E.N.S. de Cachan Département E.E.A.
M2 FE 3
eannée
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique n o 1 : Mécanique du point
Exercice no1 : Trajectoire d’un ballon-sonde
- 6 6
- r
M 6
- z
~v0
~v x
~ux
~ uz
O Un ballon-sonde M, lâché au niveau du sol, s’élève avec une vitesse verticale
~v0supposée constante. Le vent lui communique une vitesse horizontale~v=vx~ux
orientée suivant l’axe (Ox) proportionnelle à son altitudez :vx=z/τ oùτ >0.
À l’instantt= 0, le ballon-sonde est lâché depuis le pointO. On note(x(t), z(t)) les coordonnées cartésiennes du pointM.
1. En utilisant le vecteur vitesse ~v du ballon, écrire les deux équations différentielles vérifiées parxetz.
2. En déduire les équations horairesx(t)etz(t)en fonction dev0,τ et t.
3. Déterminer l’équationz(x)de la trajectoire suivie par le ballon-sonde au cours de son ascension. Quelle est la nature de la trajectoire ?
4. Exprimer dans la base cartésienne (~ux, ~uz) le vecteur accélération~a(t) du ballon-sonde.
Exercice no2 : Étude de quelques mouvements
1. (Cours) Soit un mobile M possédant une trajectoire circulaire de centre O et de rayonR. Exprimer les vecteurs vitesse et accélération. Traiter le cas particulier du mouvement uniforme.
2. Un mobile parcourt avec une vitesse constantev la spirale d’équation polaire :r=aθavecaconstant.
Exprimer en fonction deθet de v, le vecteur vitesse deM.
3. Un mobileM décrit dans le plan(Oxy)une spirale suivant les équations horaires polaires suivantes : r(t) = bexp(−t/τ)
θ(t) = ωt
oùb,τ etω sont des constantes positives. Tracer l’allure de la trajectoire deM. Exprimer les vecteurs vitesse et accélération. Montrer que le vecteur vitesse ~v forme à tout instant un angle α constant avec le vecteur position~r.
Exercice no3 : Vecteur vitesse en coordonnées sphériques
Exprimer le vecteur vitesse d’un mobile M en coordonnées sphériques en utilisant la loi de composition des vitesses.
ATTENTION : ceci n’est pas applicable au vecteur accélération.
Exercice no4 : Mouvement hélicoïdal
Un pointM, repéré par ses coordonnées cartésiennesx,yet zdans le repère(O, ~ex, ~ey, ~ez), a pour trajec- toire la courbe d’équation paramétrique :
x = Rcosθ,
y = Rsinθ, avecθ≥0 z = hθ.
oùRethsont des constantes positives. On suppose aussi que le pointM parcourt la courbe dans le sens des θcroissants, soit θ >˙ 0.
1. Représenter la trajectoire du point M dans l’espace, ainsi que la projection de cette trajectoire dans le plan(Oxy).
2. Exprimer le vecteur vitesse ~v de M en fonction de R, θ, h et θ, dans le repère cartésien et dans le˙ repère cylindrique(O, ~er, ~eθ, ~ez).
3. Montrer que l’angle α= (~ez, ~v)est constant. Donner son expression en fonction deRet de h.
4. Déterminer l’hodographe du mouvement dans le cas où l’hélice est parcourue à vitesse constante v.
5. Exprimer le rayon de courbure ρau pointM de la trajectoire en fonction deRet de h.
6. Exprimer l’abscisse curvilignesdu pointM en fonction deθ,Ret de h.
Exercice no5 : Course poursuite
6
-x y
O
A B
C D
Quatre mouches A, B, C et D se trouvent initialement aux quatre coins d’un carré ABCD de côtéacentré sur l’origine du repèreO. À partir de t = 0, chacune court après la suivante (A court après B, B après C, . . .) , à la vitesseV constante. Pour des raisons de symétrie les mouches forment à tout instantt≥0 un carré. Nous noteronsl(t)la longueur d’un coté du carré formé par les quatre mouches à l’instantt.
1. Établir l’équation différentielle vérifiée parl(t).
2. Au bout de combien de temps les mouches se rencontrent-elles ? 3. Quelle distanceLauront-elles parcourue ?
4. Déterminer la trajectoire de la moucheAen coordonnées polaires.
Exercice no6 : Échelle double
6
-
B B B B B B B B B
r r
x y
O
A
B α
Une échelle double est posée sur le sol, un de ses points d’appui restant constamment en contact avec le coin O d’un mur. La position de l’échelle à l’instanttest repérée par l’angleα(t)formé par la portionOAde l’échelle avec le mur. L’extrémité B de l’échelle glisse sur le sol. L’échelle est telle queOA = AB=l.
1. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse ~vA et accélération~aA
du pointA dans la base polaire(~ur, ~uθ), en fonction del,α,α˙ et α.¨
2. Exprimer dans la base cartésienne(~ux, ~uy)les composantes des vecteurs vitesse~vB et accélération~aB du pointB, en fonction del,α,α˙ etα.¨
Exercice no7 : Traversée d’une rivière
- 6
6
? r r
r -
@
@
@ I
x y
O
A D
M
~v V~e On considère une rivière rectiligne de largeur D. La vi-
tesse du courant est uniforme et vautV~e, parallèle aux rives.
Un bateau, assimilé à un pointM, situé initialement enA, sur la rive, effectue une traversée de la rivière, en maintenant sa vitesse~v, par rapport à l’eau, de norme constante et toujours dirigée vers le pointOen face deA sur la rive opposée.
1. Exprimer le vecteur vitesse absolue du bateau.
2. En déduire les équations différentielles du mouve- ment en coordonnées polaires d’origineO. Intégrer ces équa- tions (cf indication).
3. Tracer l’allure de la trajectoire du bateau dans le cas où||~v||=||V~e||
Indication : d dx
ln
1 + cos(x) sin(x)
=− 1 sin(x)
Exercice no8 : Système missile-cible
6 - 6
?r
r r
r
D a
x y
O C
3 M
~ v Une cibleCsuit l’axe(0, ~ex)à une vitesseV~0=V0~ex. À l’instantt= 0
elle est à l’origineOdu repère. Un missileM qui part àt= 0du pointD de coordonnées(0,−a)a une vitesseλV0 toujours dirigée par un système de guidage vers la cibleC. On noteraxetyles coordonnées deM,r=M C etθ l’angle entre la direction de la vitesse deM et l’horizontale.
1. Exprimer dxdt et dydt en fonction deλ,V0, etθ, puisxetyen fonction deV0,r,θ ett. En déduire deux équations différentielles enr(t)et θ(t).
2. En déduire une équation différentielle en r(θ).
3. Démontrer que
r(θ) = a sin(θ)
tanθ
2 λ
en utilisant :
Z dx
sin(x) = lnx 2
+cste 4. Quelle doit être la condition sur λpour que le missile atteigne la cible ? Exprimer la duréeτ de poursuite sachant que :
Z π2
0
1 sin2(x)
tanx 2
λ
dx= λ λ2−1 Exercice no9 : Déplacement sur une cardioïde
Un mobile décrit une courbe plane dont l’équation en coordonnées polaires est : r(θ) =r0
2 (1 + cos(θ))
oùr0 est une constante. Cette courbe est appelée "cardioïde", à cause de sa ressemblance avec un coeur. Elle admet l’axe(O, ~ex)comme axe de symétrie.
1. Tracer succinctement cette courbe.
2. Calculer l’abscisse curviligne en fonction deθ, en prenant comme origineθ= 0,s= 0.
3. Pour quel angle θ0,s=r0.
4. Exprimer la vitesse linéaire en fonction du tempst, de r0et deω= dθdt constant. Puis en fonction de r,r0et ω.
5. Déterminer les composantesaret aθ de l’accélération en fonction du tempst et deω.
Exercice no10 : Temps de montée et temps de descente
On lance une bille verticalement. Met-elle plus de temps à monter qu’à redescendre ? Exercice no11 : Parabole de sureté
- 6
6-
r α I x
~ex
O
~ey
~ v0
À t = 0, un projectile de masse m assimilé à un point matériel est y tiré à partir d’un pointO avec une vitesse initiale~v0. Le dispositif de tir impose la norme de~v0 mais permet de choisir l’angle αentre l’axe (Ox) et~v0 (α∈[0,π2[). Les frottements de l’air sont négligés.
1. Déterminer les équations paramétriques du mouvement et l’équa- tion de la trajectoire.
2. Préciser les coordonnées du point d’altitude maximale et l’instant correspondant.
3. On définit la portée comme étant la distanceOI avecIle point de la trajectoire autre queOvérifiant y(I) = 0. La calculer.
4. On suppose v0 constante mais α variable. Soit A(X, Y) un objectif à atteindre par le projectile.
Déterminer l’équation de la courbe dans le plan(O, ~ex, ~ey), séparant les points de ce plan pouvant être atteints par le projectile de ceux qui ne seront jamais atteints (parabole de sureté).
5. Dans le cas où l’objectifApeut être atteint, monter que deux cas sont possibles :
• un tir atteignantA avant le point de tangence de la parabole de chute avec la parabole de sureté,
• un tir atteignantA après le point de tangence.
6. Dans le premier cas, montrer que ce tir n’est pas toujours direct (c’est à dire objectif atteint avant le sommet de la parabole de chute) en particulier montrer qu’il existe une ellipse qui délimite la nature du tir (direct ou indirect). Faire un schéma pour illustrer tous les cas de figure.
Exercice no12 : Viscosimètre à chute de bille
Une bille sphérique, de masse volumique µB et de rayon R, est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumiqueµ. En plus du poids et de la poussée d’Archimède, on tient compte de la force de viscosité exercée par le fluide sur la bille, opposée au déplacement et de norme :
f = 6πηRv
oùη est la viscosité du fluide etv la norme de la vitesse de la bille. Le champ de pesanteur a pour intensitég.
Le référentiel d’étude est supposé galiléen et la bille est assimilée à un point matériel.
1. Exprimer la vitesse limite~v∞atteinte par la bille.
On suppose que la bille atteint très rapidement cette vitesse limite. On mesure la durée∆tnécessaire pour que la bille parcoure une distanceH donnée.
2. Déterminer la relation entre∆t,g,H,R,µB,µ, etη.
3. Montrer que l’expression de la viscosité peut se mettre sous la formeη=K(µB−µ)∆t, en exprimant la constante d’étalonnageK.
4. La durée de chute de la bille est de83s. Calculer la viscositéηdu fluide.Données :K= 14.10−8m2.s−2, µB= 7880kg.m−3,µ= 912 kg.m−3,g= 9,8m.s−2.
Rem : la viscosité s’exprime en Pascal-seconde (P a.s) ou en poiseuille (P l) :1 P a.s= 1P l= 1kg.m−1.s−1. A 20˚C, la viscosité de l’eau est de10−3P l, celle du glycérol est de1,49P l.
Exercice no13 : Prise en compte du frottement de l’air
À t = 0, un projectile de masse m assimilé à un point matériel est tiré à partir d’un point O avec une vitesse initiale~v0 formant un angleαavec l’axe(0, ~ex). On tient compte du frottement de l’air, modélisé par F~ =−k~v avec (k >0).
1. Trouver les composantes de la vitesse au temps t, et les équations paramétriques du mouvement.
2. Préciser les coordonnées du point d’altitude maximale et l’instant correspondant. Retrouver les ex- pressions correspondant au cas sans frottement.
3. Montrer que l’on tend vers un mouvement rectiligne uniforme vertical.
Exercice no14 : Ressorts équivalents
Soit deux ressorts de raideur respectivesk1et k2, et de longueur à vide l01 etl02. 1. Déterminer le ressort équivalent de ces deux ressorts en parallèle.
2. Déterminer le ressort équivalent de ces deux ressorts en série.
Exercice no15 : Glissement avec frottement
Un petit parallélépipède, assimilable à un point matérielM de masse m, est lancé depuis le point origineOd’un plan(Oxy)incliné d’un angleαpar rapport à l’horizontale, avec un vecteur vitesse initial~v0dirigé suivant la ligne de plus grande pente(Ox)et vers le haut. La position du pointM à l’instantt est repérée par son abscissex(t). On tient compte des forces de frottement. On rappelle que tant qu’il y a glissement, la composante tangentielle de la force de frottementRT (celle qui s’oppose au mouvement) est proportionnelle à la composante normaleRN de
cette même force, ce que l’on noteRT =f RN où la constante positivef est appelée le coefficient de frottement dynamique. En outre, une fois que le mobile s’arrête, il reste immobile à condition que l’inégalitéRT ≤f RN soit vérifiée.
1. Montrer qu’au début du mouvement, i.e. tant qu’il y a glissement vers le haut, l’accélération x¨ du mobile est du typex¨=−Kg. ExprimerK en fonction deαet f.
2. Quelle distancedle mobile parcourt-il avant que sa vitesse ne s’annule ? 3. À quelle condition sur l’angleαle mobile s’arrête-t-il définitivement ?
Exercice no16 : Coulissement sur une tige en rotation
Une tige τ horizontale passant par O tourne autour de l’axe vertical (Oz)à la vitesse angulaire constanteω. Un point matérielM de massem peut coulisser sans frottement sur la tige. Il est repéré par ses coordonnées polaires (r, θ)dans le plan (Oxy). À l’instantt = 0, le pointM est aban- donné sans vitesse initiale par rapport à la tige à la distancer0de l’origine O. On suppose de plus qu’à ce même instant, la tige est confondue avec l’axe(Ox):θ(t= 0) = 0.
1. Déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par r(t).
2. Déterminer la loi horairer(t)en fonction der0etω. Tracer l’allure de la courber(t)pourt≥0.
3. Donner les expressions des composantes dans la base cylindrique de la réaction de la tige.
Exercice no17 : Le palan
Un palan est constitué de2npoulies et d’un fil disposés comme indiqué sur le schéma ci-contre. Les axes des poulies supérieures sont fixes et ceux des poulies inférieures sont liés à une tige AB qui ne peut se déplacer que verticalement. Les poulies et le fil sont supposés idéaux. Un opérateur exerce une forceF~ sur l’extrémité libre du fil.
Déterminer l’accélération de l’objet soulevé, de massem.
Exercice no18 : Décollement d’une masse
Soit un pointO0 fixe situé au dessus d’une table à coussin d’air horizontale. La projection orthogonale deO0 sur la table est notéeO.
Une massemassimilée à un point matériel est reliée àO0 par un ressort de raideurket de longueur à videl0. La distanceOO0 estl0. La masse peut glisser sans frottement sur la table à coussin d’air.
1. Initialement, la masse est en O. On lui communique une vitesse initiale, V0 (horizontale). Quelle condition doit être vérifiée pour que le ressort puisse décoller la masse du sol. Dans le cas où cette condition est vérifiée, quelle vitesse initiale minimale doit-on lui imposer pour observer ce décollement.
2. Dans le cas de petits déplacements autour de la position d’équilibre (xl0), déterminer l’équation différentielle du mouvement. Exprimer la vitesse de la masse en fonction dex.
Exercice no19 : Pendule dont le fil casse
Un pendule simple - massem, fil de longueurl, inextensible et de masse négligeable - est suspendu en un point fixe O et lâché sans vitesse initiale depuis une position où le fil est horizontal et tendu. Il tourne d’un angleα≥ π2 et casse. Soithla différence d’altitude entre le pointO et le sommet de la trajectoire décrite par la masse après que le fil ait cassé.
1. Donner qualitativement le domaine de variation deh.
2. Déterminerh.
Exercice no20 : Mouvement d’un point sur un cercle
Un point matérielM de masse mpeut coulisser sans frottement sur un cercle de centreOet de rayonR, placé dans un plan vertical(Oxy)où (Oz)est orienté suivant la verticale ascendante. Le pointM est attaché à l’extrémité d’un ressort de longueur à vide l0 = 2R et de constante de raideurk, dont l’autre extrémité est fixée au point A. Un dispositif non représenté impose au ressort de rester constamment rectiligne. La position du pointM est repérée par l’angleθ= (OB, ~~ OM). Le champ de pesanteur est~g=−g~uz.
Données : R= 10cm,m= 100g,k= 10N.m−1,g= 10m.s−2. 1. Déterminer l’expression de la distance AM en fonction deR et deθ.
2. Exprimer l’énergie potentielle totaleEp(θ)du pointM. L’énergie potentielle élastique est prise nulle lorsque le ressort a sa longueur à vide,
l’énergie potentielle de pesanteur est prise nulle lorsque la cotez du pointM est nulle.
3. Représenter à l’aide de la calculatrice le grapheEp(θ), pour0≥θ≥180˚.
4. En déduire la valeur θeq pour laquelle le point M est à l’équilibre sur le cercle. Cet équilibre est-il stable ou instable ?
5. Le point M est abandonné sans vitesse initiale depuis B. Déterminer la valeur θmax de l’angle θ maximal atteint au cours du mouvement ainsi que la valeurvmaxde la vitesse maximale atteinte.
Exercice no21 : Looping
Une petite voiture, assimilable à un point matérielM de massem, est lancée avec une vitesse v0 sur une piste horizontale plane prolongée par un demi-cercle vertical de rayonR. La voiture glisse sans frottement sur le support, qu’elle est susceptible de quitter (la liaison n’est pas bilatérale).
Sa position à l’intérieur du demi-cercle est repérée par l’angleθ(t)formé par le rayonOM avec la verticale descendante (OH).
1. Comment varie la vitesse de la voiture jusqu’au passage au point H?
2. Déterminer l’expression de la norme v de la vitesse de la voiture lorsqu’elle est située dans la piste semi-circulaire à la position repérée par l’angleθ, en fonction dev0,g,Ret θ.
3. Par projection du principe fondamental de la dynamique dans la base polaire (~ur, ~uθ), déterminer l’intensitéN de l’action de contact exercée par la piste semi-circulaire sur la voiture, en supposant le contact maintenu, en fonction dem,v0,R,g etθ. Comment la fonctionN(θ)varie t-elle ?
4. A quelle condition sur la vitesse de lancementv0 la voiture atteindra t-elle le sommet de la piste sans que le contact avec celle-ci soit rompu ?
Exercice no22 : Équilibre et stabilité d’un point matériel
Un point matériel M de masse mest attaché à l’extrémité d’un ressort de constante de raideurket de longueur à videl0, dont l’autre extrémité est fixée en un pointAsitué sur un axe vertical ascendant(Oz). La distance entre le pointA et le point O est OA=a. Le point matérielM est assujetti à se déplacer suivant l’axe horizontal(Ox), il coulisse sur cet axe sans frottement ; il est repéré par son abscissexsur cet axe.
1. Exprimer l’énergie potentielleEp totale du point M, en fonction du paramètrexet des données.
2. À partir du tableau de variation, en déduire le graphe représentatif de la fonctionEp(x). On distinguera les casa > l0 eta < l0.
3. En déduire l’existence et la nature des positions d’équilibre du pointM. Exercice no23 : Trois méthodes pour un même mouvement
Un point matérielM de masse mest assujetti à glisser sans frottement sur un cerceau vertical de rayonR et de centre O. Il est lié au pointA par un ressort de raideur k et de longueur au repos nulle.
1. Établir l’équation du mouvement du mobile en utilisant successivement les trois méthodes suivantes :
• la relation fondamentale de la dynamique,
• le bilan énergétique,
• le théorème du moment cinétique.
2. Discuter l’existence de positions d’équilibre, leur stabilité, et dans l’affirmative, la période des petites oscilla -tions au voisinage de l’équilibre.
Exercice no24 : Théorème du moment cinétique appliqué en un point mobile Prenons un pendule simple, de massemet de longueur
L, et imposons de petites oscillations horizontales à son extrémité :xA=x0sin(ωt).
1. Pour utiliser le théorème du moment cinétique, pourquoi vaut-il mieux l’appliquer au point mobileAplu- tôt qu’au point fixe O? Reprendre la démonstration du théorème pour exprimer la dérivée : d~LdtA.
2. Établir l’équation du mouvement du pendule simple effectuant de petites oscillations.
3. Quel est son mouvement lorsqu’un régime sinusoï- dal permanent s’est établi.
4. Quelle est la pulsation ω0 au voisinage de laquelle nos hypothèses d’étude sont à reprendre ? Que dire des mouvements du point A et du mobile selon que ω < ω0
ouω > ω0?
Exercice no25 : Décroissance de l’énergie mécanique (cours)
Un système oscillant est constitué par une masse supposée ponctuellemattachée à l’extré- mité d’un ressort horizontal dont l’autre extré-
mité est fixée au pointO. La massempeut glisser sans frottement sur un support horizontal. L’action de l’air sur la masse est modélisée par une force de frottement fluide de la forme :f~=−h~vavechun coefficient positif et~v le vecteur vitesse de la masse ponctuellem. On notekla constante de raideur du ressort,l0 sa longueur à vide etX(t)la distance séparant le pointO fixe et la massem.
1. Établir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par le déplacement x(t) =X(t)−Xeq de la massempar rapport à sa position d’équilibreXeq. La mettre sous la forme :
¨ x+ω0
Qx˙ +ω20x= 0 en identifiantQetω0.
2. Donner l’équation caractéristique de l’équation différentielle précédente et rappeler les différents ré- gimes d’évolution possibles selon les valeurs deQ.
3. On pose α = 2Qω0. Montrer que, dans le cas du régime pseudo-périodique, la solution de l’équation différentielle précédente peut se mettre sous la formex(t) =Ce−αtcos(ωt+φ). Exprimerω,Cetφen fonction deω0,αet des conditions initiales x(t= 0) =x0 etx(t˙ = 0) =v0.
4. Exprimer la pseudo-période en fonction de ω0 etQ.
5. On définit le décrément logarithmique parδ= ln x(t+T)x(t)
. Donner son expression en fonction deQ.
6. Entre deux élongations maximales successives x(t0) et x(t0+T) l’énergie mécanique passe deEm à Em+ ∆Em. Exprimer∆Em/Emen fonction deδpuis en fonction deQdans le cas d’un oscillateur faiblement amorti.
7. Toujours dans le cas de faibles amortissements, combien faut-il de pseudo-périodes environ pour que l’amplitude reste en permanence inférieure à5%de l’amplitude initiale ? Pour simplifier on se placera dans le cas oùv0= 0.
Exercice no26 : Mouvement newtonien (cours)
SoitM un point matériel soumis à un champ de force centralF~ de centreO.
1. Montrer que le mouvement deM est contenu dans un plan contenantO.
2. Établir la loi des aires.
On se place dans le cas d’un champ newtonien :F~ =−α~er/r2.
3. Montrer que ce champ de force est conservatif et exprimer l’énergie potentielle associée en la prenant nulle infiniment loin deO.
4. Retrouver l’expression de l’énergie potentielle effective et utiliser cette dernière pour indiquer les valeurs que peut prendrer.
5. Montrer, en multipliant vectoriellement la relation fondamentale de la dynamique par le moment cinétique, que le vecteur :
A~ =~v×L~0
α −~er
dit vecteur de Runge-Lenz, est une constante du mouvement.
6. Exprimer les composantes deA~ dans la base polaire. En déduire que la trajectoire du pointM est une conique dont l’excentricité est||A||. Donner l’expression du paramètre de cette conique en fonction de~ m,αet la constante des airesC.
7. Développer l’expression du carré de la norme deA. En déduire une relation entre l’excentricité~ e de la conique et l’énergie mécaniqueEmdeM.
8. Retrouver la loi de Képler dans le cas de l’orbite circulaire.
9. Donner les expressions de la 1re et de la 2e vitesse cosmique. Faire l’application numérique avec g= 9,8 m.s−2(accélération de la pesanteur) etRT = 6400km(rayon de la Terre).
Exercice no27 : Orbite de Hohman
On désire transférer un satellite terrestre en attente sur une orbite cir- culaire "basse" de rayonr1 = 6700 km vers une orbite circulaire "haute" de rayon r2 = 42000 km. On communique pour cela en un point quelconque P de l’orbite basse un supplément de vitesse orthoradiale ∆vP en allumant les moteurs pendant une durée très brève. Le satellite décrit une orbite de trans- fert elliptique - dite orbite de Hohman - qui se raccorde tangentiellement en un pointAà l’orbite haute. Au pointA, un nouvel allumage des moteurs pendant une durée très brève permet de stabiliser le satellite sur son orbite haute en communiquant une variation∆vA à la vitesse orthoradiale.
Données : G= 6,67.10−11N.m2.kg−2,MT = 6.1024 kg.
1. Exprimer en fonction der1et der2l’excentricité de l’ellipse de trans- fert.
2. Exprimer les vitessesv1etv2du satellite sur les orbites circulaires de rayons respectifsr1etr2. Calculer v1 etv2.
3. Déterminer l’expression des vitesses vP et vA du satellite sur l’ellipse de transfert respectivement au pointP (juste après l’extinction des moteurs) etA (juste avant le rallumage des moteurs). Les calculer.
Indication : dans une ellipse on a, avec les notations habituelles : a= p
1−e2 et b= p
√ 1−e2 4. En déduire les accroissements de vitesse orthoradiale ∆vP et ∆vA.
Exercice no28 : Comète de 1843
En 1843, une comète est passée extrêmement près du Soleil, de masseMS : sa distance au périhélie était d= 6,1.10−3a0 oùa0 est la rayon de l’orbite terrestre. Des mesures précises ont montré que l’excentricité de la comète étaite= 1−xavecx= 9,4.10−5.
Données : u= 30km.s−1 vitesse de révolution de la Terre autour du soleil.
1. Exprimer le produitGMS en fonction deueta0.
2. En considérant que la trajectoire de la comète est quasi-parabolique, calculer sa vitesse de passagevP
au périhélie.Indication :dans une ellipse on a, avec les notations habituelles : a= p
1−e2 et b= p
√ 1−e2
3. Exprimer le demi-grand axe a de la trajectoire de la comète, en fonction de d et x. Calculer a en fonction dea0.
4. En déduire la vitessevAde passage à l’aphélie en fonction devP et x. Faire l’application numérique.
5. En quelle année cette comète reviendra-t-elle dans le système solaire ?
Exercice no29 : Dynamique dans le référentiel géocentrique (cours)
Soit un point matériel M de massemdont on étudie le mouvement dans le référentiel géocentriqueR0. 1. Rappeler les définitions des référentiels de CopernicRC, de KéplerRK et géocentriqueR0.
2. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique àM dans le référentiel géocentrique non galiléen.
Faire apparaître les termes de marée des différents astres définis par :
~
γastre(M) =G~astre(M)−G~astre(O) oùG~astre est le champ de gravitation de l’astre considéré.
3. Proposer alors une explication aux phénomènes de marée en considérant uniquement l’influence de la lune.
Exercice no30 : Dynamique dans le référentiel terrestre (cours)
Soit un point matériel M de massem dont on étudie le mouvement dans le référentiel terrestre RT. On note~ωT le vecteur rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique.
1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à M dans le référentiel terrestre non galiléen.
Remarques : le référentiel galiléen de base à considérer est le référentiel de Copernic et les expressions des accélérations d’entraînement et de Coriolis doivent être explicitées.
2. Rappeler la définition du poids deM et donner l’expression du champ de pesanteur en négligeant les termes de marée. Réécrire la relation fondamentale de la dynamique en introduisant le poids deM.
3. Soitαl’angle formé par le poids deM et le champ de gravitation de la Terre. Déterminerαen fonction deλ(la latitude),RT (le rayon de la Terre),ωT et g l’intensité de la pesanteur.
4. Faire l’application numérique pourλ= 45˚ etg= 9,81m.s−2. On rappelle queRT = 6370km.
Exercice no31 : Oscillations dans un référentiel en rotation Un point matérielM de massem peut coulisser sans frottement sur une tige τ, d’extrémité O, contenue dans le plan (Oxy) et tournant au- tour de l’axe vertical(Oz)à la vitesse angulaire constanteω. De plus, le pointM est attaché à l’extrémité d’un ressort de longueur à videl0 et de constante de raideurk, enfilé sur la tigeτ, dont l’autre extrémité est fixée enO. La position du pointM est repérée par son abscisse X(t) mesurée sur la tige par rapport au pointO. On poseω0=mk.
1. Faire le bilan des forces exercées sur le pointM dans le référentiel lié à la tige.
2. Montrer qu’il existe une position d’équilibre Xeq du pointM sur la tige, sous réserve d’une condition portant surω à expliciter.
3. En posantX(t) =Xeq+x(t), déterminer l’équation différentielle vérifiée parx(t).
4. En déduire la pulsationω0 des oscillations du pointM autour de sa position d’équilibre. Que peut-on dire de la période des oscillations par rapport au cas où la tige est immobile ?
Exercice no32 : Système de deux points matériels (cours)
Soient deux points matérielsM1etM2de masses respectivesm1etm2et repérés par leur vecteur position
~r1=−−→
OM1 et~r2=−−→
OM2. On posera~r=−−−−→
M1M2.
1. Déterminer la position ~rG de leur barycentreG. Exprimer, à l’aide de~r, les positions relatives~r∗1 =
−−−→GM1 et~r∗2=−−−→
GM2 deM1 et M2 respectivement.
2. On suppose que M1 (resp. M2) est soumis à la force extérieure F~ext→1 (resp. F~ext→2) et à la force intérieuref~2→1 (resp.f~1→2). Établir le théorème du centre de masse.
3. On suppose dans cette question que le système constitué des deux points matériels est isolé. Introduire la notion de mobile réduit pour décrire le mouvement des deux points matériels dans le référentiel barycentrique.
Exercice no33 : Binaires
On considère deux étoilesE1etE2, assimilées à des points matériels de masses respectives m1 et m2, en interaction gravitationnelle et telles que le système S = {E1, E2} soit isolé. Dans leur référentiel barycentrique R∗, on suppose que ces deux étoiles décrivent des orbites circulaires de rayonsr1 etr2. On pose D=r1+r2. La constante gravitationnelle estG= 6,67.10−11 N.m2.kg−2.
1. Pourquoi les deux étoiles ont-elles nécessairement la même période de révolutionT?
2. Montrer que rr1
2 = mm2
1. 3. Établir la relation :
T2
D3 = 4π2 G(m1+m2)
4. Deux étoiles α et β décrivent des orbites circulaires de rayon r1 = 1,00.109 km et r2 = 5,0.108 km avec une période de orbitale T = 44,5 années terrestres. Calculer leurs massesm1 etm2.
Exercice no34 : Comète SHOEMAKER-LEVY 9
La comète de SHOEMAKER-LEVY 9 est passée en juillet 1992 suffisamment près de Jupiter pour se fragmenter et éclater en morceaux à cause des forces de marée de Jupiter. Les différents morceaux de la comète se sont finalement écrasés sur Jupiter en juillet 1994 et cette collision a été suivie en détail et en direct par les astronomes du monde entier. Le but de cet exercice est de comprendre, à l’aide d’un modèle simple, l’origine de la fragmentation.
On supposera que le référentiel JupiterocentriqueRJ est galiléen et on négligera dans tout le problème les effets dus au Soleil dans ce référentiel. Jupiter est supposée sphérique et homogène.
Données numériques :rayon de Jupiter :RJ = 71400km, masse de Jupiter :MJ= 1,91.1027kg, constante de gravitation :G= 6,67.10−11 N.m2.kg−2, masse volumique de la glace :µC= 1,00.103 kg.m−3.
On cherche à déterminer la distance en dessous de laquelle un corps (ici la comète) s’approchant de Jupiter se séparerait en plusieurs morceaux sous l’effet des forces de marée dues à Jupiter. Pour cela, on fait les deux hypothèses suivantes :
• La comète de masse volumique µC est en orbite circulaire de rayonrautour de Jupiter.
• La comète est constituée de deux sphères iden- tiques de massem et de rayon d, homogènes et disposées comme indiqué sur la figure ci- contre. Les deux sphères (1) et (2) ne sont liées entre elles que par leur attraction gravi- tationnelle mutuelle. On suppose que la dis- position des sphères reste inchangée au cours de la rotation de la comète, leurs centres étant toujours alignés avec le centre de Jupiter.
On définit enfin le référentiel R0 en rotation avec la comète autour de Jupiter ainsi que la base polaire (~ur, ~uθ)liée à ce référentiel.
1. En appliquant le théorème du centre de masse à la comète en mouvement dans le référentiel Jupitero- centrique , exprimer la vitesseωde rotation de la comète autour de Jupiter. En utilisant le fait que dr, en déduire la relation :
ω2'GMJ
r3 2. Le référentielR0 est-il galiléen ? Justifier.
3. Faire le bilan complet des forces exercées sur la partie (1) de la comète dans le référentiel R0, dans le cas où le contact entre les deux sphères est maintenu, en distinguant les forces intérieures et les forces extérieures.
4. En traduisant l’équilibre de la sphère (1) dans le référentiel R0, montrer que l’action de contactN1
exercée par la sphère (2) s’écrit de manière approchée : N1= GMJm
r2
m 4MJ
1 2 −3 où=dr 1.
5. En déduire que le contact entre les deux sphères est rompu lorsque la distance rdevient inférieure à rlim (rlimest appelée limite de Roche). Exprimer rRlim
J en fonction deµJ etµC. Faire l’application numérique.
6. En réalité, les observations ont montré que la fragmentation de la comète s’est produite lorsque celle-ci est arrivée à une distancer0= 1,5RJ de Jupiter. Proposer une explication.
