D2910. L'ambassade des pôles hyperboliques

D2910. L'ambassade des pôles hyperboliques

Soient l'hyperbole équilatère (H) d'axes Ox/Oy et les points A et B quelconques sur des branches différentes de (H) . Δ est la médiatrice de AB.Le cercle de centre M sur Δ et de rayon MA, recoupe (H) en C et D.

 Q1 Quand M décrit Δ, montrer que CD reste parallèle à une direction fixe Δ' et que la distance de M à la droite [CD] est constante.

 Q2 Quelle est la relation entre Δ et Δ' ?

 Q3 Montrer que quand M est le milieu de AB, CD passe par O et que les tangentes à (H) en C et D sont perpendiculaires à AB .

Solution

Prenons l’hyperbole équilatère Y=1/X (La métrique n’influe pas sur les propriétés) On a le schéma suivant :

Coordonnées de A : {X1 , 1/X1} Coordonnées de B : {X2 , 1/X2} Posons S=X1+X2 et P=X1X2

Coordonnées de H : { XH , YH } = {S/2 , S/2P}

Pente de AB : P ab = -1/P

Pente de Δ : P Δ= P (Δ perpendiculaire à AB) Equation de la droite Δ : y=Px + (1-P²)S/2P

Nous prenons une notation paramétrique pour définir la positon de M sur cette droite.

Pour la valeur k=0, le point M est en H, milieu de AB :

Coordonnées de M : { XM , YM } = { (1+k)S/2 , (1+k)PS/2 + (1-P²)S/2P } Calculons le rayon du cercle :

R² = MH²+HA² = MH²+AB²/4 = (XH-XM)² + (YH-YM)² + [ (XB-XA)² + (YB-YA)² ]/4 R² = (1+P²)( ^{𝑆²−4𝑃}

4𝑃² + k² ^𝑆²₄ ) On en déduit l’équation du cercle :

(X-XM)²+ (Y-YM)² = R²

Les intersections avec (H) sont les 4 solutions de l’équation du 4^ème degré : (X-XM)²+ (1/X-YM)² - R² = 0 [1]

Les points A et B sont systématiquement 2 de ces points.

Donc cette équation aura nécessairement en facteur : X²-SX+P Ce qui permet d’arriver à l’expression suivante pour [1]

(X²-SX+P)(X²-kSX+1/P)=0 [2]

Les 2 autres intersections sont donc les solutions de X²-kSX+1/P Posons Rac = √(^𝑘𝑆

2)²−¹

𝑝

Coordonnées de C : {kS/2 – Rac , (kS/2+Rac)P } Coordonnées de D : {kS/2 + Rac , (kS/2-Rac)P } Cela permet de calculer l’équation de la droite CD (Δ')

Y= - PX+ kPS

La distance de M à cette droite est : d = (YM + PXM – kPS) / √𝑃² + 1 d = _2𝑃^𝑆 √𝑃² + 1

Ces résultats permettent de répondre à Q1 et Q2 :

L’équation de Δ s’écrit : Y= - PX + kPS ; La pente de Δ' est donc fixe ; Elle est égale à P Δ' = – P= –X1X2

Rappelons que la pente de Δ est égale à P Δ = X1X2

Elles ont même pente en valeur absolue, mais de signe opposé La distance d est constante : d = _2𝑃^𝑆 √𝑃² + 1

Pour la question Q3 les formules se simplifient car k=0 Sur la droite Δ, le point M vient en H.

L’équation de la droite CD (Δ') devient Y= - PX ; Cette droite passe par l’origine.

Les autres équations se simplifient également : Rac = √−¹_𝑝

Coordonnées de C : { – Rac , Rac.P } Coordonnées de D : { + Rac , - Rac.P } La dérivée de la fonction Y=1/X étant Y’= - 1/X²

P tanC = Y’c = - |P| = P P tanD = Y’D = - |P| = P

Ces 2 tangentes sont donc perpendiculaires à la droite AB de pente P ab = -1/P