ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen Final
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal
c 2009, Steve Ambler Hiver 2009
Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse, il va de soi que la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.
La documentation n’est pas permise. Les calculatrices ne sont pas permises. De toute fac¸on, il n’y a pas de calcul num´erique `a faire pour r´epondre aux questions.
Vous avez trois heures.
1 R´eponses courtes (20 points)
1. Voici un exemple d’hypoth`ese jointe pour un mod`ele de r´egression multiple :
β2 = 1 , β3 =β4/β5.
Est-ce que cette hypoth`ese jointe peut ˆetre test´ee avec une statistiqueF ? Expliquez bri`evement.
2. Pour tester une hypoth`ese jointe, on peut construire une statistiquetpour tester chaque hypoth`ese individuelle de l’hypoth`ese jointe, et on peut
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rejeter l’hypoth`ese jointe si au moins une des hypoth`eses individuelles est rejet´ee. Est-ce que cet ´enonc´e est vrai, faux ou incertain ? Expliquez.
3. Lors de l’ajout d’une variable explicative suppl´ementaire `a un mod`ele de r´egression, la mesure de l’ajustementR2peut augmenter ou diminuer.
Est-ce que cet ´enonc´e est vrai, faux ou incertain ? Expliquez.
4. L’omission d’une variable explicative significative d’un mod`ele de
r´egression multiple a forc´ement pour r´esultat que les coefficients de toutes les autres variables explicatives sont biais´es.
2 Propri´et´es d’estimateurs (20 points)
Soit l’estimateurβ˜d’un vecteur de param`etresβ d’un mod`ele de r´egression lin´eaire multiple.
1. Si l’estimateurβ˜est non biais´e, cela veut dire en notation math´ematique que . . .
2. Expliquez en mots ce que veut dire la notation suivante : β˜−→p β.
3. Expliquez en mots la diff´erence entre β˜−→p β et
β˜−→d N
β,Σ˜β . o`uΣ˜β est la matrice variance-covariance deβ.˜ 4. Expliquez en mots pourquoi au lieu de montrer que
β˜−→d N β,Σ˜β il est plus habituel de montrer plutˆot que
√n
β˜−β d
−
→N
0, nΣ˜β ,
o`unest le nombre d’observations dans l’´echantillon utilis´e pour calculer l’estimateurβ.˜
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5. D´ecrivez en mots ce que voudrait dire l’efficience de l’estimateurβ˜dans le contexte de la r´egression multiple.
6. Sous quelles conditions est-ce que l’estimateur MCO deβest efficient dans le mod`ele de r´egression multiple ?
3 Estimateur MCO (20 points)
Soit le mod`ele de r´egression lin´eaire suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X2i+. . .+βkXki+ui
1. ´Ecrivez le mod`ele en notation matricielle. ´Ecrivez une expression pour chaque matrice et/ou vecteur qui montre explicitement quels sont ses
´el´ements.
2. ´Ecrivez, toujours en notation matricielle, le probl`eme de minimisation `a r´esoudre pour trouver l’estimateurβˆdes coefficients. Notez que je ne vous demande pas der´esoudrele probl`eme.
3. ´Ecrivez le probl`eme de minimisation `a r´esoudre en notation non
matricielle. Notez que je ne vous demande pas der´esoudrele probl`eme.
4. Quelles sont les variables de choix du probl`eme de minimisation ? 5. ´Ecrivez la condition du premier ordre par rapport `aβ2 du probl`eme (pour
la version du probl`eme en notation non matricielle).
4 Tests d’hypoth`ese (20 points)
Vous venez d’estimer le mod`ele de r´egression suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X2i+β3X3i+β4X4i+β5X5i+ui 1. ´Ecrivez sous forme matricielle l’ensemble de restrictions suivantes :
β1 = 0;
β2+ 3β3 = 1;
β4 =β5.
3
2. ´Ecrivez sous forme matricielle l’ensemble de restrictions, que l’on pourrait utiliser pour calculer la statistiqueF donn´ee par :
F ≡
Rβˆ−r0
RΣˆβˆR0−1
Rβˆ−r .
3. Quelle est la diff´erence entre les versions robuste et non robuste de ce test ? Cela veut dire quelle(s) partie(s) de la formule ci-dessus change(nt) entre ces deux versions ?
4. ´Ecrivez une version transform´ee du mod`ele qui impose les trois restrictions. Montrez votre travail. Expliquez comment tester les trois restrictions `a partir de l’estimation des versions contrainte (version qui impose les restrictions) et non contrainte du mod`ele.
5. Pour que cette derni`ere fac¸on de tester les restrictions soit valide, quelle(s) hypoth`ese(s) faut-il faire concernant le terme d’erreurui?
5 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)
Soit le mod`ele de r´egression non lin´eaire suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X1i2+β3X2i+β4X1iX2i+ui Vous avez estim´e ce mod`ele et vous voulez pr´edire l’impact surYi d’une augmentation deX1i.
1. Est-ce que ce mod`ele est non lin´eaire dans les param`etres ? Expliquez.
2. D´erivez une expression alg´ebrique pour le changement pr´edit
∆Yi ≡Y2−Y1 suite `a un changement de la valeur de la premi`ere variable explicative deX11 `aX12, pour une valeur constante de la deuxi`eme variable donn´ee parX21.
3. D´ecrivez bri`evement comment calculer l’´ecart type associ´e `a cette
pr´ediction en estimant une version transform´ee (et ´equivalente) du mod`ele original.
4. D´ecrivez bri`evement comment calculer l’´ecart type associ´e `a cette pr´ediction si votre logiciel permet de calculer la statistiqueF que l’on utiliserait pour tester une hypoth`ese nulle concernant la significativit´e d’une combinaison lin´eaire des coefficients du mod`ele.
document cr´e´e le : 20/05/2009
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