D1914. Une droite et son pivot
Un cercle (Γ) de centre O est tangent intérieurement à un cercle (Γ’) de centre O’. La tangente en un point M de (Γ) coupe le cercle (Γ’) en deux points distincts A et B. Les perpendiculaires en A et B à la corde AB rencontrent respectivement les droites OB et OA en P et Q. Démontrer que lorsque le point M parcourt le cercle (Γ), la droite PQ pivote autour d’un point fixe.
Origine en M, A(a,0), B(b,0). Rayon de (Γ) supposé égal à 1.
Droite AO : y= 1 – x/a. Point Q (b, 1 – b/a) . De même point P (a, 1 – a/b).
On vérifie que l'équation de la droite PQ est : y = 2 – x(a+b)/(ab).
Cercle (Γ) : x²+y² – 2y = 0.
Étude de (droite PQ)∩(Γ) : x² + (2 – x(a+b)/(ab))² -2(2 – x(a+b)/(ab)) = 0.
Cette équation admet deux solutions : x=0 et x= 2ab(a+b) / ((a+b)² + a²b²).
(droite PQ)∩(Γ) comprend le point (0,2) et un point S d'abscisse 2ab(a+b) / ((a+b)² + a²b²) et d'ordonnée y = 2 – x(a+b)/(ab) = 2a²b² / ((a+b)² + a²b²).
La tangente commune à (Γ) et (Γ ') coupe AB en un point H, d'abscisse h, tel que HA.HB = HM² (a-h)(b-h) = h², d'où h = (ab)/(a+b).
Le cercle (H), de centre H orthogonal à (Γ) a pour équation : x²+y² – 2 hx = 0 . Ses deux points d'intersection M et T avec (Γ) sont sur la droite y = hx .
Leurs abscisses vérifient x² +(hx)² – 2hx = 0, donc x=0 pour M, et x = (2h) / (1+h²) pour T.
Abscisse de T : 2h/(1+h²) = 2ab(a+b) / ((a+b)² + a²b²).
L'ordonnée de T est y = hx = 2h² / (1+h²) = 2a²b² / ((a+b)² + a²b²).
Les deux points S et T de (Γ) ont les mêmes coordonnées, ils sont donc confondus.
La droite PQ passe par le point de contact T des cercles (Γ) et (Γ ').
