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o6 : Filtrage
Pour le lundi 27 janvierProblème 1 : Pickup de guitare électrique
On étudie le comportement fréquentiel d’un « pickup » de guitare électrique,iedu composant qui génère le signal électrique reproduisant les vibrations mécaniques de la corde.
I Étude générale
On considère un filtre amplificateur de tension dont le diagramme de Bode du gain en décibel est repré- senté sur la figure 1.
10 2 10 3 10 4
− 20
− 16
− 12
− 8
− 4 0 4 8 12 16
f (Hz) G dB
Fig. 1 : Diagramme de Bode d’un filtre.
I.1. (a) Déterminer sa nature et son ordre.
(b) Donner les équations de ses asymptotes (GdBen fonction de log(f)) à haute et basse fréquence.
I.2. (a) Déterminer parmi les fonctions de transfert suivantes laquelle peut correspondre au diagramme précédent. On justifiera soigneusement les réponses en donnant la nature de chacun des filtres correspondant. Dans ces expressionsQetH0sont des réels positifs sans dimension,ω0est une pulsation positive.
• H=1+jω/ωH0
0
• H= H0
1+jQωω 0−
ω ω0
2
• H= 1 +ωω
0 −
ω Qω0
2
,
• H= H0
ω ω0 ω ω0−jQ(ω
ω0)2−1
(b) On travaille dans toute la suite avec la fonction de transfert choisie. Déterminer les équations de ses asymptotes à haute et basse fréquence (GdBen fonction de log(ω/ω0)) ainsi que la valeur de Hpourω=ω0.
(c) En déduire les valeurs deQet def0≡ω0/(2π)pour le diagramme de la figure 1.
(d) Déterminer la phaseϕet le gainGdBpourf=f0pour le filtre choisi à la questionI.2a.
II Filtrage d’un signal
II.1. On envoie en entrée du filtre de la figure 1 un signal sinusoïdal notéue(t), d’amplitude notéeUe=1 V et de fréquence variable. Déterminer l’amplitude, notéeUs, de la tension en sortie, notéeus(t), pour :
• f=300 Hz,
• f=3 kHz,
• f=8 kHz.
II.2. On considère un signal électrique périodique dont le spectre est donné sur la figure 2, caractéristique de la vibration d’une corde de guitare.
Fig. 2 : Spectre d’une corde de guitare. L’abscisse représente la fréquence de ses composantes sinusoïdales et l’ordonnée représente20log(U/Uref)avecUl’amplitude etUref=10 mV. On ne prêtera pas attention aux différences entre les deux courbes correspondant à deux manières différentes de gratter la corde.
(a) Déterminer la fréquence du mode fondamental et donner les intensités, en V, du fondamental et des trois premiers harmoniques.
(b) Tracer schématiquement l’allure du spectre de ce signal s’il est filtré par le filtre de la figure 1.
On donnera en particulier les amplitudes (en dB) du fondamental et des harmoniques les plus proches de 3 kHz et de 8 kHz.
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o6 : Filtrage
Pour le lundi 27 janvierII.3. On envoie un signal sinusoïdalue(t)sur un filtre du type choisi à la questionI.2a, de valeurs deQet f0inconnues. On obtient le signalusen sortie.
(a) Déterminer le gain en dB et la phase de la fonc- tion de transfert correspondant aux signauxue
etusreprésentés ci-contre. En déduire les va- leur deQetf0pour le filtre choisi à la ques- tionI.2a.
(b) En déduire l’allure deus(t)quand on envoie sur le même filtre un signal de fréquence 1 kHz puis quand on envoie un signal de fréquence 10 kHz. On superposera dans les deux cas les
allures deue(t)etus(t). 0 1 2 3
−2
−1 0 1 2
t(ms)
u(V)
ue
us
III Modèle électrocinétique du pickup
On peut modéliser le « pickup » branché sur un amplificateur de guitare par le circuit de la figure 3 dans lequel la source de tension sinusoïdaleegénère un signal d’amplitude constanteEquelle que soit la fré- quence. On s’intéresse à la fonction de transfertUs/E, avecUsl’amplitude du signalusen sortie.
La bobineL, le résistorRet le condensateurCcaractérisent le « pickup » ; le condensateurCccaractérise la capacité du câble reliant la guitare à l’amplificateur et le résistorRacaractérise la résistance d’entrée de l’amplificateur.
e
L R
R
au
sC C
cFig. 3 : Modélisation d’un « pickup » branché par un câble à un amplificateur de guitare. La source de tension est sinusoïdale. Son association avecL,RetCreprésente le « pickup ».Ccreprésente la capacité du câble etRala résistance d’entrée de l’amplificateur.
III.1. Vérifier (il n’est pas nécessaire de calculer la fonction de transfert) que ce circuit a la même nature que le filtre dont le gain est donné à la figure 1.
III.2. La figure 4 représente les diagrammes de Bode du circuit précédent, quand on fait varierRa(avecCc= 470 pF) pour l’une et quand on fait varierCc(avecRa =10 MΩ) pour l’autre. Proposer des valeurs pourRaetCcdonnant une résonance à 2,5 kHz (le son est alors dit « brillant ») avec une surtension d’un facteur5à la résonance.
10
210
3−5 0 5 10 15 20 25
f (Hz)
G
dB5 · 10
−41 · 10
−32 · 10
−35 · 10
−31 · 10
−2(a)Cc=470 pF, la légende donne la valeur du rapport R/Ra.
10
310
4− 25
− 20
− 15
− 10
− 10 15 20 25 30 5 0 5
f (Hz) G
dB1 2 5 8
(b)Ra=10 MΩ, la légende donne la valeur du rap- portCc/C.
Fig. 4 : Modifications des diagrammes de Bode quand on varie la résistanceRaet la capacitéCc.
III.3. (a) Établir l’expression de la fonction de transfert du circuit de la figure 3 et la mettre sous la forme choisie à la questionI.2a.
(b) Simplifier les expressions du facteur de qualitéQet de la pulsation propreω0pour retrouver les ordres de grandeur deQetω0sur les diagrammes correspondant àRa=10 MΩ. On utilisera le fait queR/Raest alors très petit devant1.
(c) Justifier également le sens de variation deω0avecCc.
III.4. Comment modifier le montage précédent avec un potentiomètre pour faire varier l’amplitude du signal de sortie sans changer la réponse fréquentielle.
Données :Capacité du pickupC = 100 pF ; autoinductance du pickupL=5 H, résistance du pickup R=6 kΩ.
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o6 : Filtrage
Pour le lundi 27 janvierCorrection du problème 1 I Étude générale
I.1.
(a) Il s’agit d’un filtre passe bas. La pente de l’asymptote à grande fré- quence (voir la figure 5) vaut−40 dB par décade : il est donc du deuxième ordre, ce qu’indique également la présence d’une résonance au voisi- nage de 3 kHz.
(b) On lit sur la figure 5 : f3 kHz:GdB= 0
f3 kHz:GdB=−40log(f/f0), avecf0 la fréquence pour laquelle l’asymptote haute fréquence à GdB coupe l’asymptote à basse fréquence. On litf0=3 kHz.
10
210
310
4− 20
− 16
− 12
− 8
− 4 0 4 8 12 16
f (Hz) G
dBFig. 5 I.2. (a) • la première proposition est bien un filtre passe bas, mais du premier ordre
• la troisième diverge pourω→ ∞
• la quatrième tend constitue une passe bande : le module tend vers0quandωtend vers0et vers∞.
L’unique proposition possible est donc la deuxième : H= H0
1 +jQωω
0 −
ω ω0
2
(b) ωω0 on aH'H0, soitGdB≡GdB0= 20logH0,
ωω0 on aH' −H0/(ω/ω0)2, soitGdB=GdB0−40log(ω/ω0), ω=ω0 on a exactementH=QH0, soitGdB=GdB0+ 20logQ.
(c) • L’asymptote à basse fréquence donneH0= 100=1 à la précision de la lecture.
• On lit ensuite20log(Q) =GdB(ω0) = 14, soitQ= 1014/20=5,01'5à la précision de la lecture.
• On vérifie sur les expressions précédentes que les deux asymptotes à haute et basse fréquence se coupent enω=ω0, soit enf=f0. On lit alors sur la courbe 5f0=3,0 kHz.
(d) Pour la pulsationω=ω0, on a :
H=QH0
j →H=H0Q=Q et :ϕ=−π/2.
II Filtrage d’un signal
II.1. f=300 Hz Le gain vautGdB'GdB0= 0, soitH0= 1. On aura doncUs=1 V.
f=3 kHz Le gain vautGdB= 14, soitH= 5, on aura doncUs=5 V.
f=8 kHz Le gain vautGdB=−16, soitH= 10−16/20=0,16 etUs=0,16 V.
II.2. (a) On distingue des pics régulièrement espacés. Comme les fréquences des harmoniques sont les multiples de la fréquence fondamentale, l’intervalle de fréquence donne la fréquencef0du fonda- mental. On compte 18 pics entre 2 kHz et 8 kHz, soitf0=333 Hz correspondant aux imprécisions de lecture au mi aigu, la corde la plus fine (339 Hz).
Pour chaque composante de Fourier, on a : U = Uref10GdB/20. On calcule donc :
rang 1 2 3 4
GdB 50 50 35 20 U(V) 3,2 3,2 0,56 0,1
(b) Dans tous les cas, on aUs=Us0(avecUs0=1 V l’amplitude du signal initial). NotonsGdBela valeur lue sur la courbe, correspondant à20logU/Uref, on a :
Us=HUs0= 10logGdB/20×10logGdBe/20×Uref= 10log(GdBe+GdB)/20×Uref. L’amplitude en dB du signal est doncGdBe+GdB.
f=330 Hz On est dans le domaine passant, où le gain vautGdB = 0. L’amplitude en dB du fondamental reste donc de50.
f'3 kHz L’harmonique le plus proche (le dixième avecf=3,3 kHz) a une amplitude de 2 dB.
Pour 3,3 kHz, le gain est légèrement inférieur à sa valeur à résonance : on aGdB = 14, et l’amplitude en dB devient16: cette portion du signal est très amplifiée.
f=8 kHz L’harmonique le plus proche (le 24e) a de nouveau une amplitude de 2 dB. Le gain à cette fréquence estGdB=−16, l’amplitude en dB sera donc−14. Cette partie est fortement atténuée.
II.3. (a) Les signaux ont pour fréquencef =7,5/(3 ms) =2,5 kHz. On constate que le signalusest en quadrature retard par rapport àue, ce qui correspondià une excitation à la fréquence propref0. On a doncf0=2,5 kHz.
Par ailleurs, le rapport des amplitudes estUs/Ue=2. PourH0= 1, on a doncH(f=f0) =Q= 2.
(b) On calcule la fonction de transfert dans les deux cas :
f=1 kHz On af/f0=0,4. On est suffisamment dans la bande passante pour approximerH'1.
L’entrée et la sortie sont indiscernables.
f=10 kHz On af/f0 = 4. On est suffisamment dans la bande coupée pour utiliser l’approxi- mation asymptotiqueH ' −ω20H02/ω2 = −1/16 = −6,25·10−2. La sortie est donc en opposition de phase, avec une amplitude de 6,25% de l’entrée.
III Modèle électrocinétique du pickup
III.1. Les modèles à haute et basse fréquence sont représentés sur la figure 6 À basse fréquence (figure 6a),
iL’étude de la questionI.2da montré queϕ=−π/2àf=f0et on peut facilement vérifier queϕest une fonction injective def.
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o6 : Filtrage
Pour le lundi 27 janviere
R
Ra us
C Cc
(a) Modèle équivalent pourff0
e
L R
Ra us
(b) Modèle équivalent pourff0 Fig. 6 : Modèles asymptotiques du « pickup »
un pont diviseur de tension assure queus/e=Ra/(Ra+R): on est dans le domaine passant.
À haute fréquence (figure 6b) la résistanceRaest court-circuitée par les condensateurs et on aus→0: on est dans la bande coupée. Il s’agit donc bien d’un filtre passe-bas.
Remarque :Contrairement au filtre de la figure 1, le gain en dB en bande passante sera ici toujours négatif puisqueRa/(Ra+R)<1.
III.2. Les courbes de la figure 4 indiquent queRaetCcpermettent de changer de manière à peu près in- dépendante la surtension à la résonance (par l’intermédiaire du facteur de qualité) et la fréquence de résonance. Pour avoir une résonance 2,5 kHz, la figure 4b indique qu’il fautCc/Centre 5 et 8. Ceci n’est rigoureusement valable que pourRa =10 MΩ mais la courbe de la figure 4a illustre que la fré- quence de résonance ne varie pas de manière significative quandR/Ra1. Une surtension de5à la résonance correspond àGdB,resonance−GdB0 = 20log5 =14,0, soit àR/Ralégèrement inférieur à 2·10−3.
On peut finalement choisir :
Cc'6C=600 pF Ra' R
2·10−3 =3 MΩ.
III.3. (a) • l’association parallèle des deux condensateurs est équivalente à un condensateur de capacité Ctot≡C+Cc,
• son association parallèle avecRaest équivalent à un dipôle d’impédance : Zeq= Ra
1 +jRaCtotω,
• un pont diviseur de tension donne enfin : us
e = Zeq
jLω+R+Zeq
soit, après calculs :us
e = Ra
Ra+R+jω(RRaCtot+L)−LRaCtotω2
= Ra/(Ra+R) 1 +j
L+RaRCtot R+Ra
ω−R+RRa
aLCtotω2 ,
de la forme demandée, avec :
H0= Ra
R+Ra
ω0= s
R+Ra
LCtotRa
Qω0= R+Ra
L+RaRCtot
→Q=
p(R+Ra)LRaCtot
L+RaRCtot
e
L R
Ra
C Cc
Rf 1−x x
us
Fig. 7
(b) PourRaR, on peut simplifier en :
H0'1 ω0' 1
√LCtot Q' Ra
√LCtot
L+RaRCtot
On calcule alors, pourCc=470 F etRa=10 MΩ,Ctot=570 F et donc : f0=ω0
2π =2,98 kHzQ=13,6→GdB(f0) = 20log(Q) =22,7, en accord avec la courbeR/Ra=5·10−4'10 MΩ6 kΩ .
(c) On observe quef0décroît quandCc/Ccroît, en accord avec la décroissance deω0∝1/√ C+Cc
avecCcàCfixé.
III.4. Il suffit de remplacerRapar un potentiomètre de résistance totaleRa. On réalise ainsi un pont diviseur de tension comme représenté sur la figure 7. Pour que cette modification ne change pas la réponse de l’ensemble du filtre, il faut cependant veiller à ce que la résistance de l’ensemble du potentiomètreRa
et de la résistance de chargeRfreste égale àRa, il faut pour cela queRfsoit très grande devantRa. Remarques
• On ne peut en fait pas toucher àRaqui est constitutive de l’amplificateur. On intercale donc un potentiomètre en parallèle àCsur la sortie duquel est branchée l’association série deCcetRa. Le comportement fréquentiel est alors légèrement modifié quand on règle l’amplitude de sortie à l’aide du potentiomètre.
• Le réglage de la fréquence n’est pas effectué en changeant une capacité mais en changeant (avec un potentiomètre) la résistance d’une association série résistance variable / condensateur fixé.
L’étude est de nouveau plus compliquée mais les principes généraux restent valables.
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