Centrale PC 2002 Epreuve de Mathématiques 1

Centrale PC 2002

Epreuve de Math´ematiques 1

On d´esigne parC_2π l’espace des fonctions de Rdans Cqui sont continues et 2π-p´eriodiques.

Sif ∈C2π, ses coefficients de Fourier sont donn´es pourn∈Zparf^b(n) = 1 2π

Z _π

−πf(t)e^−intdt, sa s´erie de Fourier ´etant ^X

n∈Z

f(n)eb ^int.

Partie I - D´ efinition de la fonction x

I.A. On suppose l’espace R² muni de sa structure euclidienne canonique. On d´efinit T :R³ 7→ R³ par :

T(x, x,0) = (x, x,0),

T(x, y, z) = (x⁰, y⁰, z⁰) o`u x⁰=y et (y⁰, z⁰) est la projection orthogonale de (y,−z) sur la droite passant par (x,0) et (y, z) si (x, y, z)6= (x, x,0).

I.A.1) On suppose x 6= y, z 6= 0 et l’on pose A = (x,0), B = (y, z), C = (y,−z), A⁰ = (x⁰,0), B⁰= (y⁰,−z⁰),C⁰= (y⁰, z⁰) o`u (x⁰, y⁰, z⁰) =T(x, y, z).

Les points A⁰,B⁰, C⁰ sont les pieds des hauteurs du triangleABC.

I.A.2) Si (x, y, z)6= (x, x,0), la droiteAB est bien d´efinie. La projection orthogonaleC⁰ de C sur la droiteAB est caract´eris´ee par les ´equations

( <−−→

C⁰C,−−→

AB > = 0 det(−−→

AC⁰,−−→ AB) = 0

Le calcul donne ₍

(y−x)(y−y⁰)−z(z+z⁰) = 0 (y−x)z⁰−(y⁰−x)z = 0 En utilisanty=x⁰, on obtient un syst`eme de Cramer

( (y−x)(x⁰−y⁰)−zz⁰ =z² z(x⁰−y⁰) + (y−x)z⁰ =z(y−x) ayant pour solution

y⁰−x⁰=− 2z²(y−x)

(y−x)²+z², z⁰=z(y−x)²−z² (y−x)²+z².

I.B. Pourt∈]0, π[ on pose X₀(t) = (0,1,cotant) et on d´efinit par r´ecurrence pour n∈N la suite X_n(t) = (x_n(t), y_n(t), z_n(t))par X_n+1(t) =T(X_n(t)).

I.B.1) Si z_n(t) = 0, alors, en posant z = 0 dans les ´equations de I.A.2), on obtient y⁰−x⁰ = z⁰ = 0, ainsiz_n+1(t) = 0 et y_n+1(t)−x_n+1(t) = 0.

a) On suppose que z_n(t)6= 0 pour 0≤n≤N −1 avecN ∈N^∗. On a y₀(t)−x₀(t)

z₀(t) = tan(t). SiN = 1 alors le r´esultat demand´e est ´etabli.

SiN >1 supposons que

y_n(t)−x_n(t)

z_n(t) = tan(2ⁿt) pour 0≤n < N−1, alors, d’apr`es I.A.2), on obtient

y_n+1(t)−x_n+1(t)

z_n+1(t) = −2z_n(t)(y_n(t)−x_n(t))

(y_n(t)−x_n(t))²−z_n(t)² = 2^yn(t)_zn⁻_(t)^xn(t) 1−^yn(t)_zn⁻_(t)^xn(t)2

= tan(2(2ⁿt)).

On a donc ´etabli, par r´ecurrence sur n, que

∀0≤n≤N−1, y_n(t)−x_n(t)

z_n(t) = tan(2ⁿt).

b) Si z_N(t) = 0 alors (y_N−1(t)−x_N−1(t))²−(z_N−1(t))²= 0 avecz_N−1(t)6= 0 ainsi y_N−1(t)−x_N−1(t)

zN−1(t)

2

= 1 D’apr`es a), on a donc tan²(2^N−1t) = 1. Il en r´esulte que

cos(2^Nt) = 1−tan²(2^N−1t) 1 + tan²(2^N−1t) = 0.

I.B.2) Sit = π

2, alorszn(t) = 0 pour tout n≥0, ainsiyn+1(t)−xn+1(t) = 0 et la relation demand´ee est v´erifi´ee.

Sit6= π

2 et siz_n(t)6= 0 pour tout n≥0, alors la relation y⁰−x⁰=− 2z²

(y−x)²+z²(y−x) =− 2 1 +^y−_z^x2

(y−x) avec z6= 0 donne, par substitution,

y_n+1(t)−x_n+1(t) =−2 1

1 + tan²(2ⁿt)(y_n(t)−x_n(t)) =−2cos²(2ⁿt)(y_n(t)−x_n(t)).

Sit6= π

2 et si∃N ≥1 telz_N(t) = 0, alors cos(2^Nt) = 0 ety_N+1(t)−x_N+1(t) = 0 donc la relation est v´erifi´ee `a l’ordre N. Et pour toutn ≥N, on a donc y<sub>n</sub>(t)−x<sub>n</sub>(t) = 0 d’apr`es I.B.1), ainsi la relation reste trivialement v´erifi´ee.

Finalement

∀n≥0, ∀t∈]0, π[, yn+1(t)−xn+1(t) =−2cos²(2ⁿt)(yn(t)−xn(t)).

I.B.3) On en d´eduit que :

∀n≥0, ∀t∈]0, π[ yn+1(t)−xn+1(t) = (−1)ⁿ⁺¹ Yn k=0

2 cos²(2^kt).

En multipliant par 2ⁿ⁺¹sin²(t) et en utilisant le fait que 2 cosusinu= cos 2u, on obtient

∀n≥0, ∀t∈]0, π[ 2ⁿ⁺¹sin²(t)(y_n+1(t)−x_n+1(t)) = (−1)ⁿ⁺¹sin²(2ⁿ⁺¹t).

Sachant que x⁰=y, il vient

x_n+2(t)−x_n+1(t)) = (−1)ⁿ⁺¹sin²(2ⁿ⁺¹t) 2ⁿ⁺¹sin²(t). On a x₁(t)−x₀(t)) = 1−0. Finalement

∀n≥0, ∀t∈]0, π[ x_n+1(t)−x_n(t)) = (−1)ⁿsin²(2ⁿt) 2ⁿsin²(t). I.B.4) On pose, pourn≥0,u_n(t) = sin²(t)x_n(t), donc u₀(t) = 0 et

∀n≥0, ∀t∈]0, π[ u_n+1(t)−u_n(t)) = (−1)ⁿsin²(2ⁿt) 2ⁿ . On au_n+1(t) =

Xn k=0

(u_k+1(t)−u_k(t) et∀t∈]0, π[, |u_n+1(t)−u_n(t)| ≤ ₂¹ⁿ qui est le terme g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique convergente. Ainsi la suite (u_n) converge simplement sur ]0, π[ vers une fonction u. De plus la s´erie de fonctions continues ^X(u_n+1 −u_n) converge normalement sur ]0, π[ ainsiu est continue sur ]0, π[.

Il en r´esulte la suite (x_n) converge simplement vers la fonction x : t 7→ u(t)

sin²(t), ´egalement continue sur ]0, π[.

I.B.5) La fonctionu v´erifie

∀t∈]0, π[ u(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿsin²(2ⁿt) 2ⁿ .

Le terme de droite est une s´erie normalement convergente surR, de fonctions continues, paires, 2π-p´eriodiques, ainsi use prolonge surR en une fonction paire et appartenant `a C_2π.

A l’aide de la relation sin²θ= 1−cos 2θ

2 , on obtient

∀t∈R u(t) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2ⁿ⁺¹ +

+X∞ n=0

(−1)ⁿ⁺¹cos(2ⁿ⁺¹t) 2ⁿ⁺¹ = 1

3 +

+X∞ n=1

(−1)ⁿcos(2ⁿt) 2ⁿ .

Le terme de droite est une s´erie trigonom´etrique uniform´ement convergente sur R, c’est donc la s´erie de Fourier de sa sommeu.

I.B.6) Siz₀(t) = 0 alorsz_n(t) = 0 pour toutn∈N.

Siz₀(t)6= 0 alors∃N ≥1 telz_n(t) 6= 0 pour tout 0≤n≤N −1.

D’apr`es I.A.2) et I.B.1)a), on a

z_n+1(t) =z_n(t)(y_n(t)−x_n(t))²−z_n(t)²

(y_n(t)−x_n(t))²+z_n(t)² =z_n(t)tan²(2ⁿt)−1

tan²(2ⁿt) + 1 =−z_n(t) cos(2ⁿ⁺¹t).

Ainsi

∀t∈]0, π[ z_n+1(t) = (−1)ⁿ⁺¹z₀(t) Yn k=0

cos(2^k+1t).

En multipliant par 2ⁿ⁺¹sin(2t) et en utilisant le fait que 2 cosusinu= cos 2uet quez₀(t) =cotan(t), on obtient

z_n+1(t) = (−1)ⁿ⁺¹ sin(2ⁿ⁺²t) 2ⁿ⁺²sin²(t).

En particulierz_N(t) = (−1)^N sin(2^N+1t) 2ⁿ⁺¹sin²(t).

On a vu que siz_N(t) = 0 alors cos(2^Nt) = 0, ainsi sin(2ⁿ⁺¹t) = 0 pour toutn≥N, la relation pr´ec´edente reste donc valable.

Finalement, on peut regrouper tous les cas en

∀n≥0, ∀t∈]0, π[ z_n(t) = (−1)ⁿ sin(2ⁿ⁺¹t) 2ⁿ⁺¹sin²(t). Il en r´esulte que|z_n(t)| ≤ 1

2ⁿ⁺¹sin²(t) pourt∈]0, π[. Ainsi, la suitez_nconverge simplement vers 0 sur ]0, π[.

Partie II - Etude de quelques propri´ et´ es de la fonction x

II.A. On a ´etabli dans Partie I que

∀t∈]0, π[, x(t) = 1 +

+X∞ n=1

(−1)ⁿsin²(2ⁿt) 2ⁿsin²t. Ainsi

x(π

4) = 1− sin²(^π₂)

2 sin²(^π₄) = 1−1 = 0 et x(π 2) = 1.

Sin = 2p+ 1 alors 2^2p+1π₃ = 4^p2π₃ ≡ ^2π₃ (2π) et si n= 2p >0 alors 2^{2p π}₃ = 4^{p π}₃ ≡ ^4π₃ (2π) ainsi sin²(2^{n π}₃) = (±^√₂³)²= ³₄.

Il en r´esulte que x(π

3) = 1 +

+X∞ n=1

(−1)ⁿ 1 2ⁿ = 2

3.

Pour n ≥ 1, t ∈]0, π[, on a sin²(2ⁿ(π−t)) = sin²(−2ⁿt) = (−sin(2ⁿt))² = sin²(2ⁿ(t)), ainsi x(π−t) =x(t) pour t∈]0, π[.

II.B.

II.B.1) On pose pour n≥0, t∈]0, π[,

ϕn(t) = Xn k=1

(−1)^k2^ksin² t

2^k

.

Pourn≥1 et t∈]0, π[ on a

∀t∈]0, π[, 2ⁿu t

2ⁿ

=

+∞

X

k=0

(−1)^ksin²(2^k−nt) 2^k−n =

nX−1 k=0

(−1)^ksin²(2^k−nt) 2^k−n +

+∞

X

k=n

(−1)^ksin²(2^k−nt) 2^k−n Avec le changement d’indicep=n−k, on obtient

nX−1 k=0

(−1)^ksin²(2^k−nt)

2^k−n = (−1)ⁿ Xn p=1

(−1)^−p2^psin² t

2^p

= (−1)ⁿϕ_n(t).

De mˆeme, avec le changement d’indice p=k−n, on obtient

+∞

X

k=n

(−1)^ksin²(2^k−nt)

2^k−n = (−1)ⁿ

+X∞ p=0

(−1)^psin²(2^pt)

2^p = (−1)ⁿu(t).

Ainsi

∀t∈]0, π[, 2ⁿu t

2ⁿ

= (−1)ⁿ(u(t) +ϕ_n(t)).

II.B.2) ϕ_n(t) est une somme partielle de la s´erie de terme g´en´eral ψ_k(t) = (−1)^k2^ksin²₂^tk

. On a

|ψ_k(t)| ≤ ₂^t2k qui est le terme g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique convergente. Ainsi la suite (ϕ_n) converge simplement sur ]0, π[ vers une fonctionϕ.

ψ_k est de classe C¹ sur ]0, π[ avecψ_k⁰(t) = (−1)^ksin₂k^t−1

. On a |ψ_k⁰(t)| ≤ ₂k^t

−1 ≤ ₂k^π

−1 pour toutt∈]0, π[.

La s´erie des d´eriv´ees^P_k≥1ψ⁰_k converge normalement donc uniform´ement sur ]0, π[. Ainsi ϕest de classeC¹ sur ]0, π[ avecϕ⁰(t) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿsin t

2ⁿ⁻¹

. II.C.

II.C.1) On a

α_n= 2⁻²ⁿx π/4

2²ⁿ

= 2²ⁿu^π/4₂2n

2⁴ⁿsin^2π/4₂2n

= u(π/4) +ϕ2n(π/4) 2⁴ⁿsin^2π/4₂2n

.

On a u(π/4) = 0 d’apr`es II.A.

On a 1

2⁴ⁿsin^2π/4₂2n

^n7→∼^+∞ 4

π 2

et lim

n7→+∞ϕ_2n(π/4) =ϕ(π/4) Ainsi la suite (αn)n est convergente , de limiteα=_π⁴²ϕ(π/4).

De mˆeme, on a β_n= 2^−(2n+1)x

π/4 2²ⁿ⁺¹

= 2²ⁿ⁺¹u₂^π/42n+1

2²ⁿ⁺¹sin²₂^π/42n+1

=−u(π/4) +ϕ2n+1(π/4) 2⁴ⁿ⁺²sin²₂^π/42n+1

=− ϕ2n+1(π/4) 2⁴ⁿ⁺²sin²₂^π/42n+1

.

On a 1

2⁴ⁿ⁺²sin²₂^π/42n+1

^n7→∼^+∞ 4

π 2

et lim

n7→+∞ϕ_2n(π/4) =ϕ(π/4) Ainsi la suite (βn)n est convergente , de limiteβ=−α.

Commeα est la somme d’une s´erie, on calcule une valeur approch´ee `a 10<sup>−3</sup> pr`es, `a l’aide d’une somme partielle, en majorant un reste par 10⁻³.

On aα=⁴_π²

+X∞ k=1

(−2)^ksin² π

4×2^k

donc

4 π

2 +X∞ k=n+1

(−2)^ksin² π

4×2^k ≤

+X∞ k=n+1

1 2^k = 1

2ⁿ. Il suffit de choisirn= 10 pour obtenir, avec_π⁴²

X10 k=1

(−2)^ksin² π

4×2^k

une valeur approch´ee

`

a 10⁻³ pr`es. Le calcul machine donne α' −0,311.

II.C.2) On ax π

2²ⁿ

=α_n−12²ⁿ⁻² avec lim

n7→+∞α_n=α <0 etx π

2²ⁿ⁺¹

=β_n−12²ⁿ⁻¹ avec lim

n7→+∞β_n= β >0. Il en r´esulte que lim

n7→+∞x π

2²ⁿ

=−∞ et lim

n7→+∞x π

2²ⁿ⁺¹

= +∞.

Il existe donc un entier n₀, tel que x₂^π2n

<0 et x₂2n+1^π

>0 pour toutn≥n₀.

La fonction est continue sur ]0, π[, il existe donc, d’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, tn∈] π

2²ⁿ⁺¹, π

2²ⁿ[ tel que x(tn) = 0 pour toutn≥n0.

Il existe donc une suite de nombres t_n∈]0, π[ convergeant vers 0 telle que x(t_n) = 0.

Partie III:- S´ eries de Fourier lacunaires

III.A.

III.A.1) Pourt∈]−π, π[\{0}, un calcul de somme g´eom´etrique donne D_N(t) =

XN k=−N

e^ikt =e^{−iN t} X2N k=0

e^ikt=e^{−iN t}1−e^i(2N+1)t

1−e^it = sinN +¹₂t sin ^t₂ .

III.A.2) La fonction sinN+¹₂t

sin ₂^t ´etant prolongeable par continuit´e en 0, on peut ´ecrire I_N = 1

2π Z π

−π

D_N(t)⁴dt= 1 2π

Z π

−π

sin⁴N+ ¹₂t sin⁴ ₂^t dt.

En utilisant l’in´egalit´e|sin ₂^t| ≤ |₂^t|, on obtient l’in´egalit´e demand´ee

I_N ≥ 8 π

Z π

−π

sin⁴N +¹₂t t⁴ dt.

Le changement de variableθ=N+ ¹₂tdonne

I_N ≥ 8 π

N +¹₂⁴ N

Z (^N+12)^π

−(N+¹₂)π

sin⁴θ

θ⁴ dθ ≥ 8 πN³

Z ^π₂

−^π2

sin⁴θ θ⁴ dθ.

En posant C= 8 π

Z ^π₂

−^π2

sin⁴θ

θ⁴ dθ, on obtient une constanteC >0 telle que ∀N ≥0, I_N ≥CN³. On aC >0 car la fonctionθ7→ sin⁴θ

θ⁴ est positive continue, non identiquement nulle sur [−^π₂,^π₂].

III.B.

III.B.1) Pour n≥ 0, t ∈ R on pose vn(t) = 2ancos 2ⁿt aveca = (an)n≥0 une suite complexe telle que X

n≥0

|an|<+∞.

Il en r´esulte que ^X

n≥0

v_n est une s´erie trigonom´etrique convergeant normalement (donc simple- ment) sur R vers une fonction v∈C_2π. C’est donc la s´erie de Fourier de sa sommev.

III.B.2) On suppose d´esormais quev est d´erivable en t₀.

Soit H_n0(t) =e^{−i2n0(t+t0)}[v(t+t₀)−v(t₀) cost−v⁰(t₀) sint]. pourn₀ ≥1.

H_n0 ∈C_2π comme somme et produit de fonctions de C_2π. Un calcul imm´ediat donne H_n0(0) =e^−i2n0t0[v(t₀)−v(t₀)] = 0 Pourt6= 0, on a Hn0(t)−Hn0(0)

t =e^{−i2n0(t+t0)}[v(t+t0)−v(t0)

t +v(t₀)1−cost

t −v⁰(t₀)sint t ].

En utilisant les r´esultats lim

t7→0

v(t+t₀)−v(t₀)

t = v⁰(t0), lim

t7→0

1−cost

t = 0 et lim

t7→0

sint

t = 1, on obtient lim

t7→0

H_n0(t)−H_n0(0)

t =e^−i2n0t0[v⁰(t₀) + 0−v⁰(t₀)] = 0.

AinsiH_n0 est d´erivable en 0 et H_n⁰₀(0) = 0.

III.B.3) Pour simplifier les calculs, on note

Hn0(t) =W(t)−Z(t)

o`u W(t) =v(t+t₀)e^{−i2n0(t+t0)} etZ(t) = (v(t₀) cost+v⁰(t₀) sint)e^{−i2n0(t+t0)}. Par lin´earit´e, on aH^d_n0(k) =W^c(k)−Z^b(k) pour toutk∈Z.

Z est le polynˆome trigonom´etrique Z(t) =

v(t₀)

2 +v⁰(t₀) 2i

e^−i2n0t0e^i(1−2n0)t+ v(t₀)

2 −v⁰(t₀) 2i

e^−i2n0t0e^−i(1+2n0)t

ainsi Z^b(1−2ⁿ⁰) =

v(t0)

2 +v⁰(t0) 2i

e^−i2n0t0, Z^b(−1−2ⁿ⁰) =

v(t0)

2 − v⁰(t0) 2i

e^−i2n0t0 et les autresZ^b(k) sont nuls, en particulier Z(0) = 0.^b

On a W^c(0) = 1 2π

Z _π

−π

v(t+t₀)e^{−i2n0(t+t0)}dt.

Le changement de variableθ=t+t₀ et la 2π-p´eriodicit´e donnent successivement Wc(0) = 1

2π Z π+t0

−π+t0

v(θ)e^−i2n0θdθ

= 1

2π Z _π

−πv(θ)e^−i2n0θdθ

= v(2_b ⁿ⁰) =a_n0 AinsiH^dn0(0) =an0.

Pr´ecisons les autres coefficients de Fourier de la fonction W :t7→e^{−i2n0(t+t0)}v(t+t0).

Ils apparaissent dans l’´ecriture suivante W(t) =e^{−i2n0(t+t0)X}

n≥0

ane^i2n(t+t0)+ane^−i2n(t+t0) =^X

n≥0

ane^{i(2n−2n0)(t+t0)}+^X

n≥0

ane^{−i(2n+2n0)(t+t0)}.

Le plus petit k >0 tel que W^c(k) puisse ˆetre non nul provient de n= n₀+ 1 dans la premi`ere somme, c’est donck= 2ⁿ⁰⁺¹−2ⁿ⁰ = 2ⁿ⁰.

Le plus grand k <0 tel que W k(k) puisse ˆetre non nul provient de^d n=n₀−1 dans la premi`ere somme (tous les k de la seconde somme sont des n´egatifs plus petits que ceux de la premi`ere somme), c’est donc k= 2ⁿ⁰⁻¹−2ⁿ⁰ =−2ⁿ⁰⁻¹.

AinsiW^c(k) = 0 pourk∈Z^∗T[−2ⁿ⁰⁻¹+ 1,2ⁿ⁰−1].

CommeZ^b(k) ne peut ˆetre non nul que pour les entiersk= 1−2ⁿ⁰ etk=−1−2ⁿ⁰, ext´erieurs `a l’intervalle [−2ⁿ⁰⁻¹+ 1,2ⁿ⁰−1], il en r´esulte queH^d_n0(k) = 0 pourk∈Z^∗T[−2ⁿ⁰⁻¹+ 1,2ⁿ⁰−1].

III.C. On suppose d´esormais n₀ ≥6. SoitN = 2ⁿ⁰⁻⁴ etg_N(t) =I_N⁻¹D_N(t)⁴. III.C.1) On aD_N(t) =

XN j=−N

e^ijt donc le calcul de la puissance 4 donne

g_N(t) = X4N j=−4N

α_je^ijt o`u α_j ∈Cpourj ∈[−4N,4N].

En particulierα0 = 1 2π

Z π

−πgN(t)dt= 1 2πI_N

Z π

−πDN(t)⁴dt= I_N I_N = 1.

III.C.2) Le calcul donne Z _π

−π

H_n0(t)g_N(t)dt= XN j=−N

Z _π

−π

α_jH_n0(t)e^ijtdt= XN j=−N

α_j2πH^d_n0(−j).

Pourn₀ ≥6, on a 4N = 2ⁿ⁰⁻² ≤2ⁿ⁰ −1 et−4N =−2ⁿ⁰⁻² ≥ −2ⁿ⁰⁻¹+ 1. Il en r´esulte, d’apr`es

III.B.3), _Z

π

−πHn0(t)gN(t)dt=α02πH^dn0(0) = 2πan0. III.D. On pose K(t) =

Hn0(t)

t

si t∈[−π, π]\{0},K(t) = 0 sit= 0 ou |t|> π.

Comme|H_n0(t)|=|v(t+t₀)−v(t₀) cost−v⁰(t₀)|, on constate que la fonctionK ne d´epend pas de n₀.

III.D.1) H_n0(t)

t est une fonction continue sur [−π, π]\{0}et K(t) =

H_n0(t)−H_n0(0) t

→H_n⁰₀(0)= 0 lorsquettend vers 0.Ainsi

tlim7→0K(t) = 0.

K se prolonge donc par continuit´e sur [−π, π], elle donc born´ee sur [−π, π], et donc sur R (puisque nulle `a l’ext´erieur de [−π, π]).

III.D.2) D’apr`es III.C.2), on a

2ⁿ⁰|a_n0|= 8N π

Z _π

−π

H_n0(t)g_N(t)dt . En exprimantg_N(t), on obtient

2ⁿ⁰|a_n0| ≤ 8N πI_N

Z π

−π

|H_n0(t)|D⁴_N(t)dt.

2ⁿ⁰|a_n0| ≤ 8N πIN

Z π

−π

K(t)|t|sin⁴N+¹₂t sin⁴ ₂^t dt.

Par convexit´e, on a|sinθ| ≥ ²_π|θ|pourθ∈[−π/2, π/2], ainsi 2ⁿ⁰|a_n0| ≤ 8N π³

IN

Z π

−π

K(t)sin⁴N+¹₂t

|t|³ dt.

On effectue le changement de variableθ=N +¹₂t

2ⁿ⁰|a_n0| ≤ 8N π³N +¹₂² I_N

Z π(^N+12)

−π(N+¹₂)K θ N +¹₂

!sin⁴θ

|θ|³ dθ.

Finalement, on minoreI_N d’apr`es III.A.2) 2ⁿ⁰|a_n0| ≤ 8π³N+¹₂²

CN²

Z π(^N+12)

−π(^N+12)K θ N +¹₂

!sin⁴θ

|θ|³ dθ.

Notons f_n0 la fonction positive d´efinie sur R par f_n0(t) = K t N +¹₂

!sin⁴t

|t|³ . La fonction Ψ :t7→ sup

θ∈R⁺

|K(θ)|sin⁴t

|t|³ est int´egrable sur Ret domine chacune des fonctions f_n0. Ainsi 2ⁿ⁰|a_n0| ≤ 8π³N+¹₂²

CN²

Z _∞

−∞

K θ

N+ ¹₂

!sin⁴θ

|θ|³ dθ.

D’apr`es le choix des n₀, on a 1 + _N¹² ≤ 25

16 . Il suffit alors de consid´erer C⁰ = ^25π_2C³ >0, pour obtenir

2ⁿ⁰|a_n0| ≤C⁰ Z _+∞

−∞

K t

N +¹₂

!sin⁴t

|t|³ dt.

III.D.3) D’apr`es III.D.1), on a lim

n0→+∞K t N +¹₂

!

= 0. Ainsi la suite de fonctions f_n0 converge simple- ment sur Rvers la fonction 0.

La majoration de la suite de fonctions (fn0), permet d’utiliser le th´eor`eme de convergence domin´ee. Il en r´esulte que lim

n0→+∞2ⁿ⁰a_n0 = 0.

Partie IV -

Si la fonctionx est d´erivable en un pointt₀ ∈]0, π[, alors u est ´egalement d´erivable ent₀. On a, d’apr`es I.B.5),u(t) = 1

3+

+X∞ n=1

(−1)ⁿcos(2ⁿt) 2ⁿ . u est donc une s´erie de Fourier lacunaire aveca₀= 1

6 eta_n= (−1)ⁿ

2ⁿ⁺¹ pour n≥1.

2ⁿa_n= ⁽⁻₂¹⁾ⁿ n’est pas le terme d’une suite convergente, ce qui contredit le r´esultat [III.D.3).

Ainsi la fonction x n’est d´erivable en aucun point de ]0, π[.

————– FIN —————–