A137- Tous les chemins mènent à un carré

A137- Tous les chemins mènent à un carré

Solution

On désigne par x le nouvel entier obtenu en additionnant ₂ x et la partie entière par défaut de ₁ sa racine carrée. On a donc x₂ x₁E( x₁).

Soit N² le carré le plus proche de x et ₁  x tel que ₁ N²x₁(N1)²N²2N1.On peut donc écrire x₁N²y avec 0y2N1. Comme E( x₁)N, on a donc

) x E(

x

x₂  ₁ ₁ = N²+N+ y.

1) On suppose pour commencer que y N. Dès lors, x = ₂ N²+N+ y < (N1)²et )

x E(

x

x₃  ₂ ₂ = N + 2N+ y = ² (N1)²+(y - 1).

Si y = 1, le calcul est terminé, sinon on calcule x₄ x₃E( x₃)(N1)²(N1)(y1) puis x₅x₄E( x₄)(N1)²2(N1)(y1)(N2)²(y2).

Si y = 2, le calcul est terminé, sinon on poursuit de manière à obtenir p)

(y p) (N ) x E(

x

x_2p1  _2p _2p   ²  avec py. On observe alors que x_2y1 est un carré parfait.

2) Si y>N, le raisonnement est identique, on a x = ₂ N²+N+ y . Si y = N+1, le calcul est terminé. Sinon x > ₂ (N1)² et x₃ x₂E( x₂)=(N1)²+ y.

D’où x₄ x₃E( x₃)= (N1)²+(N+1)+y = (N2)²(y(N2)).Si y = N+2, le calcul est terminé. Sinon, on poursuit de façon à obtenir x_2p (Np)²(y(Np))avec y  (N+p).

Pour p = y – N, on obtient x_2(yN) qui est un carré parfait.

Exemple 150

x₁ N12et y6. On vérifie bien que x est un carré parfait. ₁₃ D’où la séquence :

2 13

12

11 10

9 8

7 6

5 4

3 2

18 324 17 307 x

307 17 290 x

290 16 274 x

274 16 258 x

258 15 243 x

243 15 228 x

228 14 214 x

214 14 200 x

200 13 187 x

187 13 174 x

174 12 162 x

162 12 150 x





















































































