Université Paris Sud Année 2016–2017
L2/S3 M261 PMCP Algèbre Linéaire II
TD n
◦III
Exercice A : En réfléchissant pour éviter les calculs, déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables ? inversibles ?
A :=
1 1 0 5
, B :=
1 5 0 1
, C :=
1 4 5 0 2 6 0 0 7
, D :=
1 0 0 1 1 0 1 0 1
, E :=
1 1 0 1 1 0 0 0 2
.
Exercice B : Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables surR?surC?Le cas échéant, les diagonaliser.
A :=
0 1
−1 0
, B :=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
, C :=
5 6 −3
−1 0 1 1 2 −1
,
D :=
3 1 0
−4 −1 0 4 8 −2
, E :=
0 0 0 0 1 0 0 −a 0 1 0 1 0 0 1 a
.
Exercice C : Soientn∈N, a∈R,etf : R2n[X] → R[X]définie par : f(P) := (X2−1)P′−2(nX+a)P .
1) Montrer quefest un endomorphisme deR2n[X].
2) a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def.
b) L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
3) Déduire de ce qui précède que pour toutP ∈R2n[X],il existe(2n+ 1)nombres ré els uniquement déterminés, (α−n, . . . , αn)
tels que
P =
n
X
k=−n
αk(X+ 1)n−k(X−1)n+k.
Exercice D : 1) Soient(e1, e2, e3)la base canonique deR3 etf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans cette base est la matriceAsuivante :
A :=
0 1 0 0 0 1 2 −5 4
.
a) Déterminer le polynôme cara ctéristique, les valeurs propres et les espaces propres def.
1
b) L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
2) On poseǫ1=e1+e2+e3.
a) Montrer qu’il existe un vecteurǫ2tel quef(ǫ2) =ǫ2+ǫ1.
b) Déterminer une matrice inversibleP telle queP−1AP soit égale à la matriceBsuivante :
B :=
1 1 0 0 1 0 0 0 2
.
3) CalculerBnpour toutn >0,et en déduireAn.
Exercice E : Pour toute valeur du nombre réela,on désigne parfal’endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique est la matriceMasuivante :
Ma :=
a+ 1 a a+ 1 0
−1 0 −a−1 0 0 0 a2+a−1 a−1 0 0 1−a2 1
.
1) Calculer le polynôme caractéristiquePadefa(on pourra utiliser les calculs de déterminant par blocs).
2) a) Montrer que, pour tout nombre réela,le polynômePaadmetacomme racine de multiplicité au moins 2.
b) On désigne parEal’espace propre associé. Déterminer, en fonction dea,la dimension deEa.
3) Pour quelles valeurs dea,l’endomorphismefaest-il diagonalisable ?
Exercice F : SoientK = RouC, n∈N∗ etEunK-espace vectoriel de dimensionn.
1) Soituun endomorphisme deEvérifiant
(u−aId) ◦ (u−bId) = 0 aetbétant deux scalaires distincts.
a) Montrer queIm (u−bId) ⊂ Ker (u−aId),puis queE = Ker (u−aId) ⊕ Ker (u−bId).
b) En déduire queuest diagonalisable.
2) On suppose queK = C.Soituun endomorphisme deEtel queu2est diagonalisable.
a) Montrer queustabilise les espaces propres deu2.
b) Montrer que siuest inversible, alorsuest diagonalisable.
2
3) Déterminer toutes les matrices réellesB telles que
B2 =
1 0 0 2 3 0 1 2 4
.
4) Déterminer toutes les matrices réellesB telles que
B2 =
0 0 0 1 1 0 1 0 4
.
5) Donner un exemple de matriceB ∈ M3(R)non diagonalisable et telle queB2 soit diagonalisable.
Exercice G : Soientn≥2, A∈ Mn(R)etfl’endomorphisme deRndont la matrice dans la base canonique estA.
1) Montrer qu’il existe un polynôme non nul deR[X]tel queP(A) = 0.
2) Montrer que siP(0)est différent de0,alorsAest inversible.
3) On suppose queP(X) =XkQ(X)avecQ(0)6= 0.
Montrer queAest inversible si, et seulement si,Q(A) = 0.
4) On suppose que0est racine simple deP.
Montrer que
Kerf = Kerf2etE = Kerf ⊕ Imf .
Exercice H : SoientE un espace vectoriel réel de dimensionnetf un endomorphisme deE vérifiantf2+ Id = 0.
1) Montrer quenest pair.
2) Généraliser au cas où
f2+af +bId = 0, (a, b) ∈ R2, a2−4b < 0.
Exercice I : SoientA∈ M3(R)vérifiant
(A−I)(A−2I)2 = 0. 1) Que peut-on dire des valeurs propres deA?
2) Montrer queAest inversible.
On suppose désormais que1et valeur propre deAet on noteE1le sous-espace propre associé.
3) Montrer que sidimE1 ≥ 2,alorsAest diagonalisable (on pourra distinguer 2 cas, suivant que2est ou n’est pas valeur propre deA.)
4) On suppose queAn’est pas diagonalisable et on poseG := Ker (A−2I)2. a) Quelle est la dimension deG?
b) Quel est le rang deA−2I ?
c) Montrer qu’il existeP ∈GL3(R)telle que P AP−1 =
1 0 0 0 2 1 0 0 2
.
3
