D1914. Une droite et son pivot
Un cercle (Γ) de centreOest tangent int´erieurement `a un cercle (Γ0) de centre O0. La tangente en un point M de (Γ) coupe le cercle (Γ0) en deux points distincts A et B. Les perpendiculaires enA et B `a la cordeAB rencontrent respectivement les droites OB et OA en P et Q. D´emontrer que lorsque le point M parcourt le cercle (Γ), la droite P Qpivote autour d’un point fixe.
Soient C le point de contact des 2 cercles. La perpendiculaire en C `a M C coupeAB enR,AP enP0 etAQenQ0.
L’homoth´etie de centreC et de rapport CO0
CO transformeΓ2 enΓ1 et AB en A0B0 dont la m´ediatrice est OM. Donc les arcs M A0 et M B0 sur Γ1 sont
´ egaux :
CM et CR sont les bissectrices de ACB, et\ (A, B, M, R)forment une di- vision harmonique, de mˆeme que (P0, Q0, M0, R) par suite du parall´elisme AP0/BQ0/M M0.
Il en r´esulte que AQ0 et BP0 se coupent enX sur la droite conjugu´ee de R par rapport `aAP0 etBQ0, c’est-`a-dire surM M0. Les homoth´eties de centre Aet P0 entreBQ0 etXM / XM0 montrent queX est enO.
Si P0 est confondu avecP, alorsQ0 est confondu avecQ
⇒ C est donc le point cherch´e.
1