MPSI 2020/2021 DS n 6

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MPSI 2020/2021 | DS n°6

Ce sujet est constitué de 3 parties indépendantes, numérotées I, II et III, que les candidats pourront traiter dans l’ordre de leur choix.

La calculatrice est autorisée.

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Données et formules nécessaires

o Constante de Planck h = 6,6 ∙ 10⁻³⁴ J ∙ s o Constante de Planck réduite ℏ = ^h

2π= 1,05 ∙ 10⁻³⁴ J ∙ s o Vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0 ∙ 10⁸ m ∙ s⁻¹ o Charge élémentaire e = 1,6 ∙ 10⁻¹⁹ C o Masse de l’électron m = 9,1 ∙ 10⁻³¹ kg

o Gammes de longueurs d'onde λ du spectre électromagnétique des différents rayonnements :

γ X UV Visible IR Radio

λ < 10 pm 10 pm < λ

< 100 nm

100 nm < λ

< 380 nm

380 nm < λ

< 780 nm

780 nm < λ

< 1 mm 1 mm < λ o Développement limité où ε ≪ 1 :

(1 + ε)^α≃ 1 + αε +α(α − 1)

2! ε²+ ⋯

o On note j le nombre imaginaire tel que : j² = −1

I) Enregistrement du son d’une corde de guitare électrique

Extrait de : Banque PT 2013

L'objet de ce problème concerne quelques aspects du fonctionnement d'une guitare électrique.

I.1) Etude des modes propres

Par analogie avec la masse volumique, on définit la masse linéique µ d’une corde comme la masse de corde par unité de longueur.

µ =m L

1) Déterminer l’expression de la masse linéique µ d'une corde en acier de masse volumique ρ, de longueur L et de diamètre D.

2) On donne : ρ = 8 000 kg ∙ m⁻³, µ = 6 g ∙ m⁻¹. Déterminer la section S en mm² et la longueur L d'une corde de 3,6 g.

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On assimile la corde de guitare à une corde inextensible sans raideur de masse linéique constante µ, tendue par une force de tension de module T₀. Au repos, elle se confond avec l'axe (Ox). On note L la longueur de la corde placée entre les abscisses x = −L et x = 0 où la corde est attachée.

On étudie les vibrations de la corde dans le plan (Oxy), c'est-à-dire les petits mouvements transversaux selon (Oy), de part et d'autre de cette position de repos.

3) Quelles sont les valeurs de y(x, t) aux extrémités de la corde (conditions limites) ? 4)Analyser la dimension du terme :

v = √ T₀ µ

On admet qu’il s’agit de la vitesse de la propagation d'une onde le long de la corde.

5)Calculer v pour T₀= 120 N.

On suppose qu’une onde stationnaire harmonique existant dans la corde s’écrit : y_n(x, t) = Y_0nsin(ω_nt) sin (nπ

L x) où Y_0n représente l'amplitude de cette onde.

6) Les conditions aux limites imposent une quantification de la pulsation ω_n= nω₀. Expliciter ω₀ en fonction de v et L.

7)Montrer que l’expression précédente est compatible avec les conditions aux limites et avec la condition initiale en t = 0.

8) Dessiner l'allure de la corde à t = ^2π

ω_n et t = ^π

2ω_n pour n = 1, 2 et 3.

I.2) Spectre d’une corde de guitare

On admet que pour une corde pincée (cas de la corde de guitare), l’expression générale de y(x, t) est : y(x, t) = ∑ y_n(x, t)

+∞

n = 1

avec ∶ y_n(x, t) = a_ncos(nω₀t) sin (nπ L x) Le coefficient a_n (n ∈ ℕ) dépend uniquement de la forme initiale de la corde. On donne :

{

a_n= 0 pour n pair a_n= A

n³ pour n impair avec A une constante.

9)Quelles sont les fréquences présentes dans le son émis par la corde de guitare ? Quelle est la fréquence du son le plus intense ?

10) Tracer le spectre en amplitude.

11) Quelle qualité le microphone d’une guitare électrique doit-il présenter pour enregistrer fidèlement le timbre de l’instrument ?

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I.3) Etude du microphone

Situé sous les cordes, les microphones sont l’un des éléments les plus fondamentaux d’une guitare électrique, car c’est sur eux que repose toute production de son, même en l’absence totale de toute caisse de résonnance.

Le comportement électrique d’un microphone est donné ci-dessous.

Données :

e(t) = E_mcos(ωt) C₀= 100 pF R₀= 1 MΩ R_L= 3 kΩ

On appelle :

H(ω) =v e

la fonction de transfert complexe du microphone, où v et e sont les tensions complexes associées à v(t) et e(t).

12)Déterminer, en fonction des données et de L, l’expression de la fonction de transfert complexe H.

On donne les formes canoniques pour deux types de filtres d’ordre deux : H = H₀

1 − x²+ jx Q

et H = H₀

1 + jQ (x −1 x) avec x = ^ω

ω₀ la pulsation réduite et Q le facteur de qualité.

13) Ecrire H sous la forme canonique appropriée et en déduire les expressions du facteur de qualité Q et de la pulsation propre ω₀.

14) Etablir la condition d’existence d’une résonance et déterminer la pulsation de résonance en fonction du facteur de qualité et de la pulsation propre.

Dans les questions 15) à 18), on suppose que le facteur de qualité est grand devant 1.

15)Tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude de H.

La réponse expérimentale du microphone est donnée sur la figure ci-après.

16) En interprétant le facteur de qualité comme la surtension à la résonance, déterminer graphiquement la valeur du facteur de qualité.

17)Déterminer graphiquement la fréquence de résonance. En déduire la valeur de l’inductance L.

18) Rappeler la définition d’une pulsation de coupure à -3 dB. Déterminer graphiquement les fréquences de coupure.

La question suivante est à mettre en regard avec la question 11.

19) Quel est l'effet du microphone sur le son restitué ?

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Réponse expérimentale du microphone

--- Fin de la partie I ---

II) Etude d’un circuit électrique anti-résonant

Extrait de : Concours commun 2010, des écoles des mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes

II.1) Questions préliminaires : le circuit RLC série

On considère le circuit RLC série ci-dessous.

Données : Q =1

R√L C ω₀= 1

√LC

En régime permanant e(t) = E₀, on admet que la tension u(t) aux bornes du condensateur vérifie l’équation différentielle suivante :

ü +ω₀

Q u̇ + ω₀² u = ω₀² E₀

20)Pour les questions 20.a) à 20.c), on suppose que le facteur de qualité Q est de l’ordre de 5.

20.a) Donner l’expression générale de la solution u(t).

20.b) Déterminer la solution dans le cas où u(0) = 0 et u̇(0) = 0.

20.c)Trace l’allure de u(t) ainsi que du portrait de phase.

On se place désormais en régime sinusoïdal forcé : e(t) = E₀cos(ωt).

21)Donner l’expression de l’amplitude complexe e(t) en fonction de E₀, ω et t. Quel est le lien entre e(t) et e(t) ? 22) Quelle est l’expression de l’impédance complexe Z du dipôle constitué par l’association des trois dipôles R, L et C ? Quelle est l’expression du module Z(ω) de cette impédance complexe ?

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23) Exprimer l’intensité complexe i en fonction de Z et de l’amplitude complexe e.

24)À quelle condition sur Z(ω) a-t-on résonance en intensité dans le circuit série ? A quelle pulsation ω_res ce phénomène se produit-il ?

25) Que peut-on dire du déphasage de l’intensité dans le circuit par rapport à la tension aux bornes du générateur ? 26)Expliquer le principe de la méthode de Lissajous pour repérer expérimentalement la fréquence de résonance.

27) Par analogie avec la résonance, que peut-on appeler « antirésonance » en intensité ?

II.2) Étude du circuit anti-résonant

On s’intéresse dans cette partie au circuit suivant, alimenté par une source de tension alternative de f.e.m. e(t) = E₀cos(ωt). La bobine idéale a une inductance L = 0,1 H , le conducteur ohmique une résistance R = 10 Ω et le condensateur une capacité C = 1,0 nF.

28)Calculer l’impédance complexe Z du dipôle AB.

29)En déduire que le module au carré de l’impédance du dipôle AB s’écrit : Z²(ω) = R²+ L²ω²

(1 − LCω²)²+ R²C²ω²

Une dérivation non demandée montre que Z(ω) passe par un extremum pour une pulsation ω₁ vérifiant :

ω₁² = ω₀²(√1 +2R²C

L −R²C L )

30) Vérifier que ^R_L^2C≪ 1.

31)Montrer que :

ω₁≃ ω₀(1 − 𝑓(R, L, C))

où 𝑓(R, L, C) représente une fonction de R, L et C dont on précisera l’expression.

32)Calculer numériquement 𝑓(R, L, C) pour le circuit étudié. Que peut-on alors dire de ω₁ et ω₀ ? Dans la suite on pourra utiliser l’approximation ω₁≃ ω₀.

33)Donner les limites de Z(ω) en 0 et en l’infini. Donner l’allure des variations de cette fonction en précisant la valeur de Z(ω₁) = Z_m. Justifier qu’on parle « d’antirésonance » dans ce cas.

--- Fin de la partie II ---

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III) Dualité onde-corpuscule

Extrait de : CCP MP 2016

34) Pouvez-vous citer les noms de 3 physiciens qui se sont illustrés par leur contribution en physique quantique ? Placer leurs travaux par ordre chronologique.

Ondes électromagnétiques

35)Rappeler quels sont les caractéristiques de la particule associée au rayonnement électromagnétique, le photon.

36) Quels sont les ordres de grandeur de l’énergie, exprimée en eV, d’un photon visible et d’un photon X ?

37) Pour un photon qui se propage dans un milieu d’indice n, justifier pourquoi sa quantité de mouvement (impulsion) vaut en norme :

p =nh λ₀ avec λ₀ la longueur d’onde du rayonnement dans le vide.

Ondes de matière

38)Donner la longueur d’onde associée à une particule non relativiste de quantité de mouvement p.

On donne l’énergie potentielle d’un électron accéléré par une différence de potentielle U : ℰp= −eU

39) Etablir l’expression de la longueur d’onde associée à un électron, initialement immobile, non relativiste, accéléré avec une différence de potentiel U.

40)Déterminer la valeur de U, pour laquelle on obtiendrait la même longueur d’onde que celle d’un photon X de longueur d’onde λ = 0,1 nm.

41) Un électron, qui assure la conduction métallique, doit-il être considéré comme quantique ? On considère que le réseau cristallin est caractérisé par un paramètre de maille a de l’ordre de 10⁻¹⁰ m et que les électrons libres ont une vitesse de l’ordre de 10⁶ m ∙ s⁻¹.

--- Fin de la partie III ---

MPSI 2020/2021 | Correction DS n°6

I) Enregistrement du son d’une corde de guitare électrique I.1) Etude des modes propres

1) Par définition de la masse volumique : ρ =m

V = m LS=µ

S = µ

πD²⁄4 ⇒ µ = ρπD² 4 2)On a :

µ = ρS ⇒ S =µ

ρ= 0,75 ∙ 10⁶ m²= 0,75 mm² Et,

L =m

µ = 0,6 m 3)La corde étant fixée à ses deux extrémités,

y(0, t) = y(−L, t) = 0 4)Analyse dimensionnelle :

[v] = (Force M ∙ L⁻¹)

0,5

= (M ∙ L ∙ T⁻² M ∙ L⁻¹ )

0,5

= (L²∙ T⁻²)^0,5= L ∙ T⁻¹ Ce terme est homogène à une vitesse.

5) On a :

v = 141 m ∙ s⁻¹ 6)Dans l’expression proposée, on identifie le vecteur d’onde :

k_n= nπ L On en déduit donc la pulsation :

ω_n= vk_n= nπv

L ⇒ ω₀=πv L 7)Cette expression vérifie bien :

o y_n(0, t) = 0, puisque sin(0) = 0 ; o y_n(−L, t) = 0, puisque sin (−^nπ

L L) = sin(−nπ) = 0 ; o y_n(x, 0) = 0, puisque sin(0) = 0.

8)A t =^2π

ω_n, le terme sin(ω_nt) est nul et donc la corde est confondue avec l’axe des abscisses.

A t = ^π

2ω_n,

I.2) Spectre d’une corde de guitare

9)Les fréquences émises sont celles des harmoniques impaires c’est-à-dire : 𝑓_n= nω₀

2π avec ∶ n = 2k + 1, k ∈ ℕ

L’amplitude des harmoniques décroît lorsque n (et donc k) croît. La fréquence du son le plus intense est donc celle du fondamental soit :

𝑓₁=ω₀ 2π 10) Allure du spectre en amplitude :

11) On note que les harmoniques décroissent très rapidement. Si l’on souhaite capter tout le timbre de ce son (=

toutes ces harmoniques), il faut donc que le microphone soit très sensible sur une bande passante large d’environ 𝟕𝒇_𝟎.

I.3) Etude du microphone

12)Simplifions le montage à l’aide de deux impédances équivalentes : Avec :

Z₁ = R_L+ jωL Z₂ = ( 1

R₀+ jωC)

−1

= R₀ 1 + jωR₀C

On applique la formule du pont diviseur de tension : H =v

e= Z₂ Z₁+ Z₂ =

R0

1 + jωR0C R_L+ jωL + R0

1 + jωR₀C

= R₀

R₀+ (R_L+ jωL)(1 + jωR₀C)

13)Mettons sous la forme canonique (→ faire apparaître le 1 au dénominateur) :

H = R₀

(R₀+ R_L) − ω²R₀CL + jω(L + R₀R_LC)=

R₀ R₀+ R_L 1 − ω² R₀CL

R₀+ R_L+ jωL + R₀R_LC R₀+ R_L

= H₀

1 − x²+ jx Q On identifie ainsi :

H₀ = R₀

R₀+ R_L ω₀= √R₀+ R_L R₀CL Et le facteur de qualité :

1

ω₀Q=L + R₀R_LC

R₀+ R_L ⇒ Q =√R₀R_LC (R₀+ R_L) L + R₀R_LC 14)Il existe une résonnance si le gain passe par un maximum.

Le gain vaut :

|H| = H₀

√(1 − x²)²+ (x Q)

2= H₀

√g(x)

Il est maximal lorsque g(x) est minimal. Cherchons les extrema de g(x).

dg

dx= 2(−2x)(1 − x²) +2x

Q²= −4x (1 − x²− 1 2Q²) Ainsi,

dg

dx= 0 ⇒ {

−4x = 0 1 − x²− 1

2Q²= 0 ⇒ {

x = 0 → Limite BF

x_res = √1 − 1

2Q² → Résonance

La pulsation x = x_res correspond bien à un maximum de |H| (et non un minimum), puisque |H| > 0 (par définition d’un module) et |H|

+∞→ 0.

En conclusion, il existe une résonance si Q > 1 √2⁄ . La pulsation de résonance vaut alors : ω_res = ω₀√1 − 1

2Q²

15)On se place dans le cas où Q ≫ 1. On en déduit que la résonance a lieu en ω_res ≃ ω₀⇒ x = 1.

Calculons le gain en décibels.

G_dB(x) = 20 log(|H|) = 20 log(H₀) − 10 log ((1 − x²)²+ (x Q)

2

) Etudions les cas limites. En basse fréquence :

GdB x ≪ 1

→ 20 log(H0) En haute fréquence :

G_dB

x ≪ 1

→ 20 log(H₀) − 40 log(x) Il s’agit d’une droite de pente −40 dB/dec.

Les deux asymptotes se croisent en x = 1.

Finalement, en x = 1, le gain en décibel (réel) vaut :

G_dB(x = 1) = 20 log(H₀Q) Le diagramme de Bode en amplitude est donc le suivant :

Lecture graphique :

16) On sait qu’en basse fréquence :

v = |H|E_m→ H₀E_m≃ 20 mV De plus, à la résonance,

v = |H|E_m ≃ H₀QE_m≃ 90 mV On en déduit alors le facteur de qualité :

Q =v(résonance) v(BF) ≃ 4,5 17)La fréquence de résonance est de l’ordre de :

𝑓_res ≃ 7 kHz On en déduit donc la pulsation de résonance :

ω_res= 2π𝑓_res≃ 44 ∙ 10³ rad ∙ s⁻¹ Or, d’après la modélisation,

ω_res= ω₀= √R₀+ R_L

R₀CL ⇒ L = R₀+ R_L

R₀C ω_res² = 5,2 H 18) La définition de la fréquence de coupure à -3 dB est telle que :

|H|(𝑓_c) =max(|H|)

√2 Or, par lecture graphique :

max(|H|)

√2 ≃ 63 On en déduit :

𝑓_c1≃ 5,9 kHz et 𝑓_c2≃ 7,9 kHz

19) Le microphone permet de ne sélectionner que la fréquence produite par la corde correspondant au microphone concerné, mais le spectre du son sera déformé puisque la bande passante n’est pas assez large pour englober les harmoniques.

--- Fin de la partie I ---

II) Etude d’un circuit électrique anti-résonant

II.1) Questions préliminaires : le circuit RLC série

20)

20.a) Voir cours.

On introduit :

λ =ω₀

2Q et Ω = √1 − 1 4Q² La solution est alors de la forme :

u(t) = E₀+ e^−λt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) 20.b) Avec les conditions initiales :

u(t) = 0 = E₀+ A ⇒ A = −E₀ Calculons la dérivée,

u̇(t) = −λ e^−λt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) + Ωe^−λt (−A sin(Ωt) + B cos(Ωt)) On en déduit :

u̇(t) = 0 = −λA + ΩB ⇒ B = λ

ΩA = −E₀λ Ω Ainsi,

u(t) = E₀[1 − e^−λt (cos(Ωt) +λ

Ωsin(Ωt))]

20.c)La courbe doit faire apparaître environ Q = 5 oscillations.

21)Par définition,

e(t) = E₀exp(jωt) ⇒ e(t) = Re (e(t)) 22) Il s’agit de trois impédances en série :

Z = R + jωL + 1

jωC= R + j (ωL − 1 ωC) Le module vaut :

Z(ω) = √R²+ (ωL − 1 ωC)

2

23)Par définition de l’impédance,

i =e Z

24) On a une résonance en intensité lorsque |i| est maximal, donc lorsque 𝐙(𝛚) est minimal, donc lorsque g(ω) = (ωL − ¹

ωC)² est minimal.

Or,

dg

dω= 2 (ωL − 1

ωC) (L + 1

ω²C) = 0 ⇒ ω_res = 1

√LC

Compte tenu de l’expression de Z(ω), on remarque immédiatement qu’il s’agit bien d’un minimum de Z(ω).

25)A la résonance,

Z(ω_res) = R ∈ ℝ Donc,

i = e R Les deux signaux sont en phase.

26) On trace à l’oscilloscope la tension aux bornes du générateur (voie Y) en fonction de la tension aux bornes de la résistance (voie X), afin de mesurer l’intensité dans le circuit.

On se place en mode XY : on observe une ellipse. On cherche la fréquence à laquelle l’ellipse devient une droite. Il s’agit de la fréquence où les signaux sont en phase, donc de la fréquence de résonance.

27) Une antirésonance en intensité correspond à un minimum d’intensité (minimum de la fonction |𝑖|(ω)).

II.2) Étude du circuit anti-résonant

28) L’impédance équivalente vaut : Z = (R + jωL) ∥ Z_c= ( 1

R + jωL+ jωC)

−1

= (1 + jωC(R + jωL) R + jωL )

−1

= R + jωL 1 − LCω²+ jωRC 29) On obtient directement le module au carré :

Z²(ω) = R²+ L²ω² (1 − LCω²)²+ R²C²ω² 30)On a :

R²C

L = 10⁻⁶≪ 1 31)Effectuons un développement à l’ordre 2 en ^R_L^2C de la racine carrée :

√1 +2R²C

L ≃ 1 +1

2×2R²C L + 1

2!× (−1

4) × (2R²C L )

2

= 1 +R²C L −1

2(R²C L )

2

On en déduit que :

ω₁²≃ ω₀²(1 −1 2(R²C

L )

2

)

On prend alors la racine de cette expression et on effectue à nouveau un développement limité : ω₁= ω₀√1 −1

2(R²C L )

2

≃ ω₀(1 −1 2×1

2(R²C L )

2

) = ω₀(1 − (R²C 2L)

2

)

On en déduit donc la forme demandée avec :

𝑓(R, L, C) = (R²C 2L)

2

32)On a :

𝑓(R, L, C) = (R²C 2L)

2

= 0,25 ∙ 10⁻¹²⋘ 1

On en déduit que ω₁ et ω₀ sont extrêmement proches.

33) On a :

Z(ω) = √ R²+ L²ω² (1 − LCω²)²+ R²C²ω² Donc :

Z(0) = R et Z(+∞) = 0

D’après la valeur limite Z(+∞), si la fonction admet un seul extremum, celui-ci est nécessairement un maximum (puisque Z > 0 par définition d’un module).

Z_m(ω₁≃ ω₀) = √R²+ L C⁄

0 + R²C L⁄ = 10⁷Ω

Étant donné la valeur de Z_m ≫ R, la courbe est très piquée. Une très grande valeur du module de l’impédance entraîne une très faible valeur de l’intensité, on est donc bien en présence d’une antirésonance.

Allure :

--- Fin de la partie II ---

III) Dualité onde-corpuscule

34)Dans l’ordre chronologique des travaux : o Planck (1900) : rayonnement du corps noir ; o Einstein (1905) : effet photoélectrique, photon ; o Bohr (1913) : modèle de l’atome d’hydrogène ; o De Broglie (1922) : dualité onde corpuscule ; o Schrödinger (1926) : équation d’onde ; o Heisenberg (1932) : principe d’incertitude.

Ondes électromagnétiques

35) C’est une particule sans masse, se propageant à la vitesse de la lumière et qui possède une énergie ℰ = hν.

36) On a :

ℰ = hν =hc

λ ⇒ { Visible ∶ λ = 500 nm ⇒ ℰ_visible ∼ 1 eV RX ∶ λ = 1 nm ⇒ ℰ_RX∼ 1 keV 37) Un photon se propageant dans un milieu d’indice n possède une vitesse :

v =c

n= λν =λ₀ν

n ⇒ λ =λ₀ n Ainsi, d’après la deuxième relation de Planck-Einstein, on a :

p = ℏk =h λ=nh

λ₀

Ondes de matière

38) D’après la relation de De Broglie :

λ =h p

39) On utilise la conservation de l’énergie mécanique avant et après l’accélération : ℰ_m = cte = ℰ_c+ ℰ_p ⇒ 0 + 0 ⏟

avant

= p² 2m− eU

⏟

après

Ainsi,

p = √2emU =h

λ ⇒ λ = h

√2emU 40)On a :

U = h²

2em λ²= 150 V

41)Cet électron rencontre des obstacles dont la dimension est de l’ordre de a ~ 10⁻¹⁰ m. Or, il possède une longueur d’onde :

λ =h p= h

mv= 7,2 ∙ 10⁻¹⁰ m On a λ ≃ a. L’électron doit donc être traité de manière quantique.

--- Fin de la partie III ---