On note T l'ensemble des couples (n, p) d'entiers naturels tels que 0 ≤ p ≤ n . On admet qu'il existe une unique fonction c dénie dans T vériant :

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans tout ce problème, q > 1 désigne un nombre réel xé.

On note T l'ensemble des couples (n, p) d'entiers naturels tels que 0 ≤ p ≤ n . On admet qu'il existe une unique fonction c dénie dans T vériant :

∀n ∈ N , c(n, 0) = c(n, n) = 1

∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀p ∈ J 1, n − 1 K : c(n, p) = q

^n−p

c(n − 1, p − 1) + c(n − 1, p)

1. Présenter dans un tableau les valeurs des c(n, p) pour 0 ≤ p ≤ n ≤ 4 . 2. Démontrer, pour tout x ∈ C et tout naturel non nul n , la relation

(1 + x)(1 + qx) · · · (1 + q

ⁿ⁻¹

x) =

n

X

p=0

c(n, p) q

^p(p−1)²

x

^p

3. On note (coecients de Rothe)

¹

, pour tous z ∈ C

^∗

,

∀p ∈ N

^∗

: z

p

q

= (1 − q

^z

)(1 − q

^z−1

) · · · (1 − q

^z−p+1

) (1 − q

^p

)(1 − q

^p−1

) · · · (1 − q

¹

) ,

z 0

q

= 1.

a. Montrer que

ⁿ_p

q

= c(n, p) pour tous les n ∈ N

^∗

et p ∈ J 1, n K.

b. Quel est le nombre de facteurs dans le numérateur et le dénominateur d'un coef- cient de Rothe ? Pour n ∈ N

^∗

et p ∈ J 1, n K, quelle est la limite de

ⁿ_p

q

quand q tend vers 1 ?

c. Pour z ∈ C

^∗

et p ∈ N

^∗

, préciser en fonction de p et z les exposants A et B tels que

z p

q

= (−1)

^A

q

^B

p − z − 1 p

q

Corrigé

1. La relation de dénition permet de compléter le tableau 1 des premiers coecients de Rothe.

1H. A. Rothe (1811) d'après Knuth The Art of Computer Programming, T1, p73

n\p 0 1 2 3 4

0 1

1 1 1

2 1 1 + q 1

3 1 1 + q + q

²

1 + q + q

²

1 4 1 1 + q + q

²

+ q

³

1 + q + 2q

²

+ q

³

+ q

⁴

1 + q + q

²

+ q

³

1 Tab. 1: Premiers coecients de Rothe

2. Notons F

_n

la formule à démontrer pour un naturel n . On raisonne par récurrence.

Pour n = 1 . Le produit à gauche se réduit à (1 + x) . La somme à droite se réduit à

c(1, 0)q

⁰

x

⁰

+ c(1, 1)q

⁰

x

¹

= 1 + x

Montrons que F

n

⇒ F

n+1

. Le calcul est analogue à la preuve de la formule du binôme.

(1 + x)(1 + qx) · · · (1 + q

ⁿ⁻¹

x)(1 + q

ⁿ

x) =

n

X

p=0

c(n, p)q

^p(p−1)²

x

^p

!

(1 + q

ⁿ

x)

=

n

X

p=0

c(n, p)q

^p(p−1)²

x

^p

| {z }

=S₁

+

n

X

p=0

c(n, p)q

^p(p−1)² ⁺ⁿ

x

^p+1

| {z }

=S₂

Dans S

₂

, on décale le nom de l'indice de p à p + 1 :

S

₂

=

n+1

X

p=1

c(n, p − 1)q

^{(p−1)(p−2)}² ⁺ⁿ

x

^p

Dans S

1

+ S

2

, on regroupe les termes pour p entre 1 et n en remarquant que (p − 1)(p − 2)

2 + n = p(p − 1)

2 − (p − 1) + n = p(p − 1)

2 + n − p + 1

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1

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(2)

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On obtient :

S

1

+ S

2

= (n, 0)q

⁰

x

⁰

| {z }

=1=c(n+1,0)q⁰x⁰

+

n

X

p=1

c(n, p) + c(n, p − 1)q

^n+1−p

| {z }

=c(n+1,p)

q

^p(p−1)²

x

^p

+ c(n, n)q

ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² ⁺ⁿ

x

ⁿ⁺¹

| {z }

=c(n+1,n+1)q⁽ⁿ⁺¹⁾ⁿ2 xⁿ⁺¹

ce qui prouve F

n+1

.

3. Il est important de noter que les coecients de Rothe sont dénis pour tous les z complexes non nuls.

a. Par dénition des coecients de Rothe,

∀n ∈ N

^∗

, n

n

q

= 1 et n 1

q

= 1 − q

ⁿ

1 − q = 1 + q + · · · + q

ⁿ⁻¹

Dans les tableaux donnant les valeurs des c et des coecients de Rothe, la colonne p = 1 ainsi que la diagonale p = n coïncident. Il sut donc de montrer que les coecients de Rothe vérient la même relation que les c pour prouver que les deux tableaux sont égaux.

q

^n−p

n − 1

p − 1

q

+ n − 1

p

q

= n − 1

p − 1

q

^n−p

+ 1 − q

^n−1−p+1

1 − q

^p

= n − 1

p − 1

q

^n−p

− q

ⁿ

+ 1 − q

^n−p

1 − q

^p

=

n p

q

b. Le numérateur compte p facteurs (de 0 à p − 1 ) et le dénominateur aussi. Tous les facteurs (du numérateur comme du dénominateur) se factorisent

1 − q

^machin

= (1 − q)(1 + q + · · · + q

^machin−1

)

Tous facteurs 1 − q se simplient puisqu'il en a autant au numérateur qu'au dénominateur. Il ne reste que les sommes des termes en progression géométrique.

Lorsque q tend vers 1 , chacune converge vers son nombre de termes d'où n

p

q

→ n(n − 1) · · · (n − p + 1) p(p − 1) · · · 1 =

n p

c. Les exposants du numérateur de

^p−z−1_p

q

sont les opposés de ceux de

^z_p

q

, les facteurs du dénominateur sont les mêmes. On met donc en facteur les puissances de q .

(1 − q

^z

) · · · (1 − q

^z−p+1

)

= q

z+(z−1)+···+(z−p+1)

(−1)

^p

(1 − q

^p−z−1

)(1 − q

^p−z−2

) · · · (1 − q

^z

)

| {z }

pexposants consécutifs décroissants à partir dez

De plus,

z + (z − 1) + · · · + (z − p + 1) = pz − p(p − 1) 2

⇒ z

p

q

= (−1)

^p

q

^pz−^p(p−1)²

p − z − 1 p

q

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