D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen Final: R´eponses

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

c 2008, Steve Ambler Hiver 2008

1 Estimateur MCO

1. Le probl`eme de minimisation peut s’´ecrire : minβ

n

X

i=1

(Y_i−β₀−β₁X_1i−β₂X_2i−. . .−β_kX_ki)², o`uβest le vecteur de coefficients qui est `a estimer. Il y a(k+ 1) conditions du premier ordre. Il ne fallait pas les ´ecrire.

2. Pour pouvoir calculer num´eriquement une solution au probl`eme, les erreurs peuvent essentiellement ˆetre quelconques. Tout ce qui est

n´ecessaire est une matriceX⁰Xqui est de plein rang (et donc inversible), ce qui implique plus d’observations que de variables explicatives

(n >(k+ 1)) et une absence de multicollin´earit´e parfaite. L’existence d’une telle solution n’est absolument pas une garantie que l’estimateur MCO a les propri´et´es d´esirables qui tiennent sous les hypoth`eses du mod`ele de r´egression lin´eaire, qui pourraient ne pas ˆetre v´erifi´ees dans le contexte d’un mod`ele estim´e donn´e.

3. La CPO par rapport `aβ0 donne :

−2

n

X

i=1

Yi −βˆ0−βˆ1X1i−βˆ2X2i−. . .−βˆkXki

= 0

→nβˆ₀ =

n

X

i=1

Y_i−

n

X

i=1

βˆ₁X_1i−. . .−

n

X

i=1

βˆ_kX_ki

→βˆ₀ = 1 n

n

X

i=1

Y_i−βˆ₁1 n

n

X

i=1

X_1i−. . .−βˆ_k1 n

n

X

i=1

X_ki

≡Y¯ −βˆ₁X¯₁−. . .−βˆ_kX¯_k, ce qui fut `a d´emontrer.

2 Mod`ele de r´egression lin´eaire

– Les propri´et´es souhaitables sont 1) l’absence de biais, 2) la convergence et 3) l’efficience. Notez bien que je vous aidonn´ela r´eponse `a cette partie dans l’´enonc´e de la premi`ere question, o`u je mentionne ces trois propri´et´es explicitement. Vous n’aviez qu’`a les recopier.

– Pour obtenir un estimateur non biais´e, on a besoin essentiellement de

l’hypoth`ese selon laquelle la moyenne conditionnelle des erreurs est nulle, une des hypoth`eses de base du mod`ele de r´egression multiple.

– Pour obtenir la convergence, on a besoin de l’hypoth`ese qui nous donne un estimateur non biais´e (voir le point pr´ec´edent), plus l’hypoth`ese que nos observations sont i.i.d. et que leurs variances soient finies afin de pouvoir invoquer la loi des grands nombres et d´emonter la convergence en probabilit´e de l’estimateur.

– On a besoin de l’hypoth`ese d’erreurs homosc´edastiques pour montrer l’efficience par le biais du th´eor`eme Gauss-Markov.

3 Tests d’hypoth`ese (50 points)

1. Dans l’´equation (2), l’ordonn´ee `a l’origine pour les femmes est(γ<sub>0</sub>+γ<sub>3</sub>), la sensibilit´e du revenu `a l’´education chez les femmes est donn´ee par (γ₁+γ₄), et la sensibilit´e du revenu par rapport `a l’exp´erience chez les femmes est donn´ee par(γ₂ +γ₅).

2. L’´ecart type de l’ordonn´ee `a l’origine pour les femmes est l’´ecart type de (γ<sub>0</sub>+γ<sub>3</sub>). Nous pouvons facilement calculer la variance de(γ<sub>0</sub>+γ<sub>3</sub>)qui est, ´evidemment, le carr´e de l’´ecart type. Tel qu’indiqu´e dans l’´enonc´e de la question, il s’agit d’une application directe des r`egles de l’encadr´e 2.3

du manuel ou de la derni`ere page de mes notes de cours sur la th´eorie des probabilit´es. Nous avons :

Var(ˆγ₀+ ˆγ₃) = Var(ˆγ₀) +Var(ˆγ₃) + 2Cov(ˆγ₀ , ˆγ₃). Un logiciel de r´egression commeSTATAva calculer la matrice de variance-covariance, que nous avons appel´eΣˆβˆ. Si les variables sont ordonn´ees comme dans l’´equation (2), nous avons :

Var(ˆγ0) = ( ˆΣβˆ)11, Var(ˆγ₃) = ( ˆΣβˆ)₄₄, et

Cov(ˆγ₀,γˆ₃) = ( ˆΣ_βˆ)₁₄,

o`u les indices inf´erieurs en dehors des parenth`eses font r´ef´erence aux

´el´ements appropri´es de la matrice variance-covariance. Les formules pour les autres variances (de(ˆγ₁+ ˆγ₄)et de(ˆγ₂+ ˆγ₅)) sont identiques `a part les changements appropri´es des indices inf´erieurs.

3. On a trois hypoth`eses jointes. Dans le cas de l’´equation (1), les trois hypoth`eses sontα₀ =β₀,α₁ =β₁ etα₂ =β₂. Dans le cas de l’´equation (2), les trois hypoth`eses sontγ₃ = 0,γ₄ = 0etγ₅ = 0. Sous forme matricielle pour les deux cas, on a :







1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 −1



























α₀ α₁ α₂ β₀ β₁ β₂





















=







0 0 0







et







0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1



























γ0

γ₁ γ₂ γ3

γ₄ γ₅





















=







0 0 0





.

Tel qu’indiqu´e dans l’´enonc´e de la question, mˆeme si vous n’avez pas bien

´ecrit l’hypoth`ese nulle jointe `a tester, je vous donne des points pour la

coh´erence entre la fac¸on non matricielle et la fac¸on matricielle de l’´ecrire.

Les contraintes dans les deux cas sont de la formeRβ =r.

4. La statistique `a calculer est :

F ≡Rβˆ−r^0hRΣˆβˆR⁰ⁱ⁻¹Rβˆ−r/q.

Il faut tout simplement brancher la bonne version deR, deβ, deˆ ret deΣˆβˆ

dans la formule.

5. Il faut que les erreurs soient homosc´edastiques.

6. La statistique est :

F ≡Rβˆ−r^0hRΣ˜_βˆR⁰ⁱ⁻¹Rβˆ−r/q.

La seule diff´erence, tel que j’ai ´ecrit dans l’´enonc´e de la question, est l’estimateur de la matrice variance-covariance, qui est la forme plus simple qui tient seulement sous l’hypoth`ese que les erreurs sont

homosc´edastiques.

7. Je vous donne dans l’´enonc´e de la question queSSR₃+SSR₄ =SSR₁, o`u le dernier terme est la somme des r´esidus carr´es de l’estimation de l’´equation (1). J’ai accept´e en r´eponse `a cette partie l’utilisation soit de SSR₁ ou deSSR₃+SSR₄. La version contrainte du mod`ele est

´evidemment l’´equation (5), puisqu’elle est estim´ee avec l’´echantillon complet des donn´ees (observations sur les femmes et sur les hommes) et il n’y a qu’une seule ordonn´ee `a l’origine, un seul coefficient de pente par rapport `a l’´education, et un seul coefficient de pente sur l’´exp´erience.

Donc, les ordonn´ees `a l’origine et les coefficients de pente sont identiques pour les hommes et pour les femmes, ce qui est justement l’hypoth`ese nulle que nous voulons tester. Appliquant la formule standard, on a :

F = (SSR₅−SSR₁)/q SSR₁/(n−kunrestricted−1).

Evidemment, il est possible de remplacer´ SSR₁par(SSR₃+SSR₄).

8. C’´etait `a vous de choisir l’´equation (1) ou l’´equation (2). Dans le premier cas, on pourrait estimer cette ´equation :

Y_i =α₀F_i+β₀H_i+α₁EDU_i+α₂EXP_i+U_i. Dans le cas de l’´equation (2), on pourrait estimer :

Yi =γ0+γ1EDUi+γ2EXPi+γ3Fi+Ui. Les noms attribu´es aux coefficients n’ont pas d’importance.

4 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)

(a) Il faut calculer le niveau deY_i avant et apr`es le changement, et soustraire les deux. On a :

Y2i =β0+β19 +β29²+β39³+β4X2i+Ui

et

Y_1i =β₀+β₁8 +β₂8²+β₃8³+β₄X_2i+U_i,

o`u j’utilise l’indice inf´erieur«2» sur la variable d´ependante pour indiquer la situation apr`es le changement et, ´evidemment, l’indice inf´erieur«1» pour indiquer la situation avant le changement.

Soustrayant, on obtient :

∆Y_i =β₁+β₂17 +β₃217.

(L`a, je vous ai oblig´e `a faire quelques multiplications simples sans calculatrice !) Donc, le changement pr´edit est donn´e par :

∆Yd_i = ˆβ₁+ 17 ˆβ₂+ 217 ˆβ₃.

(b) Pour calculer l’´ecart type du changement pr´edit moyennant l’estimation d’une version transform´ee du mod`ele, ´ecrivons :

Y_i =β₀+ (β₁+ 17β₂+ 217β₃)X_1i +β2

X1i2−17X1i

+β3

X1i3−217X1i

+Ui.

Evidemment, en ajoutant et soustrayant les mˆemes termes, on ne´ modifie pas la valeur de l’expression du cˆot´e droit de l’´egalit´e. On peut r´e´ecrire cette ´equation comme :

Y_i =β₀+γX_1i+β₂Z_1i+β₃Z_2i+U_i,

o`u les d´efinitions des nouvelles variables sont ´evidentes. Si on estime cette ´equation transform´ee par MCO, l’´ecart type du coefficientγ nous donne l’´ecart type voulu.

(c) Le calcul de l’´ecart type du changement pr´edit peut aussi passer par le calcul de la variance de cette combinaison lin´eaire des coefficients estim´es. Encore une fois, une application directe de l’encadr´e 2.3.

Nous avons :

Var(∆Y_i) = Varβˆ₁+ 17 ˆβ₂ + 217 ˆβ₃

=Var^h 0 1 17 217 0 ⁱβˆ

=E

h

0 1 17 217 0 ⁱ βˆ−β βˆ−β^0h 0 1 17 217 0 ⁱ⁰

=^h 0 1 17 217 0 ⁱE

βˆ−β βˆ−β⁰

h

0 1 17 217 0 ⁱ⁰

=^h 0 1 17 217 0 ⁱΣˆβˆ

h 0 1 17 217 0 ⁱ⁰.

Donc, si notre logiciel de r´egression nous donne la matrice variance-covariance des coefficients estim´es nous pouvons tout simplement effectuer cette multiplicaton matricielle simple, soit par ordinateur si notre logiciel effectue les multiplications matricielles soit `a la mitaine.

Vous pouvez v´erifier facilement (ce n’´etait pas n´ecessaire de le faire pour l’examen) que cette expression matricielle nous donne

automatiquement l’expression suivante : Varβˆ1+ 17 ˆβ2+ 217 ˆβ3

=

Varβˆ₁+ 17²×Varβˆ₂+ 217²×Varβˆ₃ +2×17×Covβˆ1 , βˆ2

+2×217×Covβˆ₁ , βˆ₃ +2×17×217×Covβˆ₂ , βˆ₃.

Ceci est la mˆeme chose que ce que nous donnerait une application directe des r`egles de calcul de l’encadr´e 2.3 pour calculer

Varβˆ1+ 16 ˆβ2+ 217 ˆβ3

. Ce n’´etait pas n´ecessaire d’´ecrire la r´eponse de ces deux fac¸ons. J’ai accept´e l’une ou l’autre des fac¸ons d’´ecrire la r´eponse comme un r´eponse correcte.

document cr´e´e le : 27/04/2008