Université de Rouen L2 SPS
Année 2015-2016
Mathématiques. Examen 5 janvier 2016 Durée 2h
Exercice 1. Calculer les limites suivantes
xlim→0
p1+x−p 1−x
x ; lim
x→0
exp(x+x2)−1
x ; lim
x→+∞
(ln(x))2016 px .
Exercice 2. En utilisant la formule d’intégration par parties calculer Z 4
2
x2ln(2x)d x, Z 2
0
(x+1) exp(3x)d x. Exercice 3. Calculer (sans se préoccuper du domaine de définition) les fonctions
f1(x)=cos(exp(x2)); f2(x)= ln(x) x4+1. Exercice 4. Soit la fonction f(x)=1
2
¡exp(x)−exp(−x)¢
, définie surR.
-i- Calculer f0et déterminer le signe de f0(x) pourx∈R.
-ii- Calculer limx→−∞f(x) et limx→+∞f(x).
-iii- Montrer que f est une bijection deRsurR. -iv- Montrer que f(x)=y si et seulement six=ln¡
y+p y2+1¢
. -v- On poseg(x)=ln¡
y+p y2+1¢
, définie surR. Calculerg0(x) et simplifier suffisamment l’expression de g0pour aboutir à une expression simple du type
g0(x)= 1
expression enx.
Exercice 5. Soit la matrice A=
1 1 1
1 2 −1
0 0 0
. CalculerA2etA3etA−3A2+A3. Exercice 6. Soient la matrice Aet le vecteurbdéfinis par
A=
−2 3 3 3
3 2 3 −1
−2 1 3 1
3 −1 −1 −2
b=
1
−2
−3 0
Résoudre le système linéaireAx=b.
Exercice 7. Inverser par la méthode de Gauss-Jordan la matrice
A=
1 1 −1
2 0 1
2 1 −5/2
.
1
