Enonc´´ es
Enonc´ ´ es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E l’espace vectoriel de toutes les fonctions de [0,1] dans IR.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de E? 1. A ={f ∈E,2f(0) =f(1)}.
2. B ={f ∈E, f(1) =f(0) + 1}.
3. C ={f ∈E, f ≥0}.
4. D={f ∈E, f(x)≡f(1−x)}.
5. F ={f ∈E, f polynˆomiale de degr´e 4}.
6. G={f ∈E, f polynˆomiale de degr´e ≤4}.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels deE.
Montrer que F ∪G est un sous-espace vectoriel deE ⇔ F ⊂Gou G⊂F.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
A, B, C sont des sous-espaces vectoriels de E tels que :A∩C⊂B,C ⊂A+B etB ⊂C.
Montrer que B =C.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que dans l’espace vectorielE de toutes les fonctionsf de IR dans IR, les ensemblesP et I form´es respectivement des fonctions paires et impaires forment deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soient A, B, C, D quatre sous-espaces vectoriels deE tels que E =A⊕B =C⊕D.
On suppose que A⊂C et B ⊂D. Montrer que A=C et B =D.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un IK-espace vectoriel.
1. Soient E1 etE2 deux sous-espaces de E tels que E =E1+E2.
Soit F2 un suppl´ementaire de E1∩E2 dans E2. Montrer que E =E1⊕F2. 2. Soient E1, E2, . . . , En des sous-espaces de E tels que E =E1 +E2+· · ·+En.
Montrer qu’il existe des sous-espaces F1, F2, . . . , Fn de E tels que pour tout indice j on ait l’inclusion Fj ⊂Ej et tels que E =F1⊕F2⊕ · · · ⊕Fn.
Indications ou r´ esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
A, D, Gsont des sous-espaces vectoriels de E. Ce n’est pas vrai pourB, C, F.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
SiF ∪Gest un sous-espace de E, supposer par exemple queF n’est pas inclus dans G.
Se donner un ´el´ement f de F qui n’est pas dans G.
Pour toutg de G, consid´erer h=f+g.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Sicest dans C, il existea dans A etb dans B tels que c=a+b.
Constater quea est dans B, et qu’il en est donc de mˆeme dec=a+b.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ] Soit f dans E. Supposer que f s’´ecrit f =p+i.
En d´eduire l’expression n´ecessaire dep(x) et de i(x), puis v´erifier.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour toutc dans C, il existea dans A et b dans B tels que c=a+b.
Montrer que cest dansD. En d´eduirec=a.
Indication pour l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Se donnerx de E et l’´ecrire x=x1+x2, avec x1 dans E1 et x2 dans E2. Utiliser E2 = (E1∩E2)⊕F2 pour montrer que x est dansE1 +F2. Montrer ensuite que si x∈E1∩F2, alors x∈E1∩E2∩F2.
2. Proc´eder par r´ecurrence sur l’entier n≥2.
Dans le passage du rang n−1 au rang n, supposerE =E1+E2+· · ·+En−1+En. Poser E0 =E1+E2+· · ·+En−1 et utiliser la question 1).
Appliquer ensuite l’hypoth`ese de r´ecurrence.
Corrig´es
Corrig´ es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. A est un sous-espace vectoriel de E. D’une part, il contient la fonction nulle.
D’autre part, soient f, g deux ´el´ements de A, et α, β deux scalaires. Soit h=αf +βg.
Alors : 2h(0) = 2(αf +βg)(0) = 2αf(0) + 2βg(0) =αf(1) +βg(1) =h(1).
Ainsi h appartient `a A, qui est donc stable par combinaisons lin´eaires.
Remarque : le r´esultat est ´evident, et il est plus ´el´egant de dire que A est le noyau de la forme lin´eaire ϕ d´efinie sur E par : ∀f ∈E, ϕ(f) = 2f(0)−f(1).
2. B n’est pas un sous-espace vectoriel de E car il ne contient pas la fonction nulle.
3. La fonction constantef d´efinie par f(x)≡1 est dans C, mais −f n’appartient pas `a C.
C n’est donc pas un sous-espace vectoriel de E
4. La fonction nulle est dans D. Soient f, g dans D, et α, β dans IR. Soit h=αf+βg.
Pour tout x de [0,1] : h(1−x) =αf(1−x) +βg(1−x) =αf(x) +βg(x) =h(x).
Ainsi h est encore ´el´ement deD, qui est donc un sous-espace vectoriel de E.
5. La fonction nulle n’est pas polynˆomiale de degr´e 4...
Donc F n’est pas un sous-espace vectoriel de E.
6. La r´eponse est oui. On peut dire par exemple que G est le sous-espace vectoriel de E engendr´e par les applications x7→1,x7→x, x7→x2, x7→x3 et x7→x4.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il est clair que siF ⊂G ou si G⊂F, alors F ∪G est un sous-espace vectoriel deE.
Pour montrer la r´eciproque, on suppose que F ∪G est un sous-espace vectoriel de E et par exemple queF n’est pas inclus dans G.
Alors il faut prouver queG est inclus dans F.
On se donne un ´el´ement g de G. Il s’agit de prouver que g est dansF. Par hypoth`ese, il existe un ´el´ement f de F qui n’est pas dans G.
Puisquef etg sont tout deux dans F∪G, il en est de mˆeme deh=f+g (carF ∪Gest stable par combinaison lin´eaire.)
Mais il est impossible queh soit dans G(sinon f =h−g serait lui aussi dans G.) On en d´eduit que hest dans F. Donc g =h−f est dans F, ce qu’il fallait prouver.
Conclusion : si F ∪Gest un sous-espace vectoriel de E, alorsF ⊂G ouG⊂F.
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il suffit bien sˆur de prouver C ⊂B. Soit cun ´el´ement de C.
Puisque C ⊂A+B, il existea dans A et b dans B tels que c=a+b.
Puisque B ⊂C, les vecteursb etc sont tous les deux dansC.
Il en est donc de mˆeme de a=c−b. Ainsi a est dansA∩C donc dans B.
Finalementa etb sont tous deux dans B. Il en est donc de mˆeme dec=a+b.
On a ainsi prouv´e l’inclusion C⊂B et donc l’´egalit´eC =B.
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il est clair tout d’abord que P et I sont deux sous-espaces vectoriels deE.
En effet, la fonction nulle est `a la fois paire et impaire.
D’autre part, sif, g sont paires (resp. impaires) alorsαf +βg est paire (resp. impaire).
Pour d´emontrer que E =P ⊕ I, on doit montrer que toute fonction f deE s’´ecrit de mani`ere unique comme la sommef =p+i d’une fonctionp deP et d’une fonction i de I.
Supposons qu’une telle d´ecomposition existe.
Alors pour toutx de IR, on a f(x) = p(x) +i(x).
On en d´eduit, pour tout x de IR :
f(x) = p(x) +i(x)
f(−x) = p(−x) +i(−x) =p(x)−i(x) Il en d´ecoule, pour tout x de IR :p(x) = 1
2(f(x) +f(−x)) et i(x) = 1
2(f(x)−f(−x)).
Cela prouve l’unicit´e du couple (p, i) si ce couple existe.
Mais r´eciproquement, on constate que les deux applications p, i ainsi d´efinies sont respective- ment paire et impaire et qu’elles v´erifient f =p+i.
Cela assure donc l’existence et l’unicit´e du couple (p, i), ce qui ach`eve la d´emonstration.
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Compte tenu de la sym´etrie du probl`eme, il suffit de prouver que C est inclus dans A.
On se donne donc un ´el´ement c deC.
Puisque E =A⊕B, il existea dans A etb dans B tels que c=a+b.
Ainsia∈C etb ∈D. L’´element c−a=b est donc dansC et dans D.
Puisque C et D sont en somme directe, il en d´ecoule que c−a=b =−→ 0 . Cela prouve que cest ´el´ement de A.
On a donc prouv´e l’inclusionC ⊂A, donc l’´egalit´eC =A.
Pour les mˆemes raisons, on a D=B.
Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Tout x deE peut s’´ecrire x=x1+x2, avec x1 dans E1 etx2 dans E2.
Puisque E2 = (E1∩E2)⊕F2, on peut ´ecrire x2 =y+x02, avec y∈E1∩E2 etx02 ∈F2. En particulier, y est un ´el´ement de E1.
On en d´eduit quex=x1+ (y+x02) = (x1+y) +x02 est un ´el´ement de E1+F2. On a donc prouv´eE =E1+F2. Il reste `a v´erifier que la sommeE1 +F2 est directe.
Or si un vecteur x est dans E1∩F2, alors il est dans E1∩E2.
Il est donc `a la fois dans E1∩E2 et dansF2 qui sont en somme directe.
On en d´eduit quex est nul. Conclusion : on a E =E1⊕F2.
2. On proc`ede par r´ecurrence sur l’entier n ≥2. D’apr`es (1), la propri´et´e est vraie si n = 2 (F1 =E1, et F2 est un suppl´ementaire de E1∩E2 dans E2.)
On suppose que la propri´et´e est vraie pour n−1 sous-espaces, avec n≥3, et on se donne les n sous-espaces E1, E2, . . . , En−1, En de E.
Posons E0 =E1+E2+· · ·+En−1. Avec cette notation, E =E0 +En.
D’apr`es la question (a), il existe un sous-espaceFndeEn (par exemple un suppl´ementaire de E0∩En dans En) tel que E =E0⊕Fn.
L’hypoth`ese de r´ecurrence, appliqu´ee aux n−1 sous-espacesE1, . . . , En−1 deE0, montre qu’il existe F1, . . . , Fn−1, sous-espaces de E1, . . . , En−1, tels que E0 =F1⊕. . .⊕Fn−1. Avec ces notations, on a alors E =E0 ⊕Fn = F1⊕F2⊕. . .⊕Fn−1 ⊕Fn, ce qui prouve la propri´et´e au rang n et ach`eve la r´ecurrence.
