^∗) = E(X)−E(X)

pV(X) = 0 et V(X^∗) = V(X) (p

V(X))² = 1.

3 Lois nies usuelles

3.1 Variable aléatoire certaine

Une variable aléatoire nieX est certaine si elle ne prend qu'une seule valeura. On a alors P(X =a) = 1.

Dénition (Variable aléatoire certaine).

SiX est une variable aléatoire certaine telle que X(Ω) ={a}, alors E(X) =aetV(X) = 0. Proposition (Espérance et variance d'une variable aléatoire certaine).

Démonstration. E(X) =aP(X =a) =a, puis par théorème de transfert appliqué à la fonctionx→(x−a)² : V(X) = (a−a)²P(X=a) = 0²×1 = 0.

SiX est une variable aléatoire nie de variance nulle, alors il existe un réel apour lequelP(X=a) = 1. Théorème (Variable aléatoire de variance nulle).

Démonstration. (démonstration à connaître) On suppose queV(X) = 0. Par dénition de la variance,(X−E(X))² est alors une variable aléatoire nie d'espérance nulle. SiX(Ω) ={x₁, . . . , x_n}, on a de plus par le théorème de transfert :

n

X

k=1

(x_k−E(X))²P(X =x_k) = 0.

Or pour toutk∈[[1, n]],(xk−E(X))²P(X=xk)>0, donc les termes de la somme sont tous nuls.

Donc pour toutk∈[[1, n]], soit (x_k−E(X))²= 0 (càdx_k=E(X)), soitP(X=x_k) = 0. Comme

n

X

k=1

P(X=x_k) = 1, il existe au moins un k0 tel que P(X =x_k0) 6= 0. Alorsx_k0 =E(X). Or E(X) est une constante :∀k6=k0,xk6=E(X), cela signie que(xk−E(X))²6= 0 et donc P(X=xk) = 0. On en déduit bien :

P(X =x_k0) = 1.

3.2 Loi de Bernoulli

Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p∈[0,1]lorsque X(Ω) ={0,1} et P(X= 1) =p.

On note alorsX ,→ B(p).

Dénition (Loi de Bernoulli).

Remarque. On a alorsP(X= 0) = 1−p.

SiX est une variable aléatoire telle que X ,→ B(p), alors E(X) =petV(X) =p(1−p). Proposition (Espérance et variance d'une variable aléatoire de Bernoulli).

Démonstration.

E(X) = 1P(X= 1) + 0P(X = 0) =p,

V(X) = (1−E(X))²P(X= 1) + (0−E(X))²P(X= 0)

= (1−p)²p+p²(1−p)

=p(1−p)(1−p+p) =p(1−p).

Exemple 10. On suppose queX ,→ B(p). Quelle est la loi de la variable aléatoire X²?

X² ne peut prendre que les valeurs 0 et 1, et P(X² = 1) = P(X = 1) = p comme X est à valeurs positives. Donc X² ,→ B(p).

Soit (Ω,P(Ω))un espace probabilisable, et E un événement de Ω. La variable aléatoire nieX telle que X(ω) = 1 si ω∈E

X(ω) = 0 si ω /∈E est appelée la variable indicatrice de l'événement E. On la note1_E.

Dénition (Variable indicatrice d'un événement).

Exemple 11. On lance un dé. SoitA l'événement tirer un numéro pair . La variable aléatoireX qui vaut1 si on tire un numéro pair et0sinon est la variable indicatrice de l'événement A.

Remarque. La variable indicatrice1_E suit une loi de Bernoulli de paramètre p=P(E). 3.3 Loi binomiale

Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres p∈ [0,1]et n∈N^∗ lorsque X(Ω) = [[0, n]]

et∀k∈[[0, n]],

P(X =k) = n

k

p^k(1−p)^n−k. On note alorsX ,→ B(n, p).

Dénition (Loi binomiale).

Démonstration. Il faut montrer que ces propriétés permettent bien de dénir une variable aléatoire. ∀k ∈ [[0, n]],

n k

p^k(1−p)^n−k>0 puisquep∈[0,1], de plus la formule du binôme de Newton donne :

n

X

k=0

n k

p^k(1−p)^n−k= (p+ 1−p)ⁿ= 1.

Il s'agit donc bien de la loi d'une variable aléatoire.

Remarque. X ,→ B(1, p)⇔X ,→ B(p).

Remarque. On considère une expérience qui se déroule en n épreuves indépendantes, ayant toutes une probabilité de succèspet une probabilité d'échec 1−p. On noteX la variable aléatoire correspondant au nombre total de succès dans lesnépreuves. Déterminer la loi de X.

Il est immédiat queX(Ω) = [[0, n]]. Soit k∈X(Ω),[X=k]correspond à l'événement il y a exactementk succès . On poseS_i l'événement la i-ème épreuve est un succès . Alors

P(X=k) =P





 [

I⊂[[1,n]]

Card(I)=k

(∩_i∈ISi)∩(∩_{i /∈I}Si)





= X

I⊂[[1,n]]

Card(I)=k

P (∩_i∈ISi)∩(∩_{i /∈I}Si) ,

où le passage à la somme se justie par l'incompatibilité deux à deux des événements considérés. Comme de plus, les expériences sont indépendantes,

P(X=k) = X

I⊂[[1,n]]

Card(I)=k

(Y

i∈I

P(Si))(Y

i /∈I

P(Si))

!

= X

I⊂[[1,n]]

Card(I)=k

p^k(1−p)^n−k.

Or, il y a ⁿ_k

événements élémentaires qui renvoientksuccès (on choisit la position desksuccès dans lesnépreuves), donc autant de manières de choisirI. D'où P(X=k) = ⁿ_k

p^k(1−p)^n−k. On en déduit que X ,→ B(n, p).

SiX est une variable aléatoire telle que X ,→ B(n, p), alorsE(X) =npetV(X) =np(1−p). Proposition (Espérance et variance d'une variable aléatoire binomiale).

Démonstration.

E(X) =

n

X

k=0

kP(X=k)

= 0 +

n

X

k=1

k n

k

p^k(1−p)^n−k

=

n

X

k=1

kn k

n−1 k−1

p^k(1−p)^n−k

=n

n−1

X

i=0

n−1 i

pⁱ⁺¹(1−p)ⁿ⁻¹⁻ⁱ en posanti=k−1

=np

n−1

X

i=0

n−1 i

pⁱ(1−p)ⁿ⁻¹⁻ⁱ

=np par formule du binôme de Newton,

Pour la variance, la formule de Huygens donne : V(X) =

n

X

k=0

k²P(X =k)−E(X)²

= 0 +n

n−1

X

i=0

(i+ 1) n−1

i

pⁱ⁺¹(1−p)ⁿ⁻¹⁻ⁱ−(np)² en simpliant n

k

puis en posanti=k−1

=np

n−1

X

i=0

i n−1

i

pⁱ(1−p)ⁿ⁻¹⁻ⁱ+ (p+ 1−p)ⁿ⁻¹

!

−(np)² par linéarité et binôme de Newton

=np 0 +

n−1

X

i=1

in−1 i

n−2 i−1

pⁱ(1−p)ⁿ⁻¹⁻ⁱ

!

+np−(np)²

=n(n−1)p²

n−2

X

k=0

n−2 k

p^k(1−p)^n−2−k

!

+np−(np)² en posantk=i−1

=n(n−1)p²+np−(np)² par binôme de Newton

=np(1−p)

Une preuve plus simple sera obtenue avec les résultats de l'an prochain, et l'espérance/variance d'une somme.

3.4 Loi uniforme sur [[1, n]]

Soitn∈N^∗. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur[[1, n]] lorsqueX(Ω) = [[1, n]] et∀k∈[[1, n]], P(X=k) = 1

n. On note alorsX ,→ U([[1, n]]).

Dénition (Loi uniforme).

Démonstration. Il faut montrer que ces propriétés permettent bien de dénir une variable aléatoire. _n¹ >0, de plus :

n

X

k=1

1 n = n

n = 1.

Il s'agit donc bien de la loi d'une variable aléatoire.

SiX est une variable uniforme telle queX ,→ U([[1, n]]), alors E(X) = n+ 1

2 etV(X) = n²−1 12 . Proposition (Espérance et variance d'une variable uniforme).

Démonstration. Il sut de faire le calcul : E(X) =

n

X

k=1

kP(X =k) =

n

X

k=1

k1 n = 1

n

n

X

k=1

k= n+ 1 2 . On obtient ensuite avec Huygens :

V(X) =

n

X

k=1

k²P(X =k)−E(X)²

= 1 n

n(n+ 1)(2n+ 1)

6 −

n+ 1 2

2

= n+ 1 2

2n+ 1

3 − n+ 1 2

= n+ 1 2

4n+ 2−3n−3 6

= n²−1 12 .

On peut généraliser la dénition de la loi uniforme au cas d'un intervalle[[a, b]] où (a, b)∈Z.

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [[a, b]]lorsque X(Ω) = [[a, b]]et∀k∈[[a, b]], P(X=k) = 1

b−a+ 1. On note alorsX ,→ U([[a, b]]).

Dénition (Loi uniforme généralisée).

Démonstration. Il faut montrer que ces propriétés permettent bien de dénir une variable aléatoire. On pourrait le faire à la main mais il est intéressant de remarquer qu'on peut se ramener par translation à une loi de typeU([[1, n]]), avecn=b−a+ 1pour que le nombre de valeurs atteignables soit identique.

En eet, on peut écrireX= (a−1) +Y avec Y ,→ U([[1, b−a+ 1]]). C'est donc bien une variable aléatoire.

SiX est une variable uniforme telle queX ,→ U([[a, b]]), alors E(X) = a+b

2 etV(X) = (b−a+ 1)²−1

12 .

Proposition (Espérance et variance d'une variable uniforme généralisée).

Démonstration. On peut utiliser le théorème de transfert, mais il y a plus simple en remarquant comme précédemment queX= (a−1) +Y avecY ,→ U([[1, b−a+ 1]]). Les formules d'espérance et variance d'une somme donnent donc :

E(X) =a−1 +E(Y) =a−1 +b−a+ 2

2 = a+b 2 , V(X) =V(Y) = (b−a+ 1)²−1

12 .