I Fonctions continues intégrables à valeurs positives

(1)

Sommaire

[ MPSI – MATHEMATIQUES 3 ]...1

SOMMAIRE...1

ISOMETRIES EN DIMENSION 1,2,3...2

15 – INTEGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE...3

IFONCTIONS CONTINUES INTEGRABLES A VALEURS POSITIVES...3

IIOPERATIONS, METHODES DE CALCUL...3

IIICRITERES D'INTEGRABILITE...4

IVFONCTIONS A VALEURS COMPLEXES...4

16 – MATRICES...5

IMATRICE D'UNE APPLICATION LINEAIRE...5

IIOPERATIONS SUR LES MATRICES...5

IIIMATRICES CARREES...6

IVMATRICES CARREES INVERSIBLES ET CHANGEMENT DE BASES...7

17 – DETERMINANTS ...9

IGROUPES SYMETRIQUES...9

IIFORMES MULTILINEAIRES SUR UN ESPACE VECTORIEL...9

IIIDETERMINANT D'UN SYSTEME DE N VECTEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION N... 10

IVCALCULS DE DETERMINANTS... 11

18 – SYSTEMES LINEAIRES ... 12

IDEFINITIONS... 12

IIINTERPRETATIONS D'UN SYSTEME LINEAIRE... 12

IISYSTEME HOMOGENE... 12

IVSYSTEME DE CRAMER... 12

IVCAS GENERAL D'UN SYSTEME DE N EQUATIONS A P INCONNUES... 13

VMETHODE DU PIVOT DE GAUSS... 13

19 – ESPACES EUCLIDIENS... 14

IPRODUIT SCALAIRE... 14

IIESPACE EUCLIDIEN... 15

IIIGROUPE ORTHOGONAL D'UN ESPACE EUCLIDIEN... 16

20 – ESPACES AFFINES ... 19

ISTRUCTURE AFFINE... 19

IIVARIETES AFFINES... 20

IIIAPPLICATIONS AFFINES... 21

IVBARYCENTRES... 22

VCONVEXITE... 23

21 – GEOMETRIE EUCLIDIENNE... 25

IORTHOGONALITE ET DISTANCE... 25

IIPLAN AFFINE EUCLIDIEN ORIENTE... 25

IIIESPACE AFFINE EUCLIDIEN ORIENTE DE DIMENSION 3... 26

IVISOMETRIES AFFINES... 27

VCONIQUES... 28

22 – ESPACES VECTORIELS NORMES... 30

IESPACE ² ... 30

IIFONCTIONS D'UNE VARIABLE REELLE A VALEURS DANS ^N... 31

(2)

IIILIMITE ET CONTINUITE D'UNE FONCTION DE ² DANS ... 31

IVCALCUL DIFFERENTIEL... 32

23 – COURBES DU PLAN ... 35

IREPRESENTATIONS CARTESIENNES D'UNE COURBE PLANE... 35

IIARC... 35

IIIETUDE D'UNE COURBE PLANE EN COORDONNEES CARTESIENNES... 36

IVCOURBES ALGEBRIQUES... 37

VCOURBES EN COORDONNEES POLAIRES... 37

VPROPRIETES METRIQUES... 39

24 – INTEGRALE DOUBLE OU TRIPLE... 41

IINTEGRALE D'UNE FONCTION EN ESCALIER... 41

IIINTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX... 41

IIICHANGEMENT DE VARIABLE... 41

IVINTEGRALE TRIPLE... 41

Isométries en dimension 1, 2, 3

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I Fonctions continues intégrables à valeurs positives

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II Opérations, méthodes de calcul ,,#$#"&

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III Critères d'intégrabilité K"&)$#"&', !-7-!&) ' K"&)$#"&', !-7-!&) ' K"&)$#"&', !-7-!&) ' K"&)$#"&', !-7-!&) '

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IV Fonctions à valeurs complexes

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(5)

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I Matrice d'une application linéaire

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IV Matrices carrées inversibles et changement de bases

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(9)

X 5 5

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I Groupes symétriques (( % '

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II Formes multilinéaires sur un espace vectoriel

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K"!* '( % % % % #&- #! ''1! #&- #! ''1! #&- #! ''1! #&- #! ''1!

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∀ 1 4 41( ∈ ⁽4∀#∈ (471 4 4 1#4 41( D 71 4 41(

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(10)

X 5 5

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III Déterminant d'un système de n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n '( ) + )$"!# %

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σ

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λ

σ

Sn (1),1 (2),2

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Λ

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(11)

X 5 5

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1 1 0 1

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IV Calculs de déterminants

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β γ

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α α

γ

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(12)

[ S <5

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I Définitions

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#E+ )$ 1! , % #^I* )"%"&& , ')" 77#)# &$'∈K ^& N E+ )$ 1! )"%"&& ^&,* *C! ∈K ^&D β 4 4β&

II Interprétations d'un système linéaire

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II Système homogène -7#&#$#"&

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IV Système de Cramer -7#&#$#"&'

-7#&#$#"&' -7#&#$#"&' -7#&#$#"&'

& ':'$I* , ! * ! '$ 1& ':'$I* , & -=1 $#"&'0 & #&)"&&1 '4,"&$ % * $!#) '$ #&+ !'#C%

3#'$ &) , '"% 1$#"&' 3#'$ &) , '"% 1$#"&' 3#'$ &) , '"% 1$#"&' 3#'$ &) , '"% 1$#"&'

& ':'$I* , ! * ! ,* $ 1& '"%1$#"& 1&#=1 , *" + )%' #&$ !(!-$ $#"&'

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K"!*1%', ! * ! E & &"$ &$∆BD ,-$ 4 4B 4N4B> 4 4& 4 $∆D ,-$ 4 4&4

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(13)

[ S <5

IV Cas général d'un système de n équations à p inconnues

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V Méthode du Pivot de Gauss

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I Fonctions continues intégrables à valeurs positives

Sommaire

Isométries en dimension 1, 2, 3

I Fonctions continues intégrables à valeurs positives

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II Opérations, méthodes de calcul ,,#$#"&

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III Critères d'intégrabilité K"&)$#"&', !-7-!&) ' K"&)$#"&', !-7-!&) ' K"&)$#"&', !-7-!&) ' K"&)$#"&', !-7-!&) '

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IV Fonctions à valeurs complexes

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I Matrice d'une application linéaire

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II Opérations sur les matrices

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III Matrices carrées

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