x y x y Repérage et problèmes géométriques

Seconde

Repérage et problèmes géométriques

Milieu, Distance et projeté orthogonal

Année scolaire 2019/2020

I) Repères :

Trois points O, I et J, non alignés, définissent un repère du plan.

Les axes du repère sont (OI) (= axe des abscisses) et (OJ) (= axe des ordonnées) 1) Repères orthogonaux :

Un repère orthogonal a ses axes perpendiculaires.

C'est-à-dire : (OI) ⊥ (OJ)

2) Repères orthonormaux (ou orthonormés) : Un repère est orthonormé (ou orthonormal)

si ses axes sont perpendiculaires et si OI = OJ.

Remarque :

Cette année, on travaillera principalement dans des repères orthogonaux ou orthonormaux.

II) Coordonnées : 1) Coordonnées d'un point :

Un repère étant donné, tout point M du plan possède un et un seul couple de coordonnées.

Réciproquement, à tout couple de coordonnées, on peut associer un seul point M du plan.

Notation : M(

x

^;

y

⁾

x

désigne l'abscisse du point M et

y

son ordonnée

2) Coordonnées du milieu d'un segment :

Soient A(

x

^A ;

y

^A) et B(

x

^B ;

y

^B) deux points du plan.

Si note M(

x

^{M ;}

y

^M), le milieu du segment [AB] , alors :

x

^{M = 𝑥𝐴+𝑥}₂ ^𝐵 et

y

^{M = 𝑦𝐴+𝑦}₂ ^𝐵

Exemple :

On considère les points suivants E(1;-2) et F(5;3) et K le milieu de [EF]

Calcul des coordonnées de K : K(^{𝑥𝐸+𝑥𝐹}

2 ;^{𝑦𝐸+𝑦𝐹}

2 ) D'où : K(¹⁺⁵

2 ;^–2+3

2 ) Donc K(3;¹

2) Vérification graphique :

Application : Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Soient A(-3;-1), B(5;-2), C(7;3) et D(-1;4). Montrer que ABCD est un parallélogramme.

[AC] et [BD] sont les deux diagonales du quadrilatère ABCD.

Appelons M le milieu de [AC] et N celui de [BD] :

x

^{M = 𝑥𝐴+𝑥}₂ ^{𝐶= –3+7}₂ = 2 et

y

^{M = 𝑦𝐴+𝑦}₂ ^{𝐶= –1+3}₂ ^{= 1}

D'où : M(2;1)

x

^{N = 𝑥𝐵+𝑥}₂ ^{𝐷= 5+(–1)}₂ = 2 et

y

^{N = 𝑦𝐵+𝑦}₂ ^{𝐷= –2+4}₂ ^{= 1}

D'où : N(2;1) Donc M = N

Or, un quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

Donc : ABCD est un parallélogramme

III) Distance entre deux points :

ATTENTION : Dans cette partie, on se placera dans un repère orthonormé

On considère deux points A(

x

^{A ;}

y

^{A) et B(}

x

^{B ;}

y

^B) , on cherche une formule permettant de déterminer la distance entre A et B connaissant les coordonnées des deux points.

On introduit un point M de coordonnées (

x

B ;

y

A) , alors AMB est un triangle rectangle en M.

Dans le triangle AMB, rectangle en M, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AB² = AM² + MB²

Comme [AM] est horizontal, AM =

x

^{B –}

x

^A

Comme [BM] est vertical, BM =

y

^{B –}

y

^A

D'où : AB² = (

x

^B –

x

^A)² + (

y

^B –

y

^A)² Or, AB étant une distance, AB ≥ 0, Par conséquent :

AB = √(𝑥_𝐵– 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵– 𝑦_𝐴)²

Exemple :

On considère les deux points suivants : R(-1;5) et S(4;-2)

Calcul de RS :

RS = √(𝑥_𝑆– 𝑥_𝑅)²+ (𝑦_𝑆– 𝑦_𝑅)²= √(4– (– 1))²+ (– 2– 5)² = √25 + 49

= √74 Application :

On se donne trois points A(-4;-1) , B(4;-2) et C(-2;2) Montrer que ABC est un triangle rectangle en C.

On a : AB² = (

x

^B –

x

^A)² + (

y

^B –

y

^A)² = (4 - (-4))² + (-2 - (-1))²

= 64 + 1 = 65

AC² = (

x

^C –

x

^A)² + (

y

^C –

y

^A)² = (-2 - (- 4))² + (2 - (- 1))²

= 4 + 9 = 13

BC² = (

x

^C –

x

^B)² + (

y

^C –

y

^B)² = (-2 – 4)² + (2 - (- 2))²

= 36 + 16 = 52

Or 52 + 13 = 65 , c'est-à-dire AB² = AC² + BC² D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. IV) Configurations du plan :

Voir le document à compléter sur le lien suivant :

http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/Seconde/Configurations_plan.pdf V)Projeté orthogonal d’un point sur une droite :

1) Définition :

On considère une droite (d) du plan. Soit M (d).

Le projeté orthogonal du point M sur la droite (d) est l’unique point d’intersection H entre la droite (d) et la perpendiculaire à (d) passant par M.

Remarque : Si M est situé sur (d), alors son projeté orthogonal sur (d) est lui-même 2) Distance d’un point à une droite :

Soit M un point extérieur à une droite (d) donnée. Notons H le projeté orthogonal du point M sur la droite (d).

La distance du point M à la droite (d) est la longueur MH.

Cette distance est la plus courte entre M et n’importe quel point de la droite (d) Démonstration : (à l’aide du théorème de Pythagore)

3) Application : hauteur dans un triangle a) Définition :

Soit ABC un triangle. La hauteur issue de A du triangle ABC est la droite perpendiculaire à (BC) et passant par A.

(AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC En fait, H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC) AH est la distance entre A et (BC)

Remarque : Il y a trois hauteurs dans un triangle donné.

Exemple :

EFG est un triangle équilatéral de côté mesurant a, a > 0

Exprimer la distance du point E à la droite (FG) en fonction de a :

A est le projeté orthogonal de E sur (FG)

On se place dans le triangle EAG, rectangle en A.

Théorème de Pythagore : EG² = EA² + AG²

Comme le triangle est équilatéral, A est le milieu de [FG]

D’où : AG = ^𝑎

2

Alors : a² = EA² + (^𝑎

2)² Donc : EA² = a² - (^𝑎

2)² = a² - ^𝑎2

4 = ^4𝑎2

4 - ^𝑎2

4 = ^3𝑎2

4

D’où : EA = √^3𝑎2

4 = a^√3

2

b) Point de concours :

Propriété : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes et le point de concours est appelé l’orthocentre du triangle.