Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen
LM216 Première session – Juin 2011
Les appareils électroniques (y compris les téléphones) et les documents sont interdits.
Les trois exercices sont indépendants.
Les réponses doivent être justifiées et rédigées de manière rigoureuse.
Si des résultats du cours sont utilisés, ils doivent clairement être énoncés.
Exercice I. Le plan euclidien étant muni d’un repère orthonormé, pour tout point P de coordonnées (p1, p2), on considère l’applicationϕP :R2 →R,(x, y)7→(x−p1)2+ (y−p2)2.
1. SiM est le point de coordonnées(x, y)dans le plan euclidien, donner une interprétation géométrique de la quantitéϕP(x, y).
2. Quelle est la nature du triangle formé parA(−1,0),B(1,0)etC(0,√ 3)? 3. Montrer queϕP ∈C∞(R2). Calculer le gradient deϕP en (x, y)∈R2. 4. L’objet des questions suivantes est une étude des extrema de la fonction
f :R2 →R, (x, y)7→ϕA(x, y) +ϕB(x, y) +ϕC(x, y).
(a) Rappeler la définition d’un point critique.
(b) Déterminer le(s) point(s) critique(s) de f surR2. (c) Démontrer quef(x, y)≥f(0, y) pour tout (x, y)∈R2. (d) Étudier les variations de la fonctionh:R→R,y 7→f(0, y).
(e) En déduire quef admet un minimum global surR2.
(f) Quelle est la nature géométrique du point réalisant ce minimum, relativement au triangleABC ? (g) La fonction f admet-elle d’autres extrema globaux, locaux, sur R2 ? Expliquer.
5. On considère maintenant le domaine K⊂R2 formé par l’intérieur du triangleABC et ses côtés.
(a) Montrer que K est fermé dansR2 (on pourra remarquer, par exemple, que K est l’intersection de trois demi-plans).
(b) En déduire que f admet un maximum global sur K. Peut-il être atteint surK˚ ?
(c) Soit g: [−1,1]→R,x7→f(x,0). Pour quelles valeurs dexla fonction g est-elle maximale ? (d) (Question bonus) En déduire, à l’aide de considérations géométriques uniquement, les points de
K où f atteint son maximum global surK.
Exercice II. SoitΓ la courbe fermée orientée dans le sens direct, constituée des deux portions de courbes comprises entre les points d’intersection, de la droite d’équation y=xet de la parabole d’équation y=x2.
1. CalculerI = Z
Γ
(y+xy) dx en utilisant la formule de Green-Riemann.
2. Retrouver, par un calcul direct, la valeur de cette intégrale.
Exercice III. Soitf :R2 →]0,+∞[de classe C2. On suppose quef satisfait l’équation suivante :
f(x, y) ∂2f
∂x∂y(x, y)−∂f
∂x(x, y)∂f
∂y(x, y) = 0, ∀(x, y)∈R2. On considère la fonction h:R2 →R,(x, y)7→ln(f(x, y)).
1. Montrer queh∈C2(R2).
2. Calculer, pour tout(x, y)∈R2, ∂2h
∂x∂y(x, y).
3. Que peut-on en déduire sur la fonctionh ?
4. Montrer qu’il existe deux fonctionsA,B de la variable réelle, à valeurs dansR∗+, de classeC2, telles quef(x, y) =A(x)B(y) pour tout (x, y)∈R2.
