D632 : Avec un minimum de traits
On sait tracer à la règle seule la parallèle passant par un point P donné à un segment AB dont on connait le milieu M : partant d’un point N de PA, on trace NM, qui coupe PB en O, puis AO et BN qui se coupent en Q, PQ étant parallèle à AB, P et Q étant homologues dans l’affinité d’axe MN qui transforme A en B. On a tracé 6 droites.
Problème proposé par Claudio Baiocchi
On dispose d’une feuille de papier sur laquelle ont été tracés un cercle avec son centre O. On donne trois points quelconques A,B et C qui ne sont pas sur une même ligne droite. Aucun d’eux n’est sur le cercle et le point O n’est pas aligné avec deux quelconques de ces points.
A l’aide d’une règle non graduée, trouver le minimum de traits qui permettent d’obtenir le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Il faut donc tracer les médiatrices de deux des cotés du triangle.
On sait, à l’aide du cercle, placer deux points symétriques par rapport à un point donné A sur une droite ne passant pas par le centre O: on trace OA qui coupe le cercle selon le diamètre CD de milieu O ; par un point E du cercle on trace la parallèle à CD qui recoupe le cercle en F; on construit les points G et H diamétralement opposée à E et F; EF et GH coupent la droite en I et J dont le milieu est A.
Soit 11 tracés. On sait alors construire une parallèle à la droite en 17 tracés
Pour construire le milieu dʼun segment AB, on trace la parallèle à AB passant par O, qui coupe le cercle suivant le diamètre CD; AD et BC se coupent en E, et OE coupe AB en son milieu. Soit 20 tracés.
Enfin, pour construire la médiatrice du segment AB, on construit son milieu M, puis la parallèle à AB passant par un point D du cercle, qui le recoupe en E ; OD recoupe le cercle en F, diamétralement opposé à D, donc EF est
perpendiculaire à DE; on trace enfin la parallèle à EF passant par M. Soit 45 tracés.
Pour déterminer le centre du cercle circonscrit, il faut construire la médiatrice dʼun second coté, donc 90 tracés.
