Master MEEF Maths Capes externe
UE 8 ORAL 2
2016-2017
Dossier Div 10 Thème : Problème avec prise d’initiative
L’exercice
Montrer que la courbe représentative de la fonction ln est située en dessous de toutes ses tangentes.
Les réponses de trois élèves de terminale S.
Elève 1
On a démontré en classe que la courbe de la fonction ln(𝑥) est située au dessous de sa tangente au point d’abscisse 𝑥 = 1.
En voyant la courbe de cette fonction (la fonction ln (𝑥) croît très lentement) , on peut affirmer que ce doit être vrai pour toutes les autres tangentes.
Elève 2
J’ai utilisé un logiciel de géométrie dynamique.
J’ai créé un curseur 𝑎 variant de 0 à 10 avec un pas de 0,1.
J’ai tracé la courbe de la fonction ln et la droite d’équation 𝑦 =1
𝑎× (𝑥 − 𝑎) + ln(𝑎) . En faisant varier 𝑎, j’ai pu voir que la courbe de la fonction ln est en dessous de toutes ses tangentes.
Elève 3
L’équation d’une tangente est 𝑦 =1𝑎× (𝑥 − 𝑎) + ln(𝑎) = 𝑎1 𝑥 − 1 + ln(𝑎) . Il faut prouver que ln(𝑥) − (1
𝑎 𝑥 − 1 + ln(𝑎)) est négatif.
Donc résoudre l’inéquation ln(𝑥) − (𝑎1 𝑥 − 1 + ln(𝑎)) ≤ 0 Si ln(𝑥) − 1
𝑎𝑥 + 1 − ln(𝑎) ≤ 0 alors ln (𝑥
𝑎) ≤ 1
𝑎 𝑥 − 1 et donc 𝑥
𝑎 ≤ 𝑒1𝑎 𝑥−1 . J’arrive à 𝑥 ≤ 𝑎 𝑒1𝑎 𝑥−1 .
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence les compétences manifestées, les réussites et les erreurs éventuelles et indiquez des aides que vous pourriez lui apporter.
2. Présentez, en vous appuyant sur les productions des élèves, une correction de l’exercice telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.
3. Proposez deux exercices sur le thème problème avec prise d’initiative à des niveaux différents.
Vous motiverez votre choix.
