D1914 Une droite et son pivot Préalables

D1914 Une droite et son pivot

Préalables

I)

Soit S le point de contact entre les deux cercles  et ‘ .

Menons de S la perpendiculaire (SW) à (MS) coupant (AB) en W.

(SW) coupe le cercle en R diamétralement opposé à M car le triangle (MSR) est rectangle en S.

Nous allons démontrer que cette droite (RS) est confondue avec la droite (PQ) définie dans l’énoncé.

II) Montrons que [MS) est bissectrice de l’angle BSA et que W et M divisent harmoniquement [AB].

Si r est le rayon de et R le rayon de '’.

SO/SO’ = r/R = OM/ON ; S, M et N alignés ;

Donc (OM) //(O’N).

(OM) est perpendiculaire [AB] donc (O’N) est perpendiculaire à la corde [AB] de ’ . N est donc le milieu de l’arc AB ;

Il s’ensuit que [SM) est la bissectrice de l’angle (ASB) interceptant l’arc AB dans le cercle

’ . Enfin

(SW), perpendiculaire en S à (MS), est bissectrice extérieure de l’angle (ASB).

Ainsi W et M divisent harmoniquement [AB] :

WB/WA = MB/MA.

Le problème

Traçons les perpendiculaires en B et A à (AB) et travaillons avec le trapèze (ABQ’P’) : Q’ et P’ étant les intersections respectives des perpendiculaires précédentes avec la droite (RS).

Nous allons montrer que ces points P’ et Q’ sont bien les points P et Q de l’énoncé du problème.

Traçons la droite (WO) passant par O centre du cercle .

Comme

(BQ’) //(MR) //(AP’), et O milieu de [RS]

le théorème de Thalès permet d’affirmer que (WO) coupe les côtés parallèles du trapèze en leurs milieux I et J.

Le théorème du trapèze implique que (WO) passe par l’intersection K des diagonales du trapèze : (BP’) et (Q’A).

Montrons que ce point d’intersection des diagonales, K ne peut être que O

Supposons que ce soit K différent de O.

Nous savons avec le théorème du trapèze que W et K divisent harmoniquement [I J]. (*) W, I, J étant connus, le quatrième point de la division harmonique est unique.

(BI) // (MO) //(AJ)

Avec le théorème de Thalès on a WB/WA=WI/WJ

et

MB/MA=OI/OJ.

On voit que W et O divisent harmoniquement [I J].

Avec (*) on déduit que K est confondu avec O.

Et les diagonales (BP’) et (AQ’) du trapèze (ABQ’P’) sont portées par (BO) et (AO).

Cela signifie que le trapèze (ABQ’P’) est confondu avec le trapèze ABQP défini dans l’énoncé.

Le côté oblique [QP] est porté par la droite (RS).

Le point S est fixe.

La droite (QP) passe toujours par le point fixe S.