(1)Université de Rouen L2 SPS Année 2016-2017 Mathématiques

Université de Rouen L2 SPS

Année 2016-2017

Mathématiques. Contrôle continu n^◦1 Durée 1h30

L’usage de tout document autre que le formulaire est interdit.

Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.

Exercice 1. Calculer cos5π

12 en fonction dep 2 etp

3. (on pourra remarquer que 5

12=1−(1 3+1

4) et utiliser le formulaire sur les fonctions trigonométriques).

Exercice 2. Exprimer sous forme algébrique les deux nombres complexes suivants (4+3i)(1+2i)

(2−3i)(3+2i); ¡p 3+i¢4

.

Exercice 3. À l’aide des formules d’Euler, linéariser l’expression cos²(2x) sin²(4x).

Exercice 4. Calculer les trois limites suivantes

x→+∞lim

px²−3x+1−p

x²+x; lim

x→0

ln(1+x²)

x² ; lim

x→+∞

x²+exp(3x)+x³ x¹⁰+ln(x)+3 exp(x).

Exercice 5. Sans se préoccuper des ensembles de définition dériver les fonctions ln(1+x²)

4+cos(2x); exp(x)+2 px³+2 .

Exercice 6. On considère un modèle simplifié de l’évolution du taux d’alcool dans le sang et dans l’estomac : après ingestion d’alcool, l’alcool diffuse dans le sang et est éliminé (progressivement) par les reins. On se place dans la situation où tout l’alcool a été bu en une fois par un individu initialement à jeun. On note f(t) le taux d’alcool dans l’estomac etg(t) le taux d’alcool dans le sang à l’instantt, on suppose que f etg sont données par

f(t)=1

6(exp(−10t)+5 exp(−4t)); g(t)=1

6(−exp(−10t)+exp(−4t))

(a) Quelle est le taux d’alcool dans le sang àt =0 ? Quel est le taux d’alcool dans l’estomac à t =0 ? Ces deux valeurs correspondent-elles à la situation (idéale) initiale de l’individu ?

(b) Calculerf⁰. Étudier f sur [0,+∞[, montrer que f est strictement décroissante et calculer limt→+∞f(t).

(c) Calculerg⁰. Étudierg sur [0,+∞[, montrer quegatteint un maximum en un tempst₀>0 à déterminer et calculer lim_t→+∞g(t).

(d) On considère h(t)= f(t)+g(t). Calculer h⁰ et calculer limt→+∞(g(t)+f(t)). Par rapport au modèle quelle est la signification dehet de son comportement ?

Exercice 7. Calculer les intégrales suivantes Z 4

2

(1

x+x²+x^3/2+2)d x;

Z _π

π/2

¡sin(4x)+(cos(x)+sin(x))²¢ d x.

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