A316. SVP 7 ou plus, rien d'autre.

A316. SVP 7 ou plus, rien

d'autre.

Démontrer qu’il existe une infinité de couples d’entiers naturels tels que chacun d’eux et leur produit contiennent exclusivement des chiffres supérieurs ou égaux à 7.

Solution proposée par Michel Lafond

On a 8777  8987 = 78878899 et 87777  89987 = 7898788899.

Plus généralement, si on note (c---c)n le nombre qui s’écrit avec n chiffres c consécutifs, on a : A = 8 (7---7)_n+2 B = 8 (9---9)_n 87 et AB = 78 (9---9)_n-1 87 (8---8)_n+1 99.

En effet,

A = 8 (7---7)_n+2 = 8.10 ⁿ⁺² + 7 9

1 10^n2 

= 9

7 10

.

79 ^n2 .

B = 8 (9---9)n 87 = 8.10 ⁿ⁺² + 100.(10ⁿ – 1) + 87 = 8.10 ⁿ⁺² + 10 ⁿ⁺² – 13 = 9.10 ⁿ⁺² – 13.

Multiplions A par B : AB =

9

1(711. 10 ²ⁿ⁺⁴ – 1027. 10 ⁿ⁺² – 63. 10 ⁿ⁺² + 91) = 9

1(711. 10 ²ⁿ⁺⁴ – 1090. 10 ⁿ⁺² + 91) AB =9

1(711. 10 ²ⁿ⁺⁴ + (7910 – 9000).10 ⁿ⁺² + 91) = 79. 10 ²ⁿ⁺⁴ + 9

79110 ⁿ⁺³ – 10 ⁿ⁺⁵ + 9 91

AB = 79. 10 ²ⁿ⁺⁴ – 10 ⁿ⁺⁵ + (87 + 9

8).10 ⁿ⁺³ – 9 800+ 99 AB = 78. 10 ²ⁿ⁺⁴ + 10 ²ⁿ⁺⁴ – 10 ⁿ⁺⁵ + 87. 10 ⁿ⁺³ +

9

8(10ⁿ⁺³ – 100) + 99

AB = 78. 10 ²ⁿ⁺⁴ + (10^{n - 1} – 1).10 ⁿ⁺⁵ + 87. 10 ⁿ⁺³ + 800 9

1 10^n1

+ 99 AB = 78 (9---9)_n-1 87 (8---8)_n+1 99. CQFD

Remarquons que 7877  9887 = 77879899 n’est pas de la forme précédente, ce qui laisse espérer

l’existence d’autres infinités de produits "7-8-9"