A10144. La guillotine
J’appelle “guillotin´e” d’un nombre entier le nombre obtenu en enlevant le chiffre de gauche et en le r´e´ecrivant `a droite. Cette op´eration peut ˆetre r´ep´et´ee, donnant les guillotin´es successifs, jusqu’`a reconstituer le nombre de d´epart. On demande de trouver un nombre de 6 chiffres tel que ses 5 guillotin´es soient des multiples distincts de ce nombre.
Solution
Soit g le chiffre de gauche, d la partie droite du nombre x cherch´e. x = 105g+d. Son premier guillotin´e est 10d+g=qx,q quotient de la division par le nombre de d´epart.
On a (105q−1)/d= (10−q)/g, puis = (106−1)/x. On en tirex=g106−1 10−q . Comme qx a 6 chiffres, qg ≤ 10−q, q ≤ 10/(g+ 1), et comme q vaut au moins 2 (s’il valait 1, tous les guillotin´es seraient ´egaux), g≤4.
(10−q) doit ˆetre un diviseur de g(106−1), au plus ´egal `a 8 (carq≥2),
et au moins ´egal `a 10g/(g+ 1)≥5.
Comme 106−1 = 33·7·11·13·37, cela entraˆıne
10−q = 7, g = 1 ou 2, et x = 142857 ou 285714. Cette derni`ere valeur ne convient pas, car les guillotin´es se terminant par un chiffre impair ne peuvent pas ˆetre multiples de 285714 qui est pair.
La seule solution est donc 142857. Les guillotin´es successifs sont les produits par 3, 2, 6, 4, 5 respectivement. Le produit par 7 est 999999.
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