3x−y = 1 la droite de l’énoncé et (Γ

5.15

ϕ

A B

C

d t_B

On appelle (d) : 3x−y = 1 la droite de l’énoncé et (Γ) : (x−2)²+y² = 5 le cercle de l’énoncé.

Position relative de la droite d et du cercle Γ.

δ(C ;d) =

3·2−0−1

p3²+ (−1)² = |5|

√10 = 5√ 10 10 =

√10

2 ≈1,58<√

5≈2,24

La droite d et le cercle Γ se coupent donc bel et bien.

Calcul des points d’intersection d∩Γ 3x−y= 1

(x−2)²+y² = 5

L’équation de la droite d donney= 3x−1 que l’on remplace dans l’équation du cercle Γ :

(x−2)²+ (3x−1)² = 5

x²−4x+ 4 + 9x²−6x+ 1−5 = 0 10x²−10x= 0

10x(x−1) = 0

On obtient ainsi les deux points d’intersection :

1) x= 0 impliquey = 3·0−1 =−1, d’où A(0 ;−1) . 2) x= 1 fournit y= 3·1−1 = 2, d’où suit B(1 ; 2) . Calcul de la tangente au cercle Γ au point B (1−2) (x−2) + 2y= 5

−(x−2) + 2y= 5

−x+ 2 + 2y−5 = 0 (t^B) :x−2y+ 3 = 0

Géométrie : le cercle Corrigé 5.15

Calcul de l’angle ϕ =∠(t^B,d)

La tangente t^B s’écrit y= ¹₂x+³₂, si bien qu’elle a pour pente m¹ = ¹₂. La droite d s’écrit y= 3x−1, de sorte que sa pente vaut m² = 3. tan(ϕ) = m²−m¹

1 +m¹m² = 3− ¹² 1 + ¹2 ·3 =

5 2 5 2

= 1 On conclut que ϕ = 45˚ .

Géométrie : le cercle Corrigé 5.15