MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.
Montrer la convergence et calculer la limite de la suite
n
X
k=3
4k − 3 k(k − 2)(k + 2)
!
n∈N
Corrigé
Décomposons en éléments simples la fraction 4X − 3 X(X − 2)(X + 2) il vient :
4X − 3
X (X − 2)(X + 2) = 1 8
6
X − 11
X + 2 + 5 X − 2
On en déduit
n
X
k=3
4k − 3
k(k − 2)(k + 2) = 1 8 6
n
X
k=3
1 k − 11
n
X
k=3
1 k + 2 + 5
n
X
k=3
1 k − 2
!
= 1 8 6
n
X
k=3
1 k − 11
n+2
X
k=5
1 k + 5
n−2
X
k=1
1 k
!
Comme 6 − 11 + 5 = 0 , les termes des sommes entre 5 et n − 2 disparaissent. Il reste :
n
X
k=3
4k − 3
k(k − 2)(k + 2) = 1 8
6( 1
3 + 1
4 ) + 5(1 + 1 2 + 1
3 + 1 4 ) − ε
noù ε
nest formé de termes qui tendent vers 0. On en déduit que
n
X
k=3
4k − 3
k(k − 2)(k + 2) → 1 8
6( 1
3 + 1
4 ) + 5(1 + 1 2 + 1
3 + 1 4 )
= 167 96
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
