Université Grenoble Alpes. Master 1 Physique.
Examen de physique statistique, 2020-2021. Frédéric Faureet Arnaud Ralko.
Examen intermédiaire de physique statistique, 2020-2021. Durée 1h30 Feuille A4 autorisée, Calculatrice autorisée mais pas nécessaire, Smartphone interdit.
1 Elasticité d’un brin de laine
Il s’agit d’un modèle simplifié des molécules de kératine dans la laine. Nous allons étudier le mécanisme qui est à la base de l’élasticité de la laine et comprendre en particulier le fait bien observable que lorsque on tire sur un brin de laine, il s’étire à partir d’une certaine force exercée et ensuite reste rigide si on tire encore plus.
Remarque 1.1. Les questions 7,8,9 sont indépendantes des questions 3,4,5,6.
Le système étudié représenté sur la figure ci-dessous, est une grosse molécule appelée po- lymère constituée d’un très grand nombre N d’unités appelés monomères, formant une chaîne unidimensionnelle selon un axe noté x. Chaque monomère peut être dans l’un ou l’autre des deux étatsα ouβ.
Dans l’état α, le monomère est parallèle à la chaîne, son énergie est Eα et sa longueur selon l’axex est a.
Dans l’état β, le monomère est transverse à la chaîne, son énergie est Eβ et sa longueur selon l’axex est b, avec b < a etEβ < Eα.
On suppose que le polymère est fixé à une extrémité Aet l’on tire sur l’autre extrémité avec une force de tension F.
...
F
L
a b
α α β α α β β α β
A
1. On note Nα de monomères dans l’état α. Donner l’expression de la longueur L de la chaîne en fonction deNα,N,a et b.
2. On note L la longueur totale de la chaîne. L’énergie interne totale E du système est égale à la somme des énergies des unités monomères auquel on rajoute le terme (−F L).
Expliquer le sens physique et l’expression de ce dernier terme(−F L). Donner l’expression de l’énergie interne totaleE de la chaine en fonction de Nα et des autres paramètres du problème.
3. Donner le nombre N de configurations possibles du système en fonction de Nα et deN. 4. On suppose le système isolé. Toutes les configurations possibles sont considérées comme équiprobables (ensemble micro-canonique). Calculer l’entropie S en considérant N Nα 1et utilisant la formule de Stirlinglogx!∼xlogx pourx1. Calculer
∂S
∂Nα
N
et
∂E
∂Nα
N àN fixé.
1
5. On définit la température T de la chaîne par T1 = ∂E∂S. A l’aide des résultats précédents, exprimer1/T à partir de k, N, Nα, Eα, Eβ, F, a, b.
6. En éliminantNα, déduire l’expression de la longueurLde la chaine en fonction deN, a, b et∆ = EαkT−Eβ etY = a−bkT F.
7. Pour obtenir L plus simplement, vérifier que l’énergie de la chaine est la même si l’on considère que l’énergie de chaque monomère est Eα = Eα−F a ou Eβ =Eβ −F b selon que le monomère est dans l’état α ou β. On peut alors considérer la chaine comme N chainons indépendants ayant deux énergie possibles Eα ou Eβ. En utilisant la loi de Boltzmann pour un chainon en contact avec un thermostat à la température T (qui serait le reste de la chaine), donner les probabilité Pα,Pβ pour que ce chainon soit dans un état α ouβ. Déduire la longueur moyenne d’un chainon et la longueur de la chaine L à l’équilibre. Comparer au résultat de la question 6.
8. Tracer l’allure de Len fonction de Y, en étudiant au préalable les cas (Y −∆)→ ±∞.
Pour quelle valeur de Y est-ce que L change de manière significative, et sur quelle intervalle ? Commenter le graphe deL(Y) par rapport au fait observable mentionné au début.
9. Se rappelant que Y = a−bkT F, une mesure expérimentale de L en fonction de la tension F (à température T fixée) peut donner accès à quels paramètres microscopiques du modèle ?
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